高等数学期中考试题及答案

1、高等数学（下册）期中考试 20220504 一、填空题（每道题 4 分,共计 40 分）1、已知三点 A1,0,2 , B2,1,-1 ,C0,2,1 ,就三角形 ABC 的面积为；2、已知曲面 z 4 x 2 y 2在点 P 处的切平面平行于平面 2 x 2 y z 1 0,就点P 的坐标是；3、函数 z f x , y 在 x 0y 0 处可微的充分条件为 , 必要条件为；4、设方程 x 2 y 2 z 2 2 az 确定函数 z z x , y ,就全微分 dz；2 2 x5、设 I 0 dx x f x , y dy,交换积分次序后,I；2 26、设 是曲面 z x y 介于 z 0

2、z 1 之间的部分, 就曲面面积为；7、L x 2y 2 ds,其中 L : x 2y 2a 2；2 28 、 设 为 曲 面 z 1 x y , z 0 所 围 成 的 立 体 , 如 果 将 三 重 积 分I f x , y , z dv 化为先对 z 再对 y 最终对 x 三次积分,就 I= ；2 2 29、设：x y z ,1 z ,0 如将三重积分 I zdV 在球面坐标系下化为三次积分 ,就 I= ；10、设 是椭圆周 4 x 2y 21 的正向,就曲线积分L xdy4 x 2 ydxy 2 = ；二、求解以下问题（共计 14 分）2 21、 （7 分）求函数 u ln x y z

3、 在点 A（1, 0,1）沿 A 指向点 B（3,-2,2）的方向的方向导数；2、 （7 分）已知函数f u v 具有二阶连续偏导数,xf1,12是f u v 的极值,1zzf xy f x y , ., 求2z1,1.x y0,y0 ,0及xyz三、求解以下问题（共计16 分）1、（8 分）运算I1xdvz 3,其中是由y所围成的立体域；2、（8 分）设f x 为连续函数,定义F tz2fx2y2dv,其中 x , y , z | 0 z h , x 2y 2t 2,求 dF ；dt四、求解以下问题（16 分）x x1、（8 分）求 I L e sin y my dx e cos y m d

4、y,其中 L 是从 A （a,0）经2y ax x 到 O（ 0,0）的弧；2、（8 分）求 f x , y x 1 2 y 2 2 1 在区域 D x , y | x 2 y 2 20 上的最大值 和最小值；五、求解以下问题（共计 14 分）2 21、（ 8 分）求抛物面 z 4 x y 的切平面,使得 与该抛物面间并介于柱面2 2 x 1 y 1 内部的部分的体积为最小；2、（ 6 分）已知函数 f x y 具有二阶连续偏导数,且 f 1, 0, f x ,1 0,f x y dxdy a,其中 D= （ x, y） |0 x 1, 0 y 1 ,运算二重积分DI xyf xy , x y

5、 dxdy .D高等数学（下册）期中考试答案 20220504一、 1、50 / 2；2、（1,1,2）；3、函数 z f x , y 在 x 0y 0 处的偏导数连续 ; 函数 z f x , y 在 x 0y 0 处连续 , 偏导数存在 . 4、dz xdx ydy；a z a z2 y 4 25、0 dy y / 2 f x , y dx 2 dy y / 2 f x , y dx；6、2；7、2 a ；38、11 dx 11 xx 22 dy0 1 x 2 y 2f x , y , z dz； 9、0 2d 0 2 d 0 1r 3sin cos dr 10、二、 1、函数 u ln

6、x y 2z 2 在点 A（1,0,1）处可微,且u 1x Ax y 2z 2 ,1 0 1, 1 / 2；uy Ax y 12z 2y 2 yz 2 ,1 0 , 1 0；uz Ax y 12z 2y 2 zz 2 ,1 0 1, 1 / 22 2 1而 l AB 2 , 2 1, , 所以 l , , ,故在 A 点沿 l AB 方向导数为：3 3 3u u u uA A cos + A cos + A cosl x y z1 2 2 1 10 1 / 2 .2 3 3 2 3z 2、解：f 1 x y f x y , f 2 x y f x y , f 1 , x y .x2z f 11

7、 x y f x y , f 12 x y f x y , f 2 , f 12 , f 2 x y f x y , x y 1f 1 , f 21 , x y f x y , f 22 x y f x y , f 2 , .由题意知 f 1 1,1 0, f 2 1,1 0,2从而 zf 11 2, 2 f 2 2, 2 f 12 1,1.x y 1,1三、 1、的联立不等式组为:0 x10yx1所以I1dx1xdy1x0z1xyydz0001yxyz311dx1x1121dy002x411x1134xdx1ln25202162、在柱面坐标系中F t2dtdrh2 zf r2rdz2thfr

8、2r1h3rdr00003所以dF2hft2t1h3t2htft21h2dt33四、 1、连接 OA ,由 Green 公式得：ILOAOALOAOA五、 1 由于介于抛物面z4x2y2,柱面x1 22y21及平面z0之间的立0之间的立体体体体积为定值,所以只要介于切平面,柱面x12y1 及平面z积V 为最大即可；设与z4x2y2切于点P x0,y0,z 0,就的法向量为n2x 0, 2y 0,1 ,且z 04x 02y02,切平面方程为：2 x0 xx02y 0yy0zz 00即z2x 0 x2y0y42 x 0y22y0sin4x2 0y2d0于是Vzd极坐标2（2x0cos0 x12y2122x04x2y200V 22x00就由x0,得驻点（ 1,0）V2y0y0且V ,105,z05.由于实际问题有解,而驻点唯独,所以当切点为（此时的切平面 为：z 2x 31,0,5）时,题中所求体积为最小；2 由于f1, 0,f x ,10,所以f1, 0