高等数学教学教案无穷小的比较函数的连续性与间断点

1、1.7 无穷小的比较1 8 函数的连续性与间断点 授课次序 07 教学课题 教学重点参考教材 双语教学课堂教学 目标教学过程教学基本指标1.7 无穷小的比较教学方法当堂讲授,辅以多媒体教学1 8 函数的连续性与间断点等价无穷小、函数连续性教学难点等价无穷小的应用、分段函数连续性的判定同济高校编 高等数学 （第 6 版） 作业布置高等数学 标准化作业自编教材 高等数学习题课教程无穷小： infinitesimal ；函数： function ；连续性： continuity ；连续函数：continuous function ；左连续： continuity from the left；间断点：

2、discontinuity point 1 明白高阶无穷小、等价无穷小的概念,把握应用等价无穷小求极限的方法 2 把握函数连续性的判定 3 明白间断点的类型及其判定1无穷小的比较（45min）,着重介绍等价无穷小的概念及等价无穷小代换定理；2连续性的概念（20min）3间断点（ 25min）本节教学设计函数的连续性1背景及引入方法函数的连续性, 在几何直观上看,就是函数的图形曲线没有间断 . 与极限概念一样 , 函数的连续概念也是微积分最基本概念之一 . 函数的连续理论作为数学分析严格化的基本内容 , 其进展与完善同样经受了相当长的一段时间 . 1817 年, 捷克数学家波尔查诺 Bolzan

3、o Bernard , 1781 一 1848 在他的名著 纯粹分析的证明中给出了函数连续性的现代定义方式 . 法国数学家柯西 Cauchy Augustin Louis,1789 一 1857 是 19 世纪微积分严格化最有影响的先驱者 , 其最大奉献就是在微积分中引进了清楚和严格的表述与证明方法 . 他在这方面有三部代表作 : 分析教程 1821 年、无穷小分析教程概论 1823 年 和微分运算教程 1829 年 . 柯西在其著作中给出了函数的连续性定义 : “ 设 fx是变量 x 的函数 , 且设介于两个给定限之间的每个 x 值,该函数总有一个唯独的有限值 . 假如在这两个给定限之间有一

4、个 x 值, 当变量 x 获得一个无限小增量 , 函数本身将增加一个差量 f x+ 一 f x, 这个差同时依靠于新变量 与原变量 x 的值 .然后 , 假如对变量 x 在两给定限之间的每个中间值 , 差 f x+ 一 f x的肯定值都随 的无限减小而无限减小 , 那么就说函数 f x是变量 x 在这两个限之间的 连续函数. 换言之 , 假如在这两个限之间变量 x 的每个无限小增量总产生函数 fx本身的一个无限小增量,就函数 f x 在给定限之间关于x 保持连续； 进一步 , 我们说函数f x是变量 x 在 x 的某个特别值的邻域内的连续函数, 假如它在包含该x 值的任意接近的两限之间连续.”

5、被数学界誉为 “ 现代分析之父 ”的德国数学家外尔斯特拉斯 Karl Weierstrass, 1815 一 1897 是微积分严格化的又一功臣 . 他期望建立一种不依靠于直观的纯粹的算术化的微积分 . 1861 年在其数学笔记中他首次使用“ 一” 语言定义函数的连续性 : “ 假如 f x是 x 的函数 ,且 x 是一个确定的值 ,就如 x 变至 x+h , 函数就会变至 f x+h , 差 f x+h - f x称为该函数由自变量 x 到 x+h 的转变所产生的转变量 . 现在假如能对 h 确定一个界限 , 使对其肯定值小于 的全部 h 值, f x+h - f x变得小于无论怎样小的任一

6、量 , 就称自变量的无穷小改变对应出函数的无穷小转变 . 由于假如一个量的肯定值能变得小于任意选取的无论怎样小的量 ,就我们说它能变为无穷小 . 现在假如一个函数对自变量的无穷小变化 , 总对应出函数的无穷小转变 , 就称它为此自变量的连续函数 , 或称它随着此自变量连续地转变 .”现在微积分教材中关于函数的连续性的“ 一” 定义就是依据外尔斯特拉斯的“ 一” 型定义稍加改写而成的 . 连续函数具有很强的几何直观 .因此讲授此学问点可以实行表达与几何相联系以及与函数的极限相比较的方法 . 重在懂得连续概念 . 2 常见错误分析常见的错误有 1不能正确懂得不 左、右 连续的含义 , 2 分段函数

7、在段点情形 , 3 将间断点的详细说法,如可去、无穷等与间断点的类型相混淆 . 3. 与其他学问点的关联它与以下学问点都有亲密联系 . （1）函数的极限（2）函数在闭区间上的性质（3）函数的可导性 .教 学 基 本 内 容观看两个无穷小比值的极限 limx1 7 0 x x 20 无穷小的比较lim x 3 x2 limx 0 sinx x 1 备注栏两个无穷小比值的极限的各种不怜悯形 反映了不同的无穷小趋于零的“ 快慢” 程度 在 x 0 的过程中 x2 0 比 3x 0“ 快些”反过来 3x 0 比 x2 0“ 慢些”而 sin x 0 与 x 0“ 快慢相仿”下面 我们就无穷小之比的极限

