直线与圆的位置关系-完整版PPT

1、2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系问题引航1.平面几何中学过的直线与圆的位置关系有几种？2.如何判断直线与圆的位置关系？直线与圆的位置关系及判断直线Ax+By+C=0(A2+B20)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)(1)直线与圆有三种位置关系：直线与圆_，有两个公共点.直线与圆_，有一个公共点.直线与圆_，没有公共点.相交相切相离(2)判断直线与圆的位置关系的两种方法：几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断：_相交，_相切，_相离.代数法：联立直线与圆的方程，消元转化为一元二次方程，利用判别式“”进行判断：_相交，_相切，_相离.dr0=001.判

2、一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)过一点作圆的切线有一条.()(2)如果一条直线被圆截得的弦长最大，则该直线过圆心.()(3)直线ax+y=1与圆x2+(y-1)2=1的位置关系与a有关.()【解析】(1)错误，当点在圆上时，切线有一条；当点在圆外时，切线有两条，当点在圆内时，无切线.(2)正确.直线被圆截，所得最长弦为直径.(3)错误.直线ax+y=1过定点(0，1)，即直线一定过圆心，所以直线一定与圆相交，与a的值无关.答案：(1)(2)(3)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)直线x+y=1与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是_.(2)圆x2+y2=r2与直线x+

3、y=1相切，则r的取值是_.(3)直线l：x+y=a过原点，则l与圆(x-1)2+y2=2的位置关系是_.【解析】(1)圆心为(1，1)，半径为1，圆心到直线x+y=1的距离为 所以直线与圆相交.答案：相交(2)因为圆与直线相切，所以圆心(0，0)到x+y=1的距离d=|r|，所以 所以 所以r的取值是 答案：(3)因为x+y=a过原点，所以a=0，所以直线方程为x+y=0，圆心(1，0)到直线x+y=0的距离为 所以直线与圆相交.答案：相交【要点探究】知识点1 直线与圆的位置关系对直线与圆的位置关系的两点说明(1)直线与圆的位置关系可以按照由远及近的顺序记忆：相离(没有公共点)相切(只有一个

4、公共点)相交(两个公共点).(2)直线与圆的位置关系用图形可以表示为【微思考】(1)直线与圆会不会有两个以上的交点？提示：不会，直线与圆最多有两个交点.(2)直线如果过圆内一点，也过圆外一点，是否直线与圆一定有交点？提示：一定有.因为直线与圆在同一平面内且过圆内一点，所以直线与圆一定有交点.【即时练】1.如果圆(x-1)2+(y-1)2=a2与两坐标轴恰有两个交点，那么a的取值为_.2.圆x2+2x+y2=0与直线y=x+b没有交点，则b的取值范围是_.【解析】1.因为(x-1)2+(y-1)2=a2与两坐标轴恰有两个交点，所以圆与坐标轴相切，所以|a|=1，a=1.答案：12.圆x2+2x+

5、y2=0可化为(x+1)2+y2=1，圆心为(-1，0)，半径r=1.如图当直线y=x+b与圆相切时，两条直线分别交x轴于点A，B，则A( -1，0)，B(-1- ，0)，所以直线与圆没有公共点时，b +1.答案：(-，- +1)( +1，+)知识点2 圆的切线1.切线条数已知一点求切线时，先明确切线的条数.当已知点是圆上一点时，切线有一条.当已知点是圆外一点时，切线有两条.当已知点是圆内一点时，不存在切线.2.切线方程求法求切线方程有两种方法：一是代数法，通过令一元二次方程判别式等于零求解；二是几何法，利用圆心到直线的距离等于半径求解.【微思考】(1)当直线与圆相切时，圆心O到直线l的距离d

6、，与半径r有什么数量关系？提示：d=r.(2)设切线长为|PQ|(Q为切点)，P到圆心的距离为|PO|，圆的半径为r，则三者之间有怎样的数量关系？提示：|PO|2=|PQ|2+r2.【即时练】1.圆(x-2)2+y2=1与直线x=a相切，则a=_.2.过点(1，1)的圆x2+y2=1的切线方程为_.【解析】1.由题意知|2-a|=1，a=1或a=3.答案：1，32.由图知切线方程为x=1，y=1.答案：x=1，y=1【题型示范】类型一 直线与圆的位置关系问题【典例1】 (1)直线x+y+1=0与圆(x-1)2+y2=2的位置关系是()A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定(2)已知圆的方程

7、是x2+y2=1，直线y=x+b.当b为何值时，圆与直线只有一个公共点；圆与直线有两个公共点；圆与直线没有公共点.【解题探究】1.题(1)中圆心坐标和半径分别是多少？圆心到直线的距离用什么公式求解？2.在题(2)中，圆与直线有两个公共点，需满足什么条件？【探究提示】1.根据圆的方程可知圆心坐标为(1，0)，半径为 ，圆心到直线的距离用点到直线的距离公式 求解.2.直线与圆有两个公共点，直线与圆需相交即圆心到直线的距离小于半径，或联立直线和圆的方程，得到关于x的一元二次方程，其判别式大于0.【自主解答】(1)选C.圆(x-1)2+y2=2的圆心为(1，0)，半径为 ，所以圆心(1，0)到直线的距

