高二数学《圆与方程》师用教案

1、学习好资料 欢迎下载第四章 圆与方程 4.2.2 圆与圆的位置关系【学问要点】两圆的位置关系及其判定：设两圆圆心分别为O O ,半径分别为r r ,就：两圆相交|r 1r 2| |O O2|r 1r ；两圆外切|O O 2|r 1r ；两圆内切|O O2| |r 1r2|；【例题精讲】【例 1】 已知圆C ：x2y26x60,圆C ：2 xy24y60（1）试判定两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程解：（1）圆C 的圆心为 （3,0）,半径为r 13x15,圆C 的圆心为 （0,2）,半径为r 210,又|C C2|13,|r 1r 2|C C2|r 1r ,圆C 与C 相交（ 2）由

2、,得公共弦所在的直线方程为2y0【例 2】求经过两圆2 xy26x40和x2y26y280的交点,并且圆心在直线xy40上的圆的方程解：设所求圆的方程为x2y26y28x2y26x40,即11x21y26x6y2840,就所求圆的圆心为13,13圆心在直线xy40上,31340,解得117 所求圆的方程为2 x y2x7y320【例 3】 已知圆 C 与圆x2 1y21关于直线 yx 对称,就圆C 的方程为（）Ax2 1y21B2 xy21Cx2y121Dx2y2 1解：已知圆的半径r1,圆心 1,0 ,圆心 1,0 关于直线 yx 的对称点为 0, 1 ,就圆 C 的方程为x2y2 11选

3、C点评 ：圆关于直线的对称图形仍旧是圆,半径不变,圆心关于直线对称我们要把握一些常见对称问题的解答思路,例如点关于直线的对称,曲线关于直线的对称,曲线关于点的对称等,解答理论基础有中点坐标公式、垂直时斜率乘积为1、代入法、转化思想同时,我们也要把握一些简单对称,如点 , a b 关于直线 yx 的对称点为 , b a 学习好资料欢迎下载|22 2【例 4】 求圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦的长解：由题意,列出方程组x2y24x04y120,消去二次项,得yxx2y24把yx2代入2 xy2x2y0,得x22 x0,解得x 12,x 20,AB|于是y 10,y 22,两圆的交

4、点坐标是A 2,0,B0,2,所以,公共弦长另解 ：由题意,列出方程组x2y24x0y120,消去二次项,得yx2,它即公共弦所在直线的方程x2y244圆2 xy240的圆心到直线xy20的距离为d| 002 |22所以,两圆的公共线长为2r2d222 2222 2点评 ：为何两圆的方程消去二次项后,即为公共弦所在直线的方程,我们易由曲线系的学问可得比较方程思想与几何方法求解两圆的公共弦长,几何方法更为简捷先求公共弦所在直线,再求一圆心到直线的距离,通过公式2 r2d2求得弦长【基础达标】2 2 2 21圆 C 1: x m y 2 9 与圆 C 2: x 1 y m 4 外切,就 m 的值为

5、（）A2 B 5 C2 或 5 D不确定2 2 2 22圆 x y 2 x 0 和 x y 4 y 0 的公共弦所在直线方程为（）Ax 2 y 0 Bx 2 y 0 C 2 x y 0 D 2 x y 02 2 2 23如圆 x y 8 和圆 x y 4 x 4 y 0 关于直线 l 对称,就直线 l 的方程为（）Ax y 0 Bx y 0 Cx y 2 0 Dx y 2 04圆 x 2y22x0 和 x2y 24y0 的位置关系是（）A相离 B外切 C相交 D内切2 2 2 25两个圆 C 1: x y 2 x 2 y 2 0 与 C 2: x y 4 x 2 y 1 0 的公切线有且仅有（

6、）A1 条 B 2 条 C3 条 D4 条6两圆： x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0 及 x 2+y 2 + 4x + 2y 4 =0 的公共弦所在直线方程为7集合 A（ x,y）|x 2y 24, B（ x,y）|x3 2y4 2r 2,其中 r0,如 AB 中有且仅有一个元素,就 r 的值是15 CBCCB；6x+y+2=0；73 或 7 【才能提高】8求与圆x2y22x4y学习好资料欢迎下载10同心,且与直线2xy10相切的圆的方程解：将方程x2y22x4y10配方,得（x2 1） （y2 2）4,所以所求圆的圆心为（1,2）又所求圆与直线2xy10相切,圆的半径r221