8、存在或为无穷大时 来说明两个无穷小之间的比较定义 设 及 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小假如 lim 0 就说 是比 高阶的无穷小 记为 o 假如 lim 就说 是比 低阶的无穷小假如 lim c 0 就说 与 是同阶无穷小假如limkc0k0就说是关于的 k 阶无穷小假如lim1就说与 是等价无穷小记为下面举一些例子例 5例 1由于lim 3 x 2x 0 x0所以当 x0 时 3x2 是比 x 高阶的无穷小即 3x2ox x0例 2由于lim n1所以当 n时1 是比 n1低阶的无穷小n 1n 2n2例 3由于lim x 2x 3 x96所以当 x3 时x29 与 x 3 是同阶无

9、穷小3例 4由于lim x 01cosx1所以当 x0 时 1 cos x 是关于 x 的二阶无穷小x22由于lim x 0sinx1所以当 x0 时 sin x 与 x 是等价无穷小即 sin x x x0 x关于等价无穷小的有关定理定理 1与是等价无穷小的充分必要条件为o 因此如证明必要性设 就limlim1lim10因此o即o 充分性设o 就limlimo lim1o 1因此例 6由于当 x0 时 sin xx tan xx 1 cos x1 x 22所以当 x0 时有sin xx ox tan xx ox 1 cos x1x 2o x 22定理 2设且 lim存在就limlim证明li

10、mlimlimlimlimlim定理2 说明求两个无穷小之比的极限时分子及分母都可用等价无穷小来代替果用来代替的无穷小选取得适当就可使运算简化例求lim x 0tan2xsin5x解当 x0 时 tan 2x 2x sin 5x 5x所以lim x 0tan2xlim 2 xx 0 x2sin5x5例求lim x 0sin x 3x3 x解当 x0 时 sin xx无穷小 x33x 与它本身明显是等价的所以lim x 0sinxlim x 0 x2x3lim x 0 x131x33 x231 8 函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量 设变量 u 从它的一个初值 u1变到终值 u2 终

11、值与初值的差 u2 u1 就叫做变量u 的增量 记作 u 即 u u2 u1设函数 y fx在点 x 0的某一个邻域内是有定义的 当自变量 x 在这邻域内从 x0 变到 x0 x 时函数 y 相应地从 fx0变到 fx0 x 因此函数 y 的对应增量为y fx0 x fx0函数连续的定义设函数 y fx在点 x0 的某一个邻域内有定义lim x假如当自变量的增量fxx x0 趋于零时对应的函数的增量y fx0 x fx0 也趋于零即0y0或lim x x 0fx x 0那么就称函数y fx在点 x0 处连续注 limx 0 y limx 0 f x 0 x f x 0 0设 x x0+ x 就

12、当 x 0 时 x x0 因此limx 0y 0 x limx 0 f x f x 0 0 x limx 0 f x f x 0 函数连续的等价定义 2 设函数 y fx在点 x0 的某一个邻域内有定义 假如对于任意给定义的正数 总存在着正数 使得对于适合不等式 |x x0| 的一切 x 对应的函数值 fx都满意不等式|fx fx0| 那么就称函数 y fx在点 x 0处连续左右连续性 假如 lim f x f x 0 就称 y fx在点 x 处左连续x x 0假如 lim f x f x 0 就称 y fx在点 x 处右连续x x 0左右连续与连续的关系函数 y fx在点 x0处连续 函数

13、y fx在点 x0 处左连续且右连续函数在区间上的连续性 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续 假如区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续 在左端点连续是指右连续连续函数举例1假如 fx是多项式函数就函数 fx在区间 内是连续的P x 0这是由于fx在内任意一点x0 处有定义且lim x x 0P x2函数fxx在区间 0内是连续的3函数 y sin x 在区间 内是连续的证明设 x 为区间 内任意一点就有y sinxx sin x02sinxcosxx 22由于当x0时y 是无穷小与有界函数的乘积所以lim x0y这就证明白函数y sin x 在

14、区间内任意一点x 都是连续的4函数 y cos x 在区间 内是连续的二、函数的间断点间肯定义设函数 fx在点 x0 的某去心邻域内有定义在此前提下假如函数 fx有以下三种情形之一1 在 x0没有定义2虽然在 x0 有定义但lim x x 0fx不存在lim x x 0fx fx03虽然在 x0 有定义且lim x x0fx存在但就函数 fx在点 x0 为不连续而点 x0 称为函数 fx的不连续点或间断点当 x例 1正切函数 y tan x 在x2处没有定义所以点x2是函数 tan x 的间断点所由于lim x 2tan x故称x2为函数 tan x 的无穷间断点例 2函数ysin1在点 x

15、0 没有定义所以点 x 0 是函数sin1的间断点xx0 时函数值在1 与 1 之间变动无限多次所以点 x 0 称为函数sin1的振荡间断点x例 3函数yx21在 x 1 没有定义所以点 x 1 是函数的间断点x1由于lim x 2x 1 x1lim x 1x12假如补充定义令 x 1 时 y 2就所给函数在x 1 成为连续1以 x 1 称为该函数的可去间断点例 4设函数yf xxx11x1由于lim x 1f x 2lim x 1x1f11lim x 1fx f1所以 x 1 是函数 fx的间断点2假如转变函数fx在 x 1 处的定义 令 f1 1 就函数 fx在 x 1 成为连续所以 x 1 也称为该函数的可去间断点例 5设函数fx x1x0 x11lim x 0fxlim x 0fx我0 x0lim x 0fx lim x 0 x1x0由于x11lim x 0fx l