8、离为 所以直线与圆相切，故选C.(2)方法一：圆x2+y2=1的圆心(0，0)到直线l：y=x+b的距离d= ，圆的半径为r=1.当d= =1，即b= 时，直线与圆相切，此时直线与圆只有一个公共点.当d= 1，即- b1，即b 时，直线与圆相离，此时直线与圆没有公共点.方法二：联立直线和圆的方程组成方程组：整理可得2x2+2bx+b2-1=0，其中=4(2-b2).当=0，即b= 时，直线和圆相切，此时直线和圆只有一个公共点.当0，即- b 时，直线和圆相交，此时直线和圆有两个公共点.当0，即b 时，直线和圆相离，此时直线和圆没有公共点.【方法技巧】直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直

9、线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则利用几何法较简单.(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单.【变式训练】(2014西城区高一检测)在同一坐标系下，直线ax+by=ab和圆(x-a)2+(y-b)2=r2(ab0，r0)的图象可能是()【解析】选D.直线ax+by=ab在x轴，y轴上的截距分别为b和a，圆心横坐标为a，纵坐标为b.在A中，由直线位置可得b0，这不可能，故A不正确.在B中，由直线位置可得a0，而由圆的位置可得a0，而由圆的位置可得a0，b0，br，因此，圆与AB相离.(2)当r=2.4cm时，有d=r，因此，圆与AB相切.(3)当r=

10、3cm时，有d0，所以m=2.(2)方法一：设直线的方程为y=x+m，即x-y+m=0.圆(x-2)2+(y-3)2=8的圆心坐标为(2，3)，半径为2 .由 得m=5或m=-3.所以直线方程为y=x+5或y=x-3.方法二：设直线的方程为y=x+m，与圆的方程联立得方程组消去y得2x2+(2m-10)x+m2-6m+5=0，由直线与圆相切，=(2m-10)2-8(m2-6m+5)=0，即m2-2m-15=0，解得m=5或m=-3，所以直线的方程为y=x+5或y=x-3.答案：y=x+5或y=x-3(3)由于(2-1)2+(4+3)2=501，故点M在圆外.当切线斜率存在时，设切线方程是y-4

11、=k(x-2)，即kx-y+4-2k=0，由于直线与圆相切，故 解得k= ，所以切线方程为24x-7y-20=0.又当切线斜率不存在时，直线x=2与圆相切.综上所述，所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.【延伸探究】题(3)中，若所给点M的坐标是(1，-4)，求切线方程.【解析】由于(1-1)2+(-4+3)2=1，故点(1，-4)在圆上，又圆心为(1，-3)，所以切线斜率为0，所以切线方程为y=-4，即y+4=0.【方法技巧】圆的切线的求法(1)点在圆上时：求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为- ，由点斜式可得切线方程.如果

12、切点与圆心连线的斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程为x=x0或y=y0.(2)点在圆外时：几何法：设切线方程为y-y0=k(x-x0).由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程.代数法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由=0求出k，可得切线方程.还应注意切线斜率不存在的情况.【变式训练】(2013天津高考)已知过点P(2，2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切，且与直线ax-y+1=0垂直，则a=()A.- B.1 C.2 D.【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率，再由两直线垂直求a的值.【解析】选C.因为点

13、P(2，2)为圆(x-1)2+y2=5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1，0)与点P(2，2)的连线与过点P(2，2)的切线垂直.因为圆心(1，0)与点P(2，2)的连线的斜率k=2，故过点P(2，2)的切线斜率为- ，所以直线ax-y+1=0的斜率为2，因此a=2.【补偿训练】已知圆(x-2)2+(y-3)2=1，求该圆与在x轴和y轴的截距相等的切线l的方程.【解析】由题意设切线l与x轴和y轴的截距均为a，当a0时，设l的方程为 即x+y-a=0，因为直线l和圆相切，所以圆心(2，3)到直线l的距离等于圆的半径长，故 解得a=5+ 或a=5- .所以切线l的方程为x+y-(5+ )=0或x

14、+y-(5- )=0，当a=0时，设l的方程为y=kx，即kx-y=0，所以 解得所以切线l的方程为(6+2 )x-3y=0或(6-2 )x-3y=0.综上所述，切线l的方程为x+y-(5+ )=0或x+y-(5- )=0或(6+2 )x-3y=0或(6-2 )x-3y=0.【规范解答】直线与圆的位置关系的综合问题【典例】(12分)(2014南京高一检测)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，求实数c的取值范围.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升失分点1：处不能将问题正确转化，导致问题无法求解.失分点2：点到直线的距离公式应用不准确，不能得出处不等式.失分点3：不能正确解出不等式的解，导致处解的结果出错.【悟题】提措施，导方向1.注重数形结合思想的应用在解决直线与圆的问题时，利用数形结合和平面几何的性质，可使问题简便易求.如本例将圆上四个点到直线的距离问题转化成圆心到直线的距离问题，明确了思路，简化了运算.2.关注解题条件的分析与转化解答本题的突破口在于圆上恰有三个点到直线距离等于1的位置的确定，此时圆心到直线的距离也为1，结合图形分析可知所求问题可转化为圆心到直线的距离小于1，所以找准问