7、215,2（2 1）所求圆的方程x2 1y2259求圆2 xy24x12y390关于直线 3x4y50的对称圆方程解：圆方程可化为x22y621, 圆心 C2,6, 半径为 1设对称圆圆心为C a b , , 就 C 与 C 关于直线 3 x4y50对称,因此有3a24b2650, 解得a3225b6 31b26 所求圆的方程为xa2 45322y262155 4.2.3 直线与圆的方程的应用【学问要点】坐标法：建立适当的直角坐标系后,借助代数方法把要讨论的几何问题,转化为坐标之间的运算,由此解决几何问题【例题精讲】【例 1】有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一

8、购得商品后运回的费用是：每单位距离,A 地的运费是 B 地运费的 3 倍已知 A、B 两地相距 10 千米,顾客购物的标准是总费用较低,求 A、B 两地的售货区域的分界线的曲线外形,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何挑选购货地解 ：建立使 A5, 0、B5,0的直角坐标系,设单位距离的运费是 a 元如在 A 地购货费用较低,就：价格A 地运费 价格 B 地运费即3ax2 5y2ax52y2x25 42y 21542 C 上的居民从A、a 0, 8x28y 2100 x200y0得两地购物区域的分界线是以点C25 4,0为圆心,15 4为半径的圆所以,在圆C 内的居民从A 地购物廉价,圆C

9、外的居民从B 地购物廉价,圆B 两地购物总费用相等学习好资料 欢迎下载【例 2】自点 A3,3发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆2 2x y 4 x 4 y 7 0 相切,求光线 l 所在的直线方程解：由已知可得圆 C： x 2 2 y 2 21 关于 x 轴对称的圆 C的方程为 x 2 2 y 2 21,其圆心 C（2, 2）,易知 l 与圆 C 相切设 l: y3=kx+3, 即 kxy+3k+3=051 kk 52 1,整理得 12k 2+ 25k+12=0 ,解得 k 34 或 k 43所以,所求直线方程为 y3= 3 x+3或 y 3= 4 x+

10、3,即 3x+4y3=0 或 4x+3y+3=04 3点评 ：关于求切线问题,利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件,是解决圆的切线方程的常用方法假如由方程组思想,通过“0” 求切线方程也可,但过程要复杂些2 2【例 3】 实数 ,x y 满意 x y 2 x 4 y 1 0, 求以下各式的最大值和最小值：（1）y；（2） 2x y x 42 2 y 解：原方程为 x 1 y 2 4,表示以 P 1,2 为圆心, 2 为半径的圆Mx,y（1）设 kx y4,几何意义是：圆上点 M x y 与点 Q 4,0 连线的斜率P Q4,0 由图可知当直线 MQ 是圆的切线时,k取最大值与最小值o x 设

11、切线 y 0 k x 4,即 kx y 4 k 0圆心 P 到切线的距离 | kk 2 21 4 k |2,化简为 21 k 220 k 0,解得 k 0 或 k 2021y 的最大值为 0,最小值为 20 x 4 21（2）设 2x y m ,几何意义是：直线 2 x y m 0 与圆有公共点 圆心 P 到直线的距离 | 22 2 m 2,解得 4 2 5 m 4 2 5 2 12x y 的最大值为 4 2 5 ,最小值为 4 2 5 点评 ：代数式最大值最小值的讨论,常用 数形结合思想 方法,将要讨论的代数问题转化为几何问题,关键是如何挖掘代数式的特点,利用几何意义进行转化例如,由代数式

12、x 2y 2Dx Ey F联想到两点的距离公式,或圆的方程；由代数式 y b 联想到两点的斜率,或直线的方程；由代数式x aAx By 联想到直线的方程；由代数式 | x a | | x b 联想到数轴上到两点的距离之和,等等【基础达标】1实数 x,y 满意方程xy40,就x22 y 的最小值为（）C 8 D12 A4 B6 学习好资料 欢迎下载2如直线 ax+by=1 与圆 x 2+y 2=1 相交,就点 Pa,b的位置是（）A在圆上 B在圆外 C在圆内 D都有可能3假如实数满意 x 2 2y 23,就y 的最大值为（）xA3 B3 C3D33 34一辆卡车宽 2.7 米,要经过一个半径为

