直线方程的两点式和一般式-完整版PPT

1、第2课时直线方程的两点式和一般式问题引航1.如何由直线上的两点确定直线的方程？2.直线的两点式方程的适用范围是什么？直线的截距式方程与两点式方程的关系是什么？3.直线的一般式方程是什么？1.直线方程的两点式和截距式名称两点式截距式已知条件P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2在x，y轴上的截距分别为a，b且ab0示意图方程_适用范围_y1y2且x1x2ab02.直线的一般式方程把关于x，y的二元一次方程_叫做直线的一般式方程，简称一般式.其中系数A，B满足_.Ax+By+C=0A，B不同时为01.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)两点式适用于求与两坐标轴不垂直的

2、直线方程.()(2)截距式可表示除过原点外的所有直线.()(3)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.()(4)平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)表示.()【解析】(1)正确.从两点式方程的形式上看，只要x1x2，y1y2，就可以用两点式求解.(2)错误.截距式适用的范围为ab0，所以截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.(3)错误.如当一般式方程中的B=0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式.(4)正确.因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，当90时，直线的斜率存在，其方程可写成y=kx+b，它可变形为kx-

3、y+b=0，与Ax+By+C=0比较，A=k，B=-1，C=b；当=90时，直线斜率不存在，其方程可写成x=x1，与Ax+By+C=0比较，A=1，B=0，C=-x1，显然A，B不同时为0，所以此说法是正确的.答案：(1)(2)(3)(4)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知直线l过A(3，-5)和B(-2，5)，则直线l的方程为_.(2)过点(0，2)和(-3，0)的直线的截距式方程是_.(3)直线2x+y+4=0的斜率k=_.【解析】(1)因为直线l过点A(3，-5)和B(-2，5)，由两点式方程得即 ，整理得2x+y-1=0.答案：2x+y-1=0(2)因为两点在坐标轴上，所

4、以直线的纵截距为2，横截距为-3.所以直线方程为答案： (3)A2，B1，则k- -2.答案：-2 【要点探究】知识点1 直线的两点式与截距式方程1.对直线的两点式方程的三点说明(1)方程 也可写成 ，两者形式有异但实质相同.即直线的两点式方程的表示与P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的顺序无关.(2)当直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为零(y1=y2)时，不能用两点式表示.(3)如果将直线两点式转化为：(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)，此时只要直线上两点不重合，都可以用该等式表示出来(即这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线).2.解读直线的截距式方程(1)截距

5、式方程 =1应用的前提是a0且b0，即直线过原点或与坐标轴垂直时不能用截距式方程.(2)截距式方程的特点有两个：一是中间必须用“+”号连接，二是等号右边为“1”.(3)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，在求直线方程时合理地选择形式，会提高解题效率.【微思考】(1)直线的两点式方程能用 (x1x2，y1y2)代替吗？提示：方程 所表示的图形不含点(x1，y1)，不能表示整条直线，故不能用其代替两点式方程.(2) =1与 =-1是直线的截距式方程吗？提示：不是.不符合截距式方程的结构特点.【即时练】1.直线 =1(ab0)的图象可能是()【解析】选C.直线在x，y轴上

6、的截距分别为a，b，且ab0时，k0，倾斜角为钝角；AB0，倾斜角为锐角；A=0时，k=0，倾斜角=0；B=0时，k不存在，倾斜角=90.【即时练】1.若方程Ax+By+C=0表示直线，则A，B应满足的条件为()A.A0 B.B0C.AB0 D.A2+B202.直线 =1化成一般式方程为_.【解析】1.选D.A，B不能同时为0，则A2+B20.2. =1可化为4x+3y=12，即4x+3y-12=0.答案：4x+3y-12=0【题型示范】类型一 直线的两点式和截距式方程【典例1】(1)经过点A(1，2014)，B(1，2015)的直线方程是_；经过点P(-1，2014)，Q(-2013，201

