高等数学教案Word版第一章

1、学习好资料 欢迎下载第一章函数与极限 4 课时 授课题目（章节）1.1 映射与函数 教学目的与要求：1. 懂得集合、区间、邻域等基本概念,把握集合的运算及构造法 2. 懂得函数的概念；明确函数定义有两个要素；依靠关系、定义域；把握函数表 达式的运用 3. 明白函数的基本性质；知道判定诸性质的思路 4. 把握将复合函数由外及里分解为简洁函数的方法 教学重点与难点 重点：懂得集合、邻域的概念 难点：函数的性质 讲授内容 一. 集合 1 集合概念 集合是指具有某种特定性质的事物的总体,组成这个集合的事物称为该集合的元 素（简称：元）注：本课程中全部说的集合必需具有明确的界定,即对任何一个对象都可以按

2、标 准判定其是否属于所说的“ 总体”介绍子集、真子集、空集、集合的相等,等概念 2. 集合的运算 集合的基本运算有以下几种：并、交、差、直积 介绍全集（基本集）与余集（补集）的概念 3. 区间和邻域设0,点X 的领域是指满意XX0的一切实数X 的集合；X 称为改邻域的中心,成为该邻域的半径二. 映射1. 定义：设 X,Y 是两个非空集合,假如存在一个法就 f ,使得对 X中每个元素 x,按法就 f ,在 Y 中有唯独确定的元素 y 与之对应,就称 f 为从 X 到Y的映射,记作 f : X Y、其中 y 称为元素 x（在映射 f 下）的像,并记作 f x , 即 y f（x）,而元素 x 称为

3、元素 y（在映射 f 下）的一个原像注：映射是指两个集合之间的一种对应关系；判定两集合之间的对应关系是 否构成一个映射,关键是抓住两个要点：第一,对于第一个集合中的每一个元 素,根据规章能否在另一个集合中找到一个与之对应的元素；其次,对于第一 个集合中的每一个元素,其次个集合与之对应的元素是不是唯独的2.逆映射Y 的 单 射 , 就 由 定 义 , 对 每 个yRf, 有 唯 一 的定 义 ： 设 f X 到xX,适合f（x学习好资料欢迎下载R 到 X 的新映射 g ,即）y；于是,我们可定义一个从g：RfX,对每个yRf,规定g（y）fx,这x满意f（x）y；这个映射 g 称为 f 的逆映射

4、,记作fRf11,其定义域D,值域RfX12 复合映射：定义：设有两个映射 g : X Y 1 , f : Y 2 Z,其中 Y 1 Y 2,就由映射 g 和 f 可以定出一个从 X 到 Z 的对应法就,它将每个 x X 映成 f g（x）Z；明显,这个对应法就确定了一个从 X到 Z 的映射, 这个映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射,记作 f g , 即 f g：X Z,（f g）（x）f g（x）,x X三. 函数1. 函数的概念定义：设数集 D R,就称映射 f：D R 为定义在 D 上的函数,通常简记为 y f（x）,x D,其中 x 称为自变量, y 称为因变量, D 称为定义域

5、,记作 D f,即 D f D函数定义中,对每个 x D,按对应法就 f ,总有唯独确定的值 y 与之对应,这个值称为函数 f 在 x 出的函数值,记作 f（x）,即 y f（x）；因变量 y与自变量 x 之间的这种依靠关系,通常称为函数关系； 函数值 y f（x）的全体所构成的集合称为函数 f 的值域,记作 R 或 f（D ,即Rf f D y y f x , x D注：函数的概念中涉及五个因素：（1）自变量（ 2）定义域（ 3）应变量（ 4）对应规律（ 5）值域；在这五个因素中最重要的是定义域和因变量关于自变量 的对应规律,这两者常称为函数的二要素介绍单值函数与多值函数的概念例. 判定以下

6、各对函数是否相同（1） f x=ln2 x gx=2lnx sin2x+cos2x 2 f x=1 gx= 3 f x=|x| gu=u2解：（ 2）中的f学习好资料欢迎下载）与g（x相同（x）与g（x 相同,（3）中的f（x例. 求以下函数的定义域（1）f x x 2 x5 x 16 3 4 x 1 2 f x log 2 log 4 log 7 x 3 f x 1 1x 2 x解：（ 1）D f x x 2 且 x 3（ 2）D f x x 7（ 3）D f x x 0 且 x 22. 函数的几种特性（1）函数的有界性（2）函数的单调性3 函数的奇偶性定义：教材 P 12 P 13例：判定

7、 f x ln x 21 x 的奇偶性解：f x ln x 21 x ln 2 1f x x 1 xf x 为奇函数（ 4）数的周期性 3反函数于复合函数（ 5）反函数定义：设函数 f : D f D 是单射,就它存在逆映射1 1f : f D D,称此映射 f 为函数 f 的反函数；按此定义,对每个 y f D , 有唯独的 x D,使得 f（ x）=y,于是有 f（y）x；这就是说, 反函数 f 1的对应法就是完全由函数f 的对应法就所确定的与反函数问题有关的题型主要有两类：或求给定函数的反函数判定给定函数是否存在反函数对严格单调函数有以下结论 严格单调函数必存在反函数学习好资料 欢迎下载

8、（ 6）复合函数有关的问题大致可分为两类：一是判定如干个函数能否构成复合函数 ; 二是将一个复合函数分解为如干个简洁函数复 合 函 数 的 定 义 ： 设 函 数 y f u 的定义域为 D 1, 函 数u g（x）在 D 上有定义,且 g（D）D 1,就 由 下 式 确 定 的 函 数y f g（x）,x D 称为由函数 u g（x）和函数 y f（u）构成的复合函数,它的定义域为 D,变量 u 称为中间变量；函数 g 与函数 f 构成的复合函数通常记为f g , 即（f g）（x）f g（x）3. 函数的运算4. 初等函数定义：由常数和基本初等函数经过有限次的四就运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数5. 双曲函数与反双曲函数小结与提问：小结： 本讲内容非常重要,特殊是缺点函数的两个要素务必弄懂；分段函数也须引起重视；函数的几种特性直接通过论