13、4.5 米的半圆形隧道 双车道,不得违章 ,就这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过（）A1.4 米 B3.0 米 C3.6 米 D 4.5 米5过原点的直线与圆 x 2y 2 4x30 相切,如切点在第三象限,就该直线方程是（）Ay= 3 x By=3 x Cy= 3 x Dy=3 x3 32 26由动点 P 向圆 x y 1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B, APB=60,就动点 P 的轨迹方程为27已知直线 2 x y c 0 与曲线 y 1 x 有两个公共点,就 c 的取值范畴2 215 CBACC；6x y 4；7 5, 2 【才能提高】8已知实数 ,x y 满意

14、x 2y 24 x 3 0,求 y 2 的值域x 1解：方程 x 2y 24 x 3 0 化为 x 2 2y 21,其几何意义为： 以 C 2,0 为圆心, 1 为半径的圆设 y 2 k,其几何意义为：圆 C 上的点 P x y 与点 Q 1,2 连线的斜率x 1将 y 2 k 变形为 PQ kx y k 2 0,就x 1圆心到直线 PQ 的距离 d | 2 kk 2 k1 2 |1,解得34 3 k 34 3y 2 的值域为 3 3 3, 3x 1 4 49在直径为 AB 的半圆内,划出一块三角形区域,使三角形的一边为 AB,顶点 C 在半圆上,其它两边分别为 6 和 8,现要建造一个内接于

15、ABC 的矩形水池 DEFN ,其中, DE 在 AB 上,如图的设计方案是使 AC8, BC6（ 1）求ABC 中 AB 边上的高 h；（ 2）设 DN x,当 x 取何值时,水池 DEFN 的面积最大 . （ 3）实际施工时,发觉在 AB 上距 B 点 1.85 的 M 处有一棵大树,问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上 . 假如在,为爱护大树,请设计出另外的方案,使内接于满意条件的三角形中欲建学习好资料 欢迎下载的最大矩形水池能躲开大树解： 1由S1AB h1AB BC ,得hAC BC6 84.8322.421.822AB10（ 2） NF AB, CNF CAB,hDNNFhABN

16、F104.8x ,S DEFNx104.8x 25x210 x 4.84.812当 x24 时,S DEFN的值最大（ 3）当S DEFN最大时 x=24,此时 F 为 BC 中点在 Rt FEB 中, EF24,BF3, BEBF2EF2又 BM =185BE,故大树必位于欲修建的水池边上,应重新设计方案又当 x24 时, DE5, AD3 2由圆的对称性知满意题设条件的另外设计方案是如图 此方案满意条件且能躲开大树（2）,此时,AC6,AD18,BD82,10船行前方的河道上有一座圆拱桥,在正常水位时, 拱圈最高点距水面为 9m,拱圈内水面宽 22m船只在水面以上部分高 6.5m、船顶部宽

17、 4m,故通行无阻近日水位暴涨了 2.7m,船已经不能通过桥洞了船员必需加重船载,降低船身试问船身必需降低多少,才能顺当地通过桥洞 . 解：画出正常水位时的桥、船的示意图如图 1；涨水后桥、船的示意图如图 2以正常水位时河道中心为原点,建立如图 2 所示的坐标系设桥拱圆顶的圆心 O10,y1,桥拱半径为 r,就桥拱圆顶在坐标系中的方程为 x 2+y y1 2=r 2桥拱最高点 B 的坐标为 0,9,桥拱与原始水线的交点 A 的坐标为11,0圆 O1 过点 A,B,因此 0 2+9y1 2=r 2,11 2+0y1 2=r 2,两式相减后得 121+18y181=0,y1=20222；9回代到两

18、个方程之一,即可解出 r 1122所以桥拱圆顶的方程是 x 2+y+222 2=12594当船行驶在河道的正中心时,船顶最宽处角点 C 的坐标为 2,y使船能通过桥洞的最低要求,是点 C 正好在圆 O1 上,即 2 2+y+222 2=12594,解出 y 882扣除水面上涨的 270, 点 C 距水面为 882270=612船身在水面以上原高 65,为使船能通过桥洞,应降低船身 65612=038m 以上学习好资料 欢迎下载 4.3.1 空间直角坐标系【学问要点】1空间直角坐标系：从空间某一个定点O 引三条相互垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz,这样的坐标系叫做空间直角坐标系Oxyz

