高等数学中有理分式定积分解法总结

1、由十个例题把握有理分式定积解法【摘要】当被积函数为两多项式的商P x 的有理函数时,解法各种各样、不易把握,Q x 在此由易到难将其解法进行整理、总结【关键词】有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分P x两个多项式的商 称为有理函数,又称为有理分式,我们总假定分子多项式 P xQ x与分母多项式 Q x 之间无公因式,当分子多项式 P x 的次数小与分母多项式 Q x ,称有理式为真分式,否就称为假分式 . 1. 对于假分式的积分： 利用多项式除法, 总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式. 21dx例 1.13 x42 2 x dx12 x解 原式3 x22 x

2、1x2dxx21x2 3 x dxxx2dx 1232 x dx12 x11dx32 x dxdx2 x1dx 13 xxarctan xC例 1.2 2x42x23dxx1解 原式2x2x22113x2dxx22 x dx3x11dxx222x34arctanxxC31 总结：解被积函数为假分式的有理函数时,用多项式动身将其化简为多项式和真分式之和的形式,然后进行积分 . 对于一些常见函数积分进行记忆,有助于提高解题速度,例如：2x 12 dx 1 2 dxx 1 x 1P x对于真分式,如分母可分解为两个多项式乘积 Q x = Q 1 x Q 2 x ,且 Q 1 x ,Q xQ 2 x

3、无公因式,就可拆分成两个真分式之和：P x P x 1 P 2 x,上述过程称为Q x Q x 1 Q 2 x把真分式化为两个部分分式之和 . 如 Q 1 x 或 Q 2 x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积,就最终有理函数分解式中显现多项式、x P 1 xa k、x 2 P 2px xq l 等三类函数,就多项式的积分简洁求的2. 先举例,有类型一、类型二、类型三,以此为基础求解较复杂的真分式积分m2.1 类型一 axk b dxcx3x 1例 2.1.1 2 dxx3 2解 原式 = x 3 x2 3 x 1dxx = xdx 3 dx 3 1 dx 12 dxx x = 1 x 23

4、x 3 In x 1 C2 x总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式,将其进行化简,使被积函数为简洁幂函数,然后利用常见积分公式进行运算2.2 类型二23dxcxkmdxdtaxb例 2.2.1 xx2解 令 x+2=t , 就xt2,有 dx2 原式=tt22dx241dt2Caxb mdx,再依据后者3=t24t4dtt3=1 dtt41dtt2t3=Int+4-2+C t22t =Inx2x4x2总结： 当被积函数形如时k cxdx,将其用换元法转换为axbmcxk解法求解2.3 类型三ax2Pxcldxcos2 dt22Cbx例2.3.1 x23 x22dx2 x原式=xx312dt

5、12设x-1 =tant,x=tant+1,dx=set2 tdt上式=1+tant3 set2t dt2 sett=3 tant3tan2t3tant1 dt2 set t=sin3tcos1t3sin cos t3sin2t2 costdt =-12 cost costd cos t+3sin 2 dtdt4 =-Incos t+12 cos t+2t+2sintcost2Qtant=x-1,cost=x121,sint=xx11121上式=1In x22 x222 x1x42arctanx12 x2 x242x3 例2.3.2 x2x21dx 3；对于形如ax2bx+cl时,x =1 2

6、 22xx22 dx2 x3 =1x21x3 dx22x3 -2x122d x221 = 1In2 x2 x3 -2arttanx1+C 22总结：当被积函数分母含有ax2+bx+c时,可以用凑微分法进行积分可将其变形为 T 2x+1 或者是 1-T2x , 然后利用三角函数恒等变形sin2x+ cos 2x=1和1 +tan2x= set 2x将T 2x降次,便于运算 .3. 以前面的几种简洁类型为基础,现在来争辩较为复杂的有理真分式的积分例 3.1 x22 +310dx然后用基本积分公3x解法 1 x22 +310dx3x=x2110dx23x103x=Inx23x10+C解法 2 x22

7、 +310dx3xx22 +310=x2 +32=xA5+xB23x+5x =AB x5B22Ax15x12x5x原式=x15x12dx =Inx23x10+C 总结： 假分式分母可以因式分解,将被积函数化为部分分式之和的形式,4 式进行运算 . 例 3.2 2 x1x2x1dx2dx 3x 2原式=221x 2x1dxxx=1d 12x1-12 x111dx222 xx 2x =1d 12x11x211d2 xx11x12 x2x2124. 以此为标 =In2x1-1Inx2x1+1arctanx1+C 232总结：遇到被积函数是复杂的有理函数,用拆分法将其分解为自己熟识的函数,灵敏变换例 3.3 xx31dx1x2=xx231d x1xx2x221x11d xx1 2 22 xx221d xx11d xx11x21d 1x22x1x12d xx11d x22 x1Inx1x11Cx1总结： 此题能够得出一个重要结论,分母因式分解要求为各个因式之间无公约数,准进行因式分解,拆项除此之外, 常见的仍有, 可化为有理函数的积分. 例如利用三角函数的万能公式,将被积函 数 中 含 有 三 角 函 数 的 分 式 函 数 , 例 ：sin1+sinxxdx. 例 如