7、4)的直线方程是_.(2)(2014咸阳高一检测)已知ABC的顶点A(1，-1)，线段BC的中点为D .求BC边上的中线所在直线的方程；若边BC所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求BC所在直线的方程.【解题探究】1.题(1)中，横坐标相等或纵坐标相等，能利用两点式求直线的方程吗？2.题(2)中可考虑用直线的什么形式求直线方程？【探究提示】1.不能，可直接写出直线的方程.2.先利用两点式求出直线AD的方程，然后利用所给条件求出直线BC在x轴、y轴上的截距，用截距式表示出直线BC的方程.【自主解答】(1)因为A，B两点的横坐标相等，所以直线垂直x轴，故直线AB的方程为x=1；又因为P，Q两点的纵坐

8、标相等，所以直线垂直y轴，故直线PQ的方程为y=2014.答案：x=1y=2014(2)因为线段BC的中点坐标为D ，ABC的顶点A(1，-1)，由两点式得直线AD的方程为即BC边上的中线所在直线的方程为5x-4y-9=0.设直线BC在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，由题意得ab9，(i)直线BC的截距式方程为 1，因为点 在直线BC上，所以所以6b3a2ab.(ii)由(i)(ii)可得2a2-21a540，即(2a-9)(a-6)0，解得a 或a6.因此，所求直线BC在两坐标轴上的截距为所以直线BC的方程为即2x2y-90或x2y-60.【方法技巧】1.已知直线上两点坐标求直线方程的

9、注意点(1)在所给的两点中，若横坐标相等或纵坐标相等，可直接写出直线的方程.(2)在所给的两点中，若横坐标不相等且纵坐标不相等，可以用两点式也可用点斜式求解.(3)运用公式必须注意依照公式的结构特征，两点式方程两边分式的分子、分母四个减数为同一个点的纵、横坐标y1，x1.2.用截距式方程解决问题的优越点及注意事项(1)由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式.(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式，

10、故解决问题过程中要注意分类讨论.【变式训练】求过点P(2，3)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线方程.【解析】设直线在y轴上的截距为b，则在x轴上的截距为2b.若b=0，则直线过(0，0)与(2，3)点，则其方程为3x-2y=0.若b0，则设其方程为 =1，又因为过点(2，3).所以 =1，即b=4.所以 =1，即x+2y-8=0.综上，所求直线方程为3x-2y=0或x+2y-8=0.【误区警示】本题易忽视b=0的情况而漏解.【补偿训练】(2013临沂高一检测)已知ABC三个顶点坐标A(2，-1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程.【解析】因为A(2，-1)，B

11、(2，2)，A，B两点横坐标相同，所以直线AB与x轴垂直，故其方程为x=2.因为A(2，-1)，C(4，1)，所以由直线方程的两点式可得直线AC的方程为即x-y-3=0.因为B(2，2)，C(4，1)，所以由直线方程的两点式可得直线BC的方程为即x+2y-6=0.类型二 直线的一般式方程【典例2】(1)直线l的一般式方程为x-2y+6=0，则直线l的斜率为_，它在x轴与y轴上的截距分别为_，_.(2)已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，求过定点A(-3，4)的直线l的方程.【解题探究】1.题(1)中如何由直线的一般式方程求斜率？2.题(2)中直线的斜率存在吗？选取直线方程的哪种形式较简

12、单？【探究提示】1.先把一般式方程化为斜截式方程，再求斜率.2.由直线与两坐标轴围成三角形可知直线的斜率一定存在，并且不为0，又过点A，所以可考虑点斜式.【自主解答】（1）将直线l的一般式方程化成斜截式：y x3，因此，直线的斜率为k ，它在y轴上的截距为3；在直线方程x-2y60中，令y0，得x-6.答案： -6 3(2)由题意设直线l的方程是yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是由已知，得(3k4)( +3)6，解得 或故直线l的方程为2x3y-60或8x3y120.【延伸探究】题(2)中的条件“过定点A(-3，4)”改为“斜率为 ”呢？【解析】设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的