19、,点 O 叫做坐标原点, x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为 xOy 平面、 yOz 平面、 zOx 平面2右手直角坐标系：在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,如中指指向 z 轴的正方向,就称这个坐标系为右手直角坐标系3空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点 M,作出 M 点在三条坐标轴 Ox 轴、 Oy 轴、 Oz轴上的射影,如射影在相应数轴上的坐标依次为 x、y、z,就把有序实数组 x,y,z叫做 M 点在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M x, y,z,其中 x 叫做点 M 的横坐标, y 叫做点 M

20、的纵坐标, z叫做点 M 的竖坐标4在 xOy 平面上的点的竖坐标都是零,在 yOz 平面上的点的横坐标都是零,在 zOx 平面上的点的纵坐标都是零；在 Ox 轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零,在 Oy 轴上的点的横坐标、竖坐标都是零,在 Oz 轴上的点的横坐标、纵坐标都是零【例题精讲】z y 【例 1】 在空间直角坐标系中,作出点M6, 2,4M（ 6, 2,4）解：点 M 的位置可按如下步骤作出：4 O 先在 x 轴上作出横坐标是6 的点M ,再将M 沿与 y 轴平行的方向向6 左移动 2 个单位得到点M2,然后将M 沿与 z 轴平行的方向向上移动4M22 M1个单位即得点M M 点的位置如

21、下列图x 【例 2】在长方体ABCDA B C D 中, AB=12,AD=8,AA =5,试建立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标解：以 A 为原点,射线AB、AD、AA 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,就 A0,0,0、 B12,0,0、C12,8,0、D0,8,0、A 0,0, 5、B 12,0,5、C 12,8,5、D 0,8,5【例 3】 已知正四棱锥 PABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10,试建立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标分析 ：先由条件求出正四棱锥的高,再依据正四棱锥的对称性,建立适当的空间直角坐标系解：正四棱锥 PABCD

22、的底面边长为4,侧棱长为10,正四棱锥的高为2 23 以正四棱锥的底面中心为原点,平行于AB、BC 所在的直线分别学习好资料 欢迎下载为 x 轴、 y 轴,建立如下列图的空间直角坐标系,就正四棱锥各顶点的坐标分别为A2, 2,0、B2,2,0、C2,2, 0、D2, 2,0、P0, 0, 2 23 点评 ：在求解此类问题时,关键是能依据已知图形,建立适当的空间直角坐标系,从而便于计算所需确定的点的坐标【例 4】 在空间直角坐标系中,求出经过 A2,3, 1且平行于坐标平面 yOz 的平面 的方程分析 ：求与坐标平面 yOz 平行的平面的方程,即查找此平面内任一点所要满意的条件,可利用与坐标平面

23、 yOz 平行的平面内的点的特点来求解解：坐标平面 yOzx 轴,而平面 与坐标平面 yOz 平行,平面 也与 x 轴垂直,平面 内的全部点在 x 轴上的射影都是同一点,即平面 与 x 轴的交点,平面 内的全部点的横坐标都相等平面 过点 A2,3,1,平面 内的全部点的横坐标都是 2,平面 的方程为 x=2点评 ：对于空间直角坐标系中的问题,可先回忆与平面直角坐标系中类似问题的求解方法,再用类比方法求解空间直角坐标系中的问题此题类似于平面直角坐标系中,求过某肯定点且与x 轴或y 轴平行的直线的方程【基础达标】1点 A 2,0,3 在空间直角坐标系的位置是（）Ay 轴上 B xOy 平面上 C

24、xOz平面上 D yOz 平面上2在空间直角坐标系中,以下说法中： 在 x 轴上的点的坐标肯定是 0, , b c ；在 yOz 平面上的点的坐标肯定可写成 0, , b c ；在 z 轴上的点的坐标可记作 0,0, c ；在 xOz平面上的点的坐标是 ,0, c 其中正确说法的序号依次是（）A B C D3结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图其中实点代表钠原子,黑点 代表氯原子建立空间直角坐标系 的钠原子所在位置的坐标是（）O xyz 后,图中最上层中间A1 1 2 2,1B 0,0,1C1,1,1D1,1 1 ,2 224点A 1,2,1在 x 轴上的射影和在xOy 平面上的射影点分别为（）A 1,0,1、 1,2,0