13、方程是y xb，它在x轴上的截距是-6b，由已知，得|-6bb|6，所以b1.所以直线l的方程为x-6y60或x-6y-60.【方法技巧】1.求直线的一般式方程的策略(1)当A0时，方程可化为 ，只需求 的值；若B0，则方程可化为 ，只需确定 的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程.(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.2.直线的一般式转化为其他形式的步骤(1)一般式化为斜截式的步骤移项得By=-Ax-C；当B0时，得斜截式：(2)一般式化为截距式的步骤把常数项移到方程右边，得Ax+By=-C；当C0时

14、，方程两边同除以-C，得当AB0时，化为截距式：由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.3.待定系数法求直线方程的步骤(1)根据直线满足的条件，选取恰当直线方程的形式.(2)由已知条件列方程(组)，求出其中待定字母的值.(3)将待定字母的值代入方程，并将方程进行化简，一般写成直线的一般式方程，x的系数为非负数，且x，y的系数不要有分数存在.【变式训练】根据下列条件求解直线的一般式方程.(1)直线的斜率为2，且经过点A(1，3).(2)斜率为 ，且在y轴上的截距为4.(3)经过两点A(2，-3)，B(-1，-5).(4)在x，y

15、轴上的截距分别为2，-4.【解题指南】分别利用直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式求出直线的方程，然后转化为直线方程的一般式.【解析】(1)因为k=2，且经过点A(1，3)，由直线的点斜式可得y-3=2(x-1)，整理可得2x-y+1=0，所以直线的一般式方程为2x-y+1=0.(2)由直线的斜率k= ，且在y轴上的截距为4，故直线的斜截式为y= x+4，整理可得直线的一般式方程为 x-y+4=0.(3)由直线的两点式可得 ，整理得直线的一般式方程为2x-3y-13=0.(4)由直线的截距式可得 ，整理得直线的一般式方程为2x-y-4=0.【补偿训练】已知直线Ax+By+C=0的斜率为5，且A

16、-2B+3C=0，求直线的方程.【解析】方法一：因为直线Ax+By+C=0的斜率为5，所以B0，且- =5，即A=-5B，又因为A-2B+3C=0.由，得-5B-2B+3C=0，所以C= B，把代入直线方程，得-5Bx+By+ B=0.又因为B0，所以-5x+y+ =0.故所求直线的方程为15x-3y-7=0.方法二：因为A2B3C0，所以所以直线经过点又因为斜率为5，所以所求直线的方程为即15x3y70.【拓展类型】直线方程的综合应用【备选例题】(1)设A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，直线x=m将ABC的面积平分，则m的值为_.(2)(2014潍坊高一检测)已知直线l：kx-y+1

17、+2k=0(kR).证明：直线l过定点；若直线不经过第四象限，求k的取值范围.【解析】(1)由SABC ，得SADE ，又AC的方程是 1，E在AC上，可求得E(m，3 )，则|DE| 0，所以解得m .答案：(2)直线l的方程是：k(x2)(1-y)0，令 解得所以无论k取何值，直线过定点(-2，1)由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为 在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得k0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.【方法技巧】1.直线方程一般式的综合应用(1)直线方程的一般式同二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为零)之间是一一对应关系，因此研究直线的

18、几何性质完全可以借助于方程的观点来研究，这实际上也是解析几何的思想所在用方程的思想来研究几何问题.(2)可以借助于直线方程的五种形式间的互化，求解一些定值问题、范围问题等.2.直线恒过定点的求解策略【规范解答】分类讨论在直线方程中的应用【典例】(12分)(2014吉安高一检测)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(aR).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程.(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升失分点1：解题时若对截距的定义理解不透，即忽视处对截距为零的情况的讨论，将会导致结论不全而失分.失分点2：解题时若不能正确求出直线的纵横截距，即不能在处正确得到关于a的方程，将会造成解题错误，考试时最多得8分.失分点3：解题时，若不能正确的根据直线的斜率与截距而确定参数a需满足的条件，即在处不能得到关于a的不等式组，将造成第(2)问不得分.【悟题】提措施，导方向1.注重分类讨论的意识培养求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论.如本例(1)需对截距是否为0进行分类讨