1.56789建立函数关系的例等

1、1.5 建立函数关系的例题一、成本函数四、其它函数二、收益函数与利润函数三、库存函数经济分析中常见的函数 需求函数供给函数成本函数收入函数利润函数 记一、成本函数 某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格或费用总额 它由固定成本与可变成本组成 设C为总成本 C1为固定成本 C2为可变成本C为平均成本 Q为产量 则有 总成本函数 CC(Q)C1C2(Q) 例3 某工厂生产某产品，每日最多生产100单位.它的日固定成本为130元，生产一个单位产品的可变成本为6元. 求该厂日总成本函数 C 及解:设日产量为 x ,则平均单位成本函数 P25例4 某工厂生产某产品 每日最多生产

2、100单位 它的日固定成本为130元 生产一个单位产品的可变成本为6元 求该厂日总成本函数及平均单位成本函数 解 设日总成本为C 平均单位成本为C 日产量为x 由于日总成本为固定成本与可变成本之和 根据题意 日总成本函数为 CC(x)1306x 平均单位成本函数为二、收益函数与利润函数 总收益是出售一定数量的产品所得到的全部收入 总利润是生产一定数量的产品的总收益与总成本之差 设P为商品价格 Q为商品量 R为总收益 C(Q)为总成本 则有 总收益函数 RR(Q)QP(Q) 总利润函数 L(Q)R(Q)C(Q) 补充:例 设某产品的价格与销售量的关系为P100.2Q 成本函数为C502Q 求销售

3、量为30时的总收益、平均收益和总利润 解R(Q)QP(Q)10Q0.2Q 2R(30)120 R(Q)P(Q)100.2QR(30)4 L(Q)R(Q)C(Q)10Q0.2Q 2(502Q) 8Q0.2Q 250L(30)10 四、其它函数 P24例1 有一工厂A与铁路的垂直距离为a公里 它的垂足B到火车站C的铁路长为b公里 工厂的产品必须经火车站C才能转销外地 已知汽车运费是m元/吨公里 火车运费是n元/吨公里(mn) 为节省运费 想在铁路上修一转运站M 试将运费表为距离|BM|的函数 其定义域为0 b 根据题意 有 解设|BM|x 运费为y 三、库存函数定义域为(0, a 中a的正整数因子

4、。 P24 例2 某工厂生产某型号车床 年产量为a台 分若干批进行生产 每批生产准备费为b元 设产品均匀投入市场 且上一批用完后立即生产下一批 即平均库存量为批量的一半 设每年每台库存费为c元 试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系 解 设批量为x 库存费与生产准备费的和为P(x) P25 例3 某运输公司规定货物的吨公里运价为 在a公里以内m和里程s之间的函数关系 解 根据题意 当0 0 故称正弦函数 y = sinx 的周期为2 . = 2k ( k Z 且 k 0) 均为函数y = sin x 的周期, 而它的最小正周期为T = min 2k = 2 kZ+的周期为2 .的周

5、期为 .周期函数举例 例如解 设所求的周期为T，由于例13求函数的周期，其中 为常数并注意到 的周期为 ,只需使上式成立的最小正数为所以函数 的周期为三、函数的单调增减性定义112(函数的单调性) 设函数f(x)在区间I上有定义 x1和x2为I中任意两点 如果当x1x2时 总有f(x1)f(x2) 则称函数f(x)在区间I上单调增加 如果当x1x2时 总有f(x1)f(x2) 则称函数f(x)在区间I上单调减少 单调增加函数的图形是沿x轴正向逐渐上升的 单调减少函数的图形是沿x轴正向逐渐下降的 记单调增加的函数的图形是沿x 轴正向上升的；单调减少的函数的图形是沿x 轴正向下降的；yyxxoo单

6、调递增 单调递减 单调性递增开始演示!演示单调性递减开始演示单调性演示结束!所以yx3在(, )内是单调增加的 例4 判断函数yx3的单调性 解对于任意的x1、x2 如果x1x2 那么x13x23 因此有 f(x 1)f(x2) 三、函数的单调增减性定义112(函数的单调性) 设函数f(x)在区间I上有定义 x1和x2为I中任意两点 如果当x1x2时 总有f(x1)f(x2) 则称函数f(x)在区间I上单调增加 如果当x1x2时 总有f(x1)f(x2) 则称函数f(x)在区间I上单调减少 在函数的定义域内 函数的单调性不一定相同 三、函数的单调增减性定义112(函数的单调性) 设函数f(x)

7、在区间I上有定义 x1和x2为I中任意两点 如果当x1x2时 总有f(x1)f(x2) 则称函数f(x)在区间I上单调增加 如果当x1x2时 总有f(x1)f(x2) 则称函数f(x)在区间I上单调减少 例如 函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减; 而函数在定义域 上均单调递增. 其图象如下: yxoyxo 因此 函数的单调性是一个局部性的性质, 它与所讨论的区间I 有关. 画画图看看例3以后我们将运用微积分的方法研究函数的单调性。单调递增单调递减四、函数的有界性定义113(函数的有界性) 设函数yf(x)在I上有定义(I可以是函数f(x)的整个定义域,也可以是定义域的一部分) 如果存

8、在M0 使对任意xI 都有|f(x)|M 则称函数f(x)是I上的有界函数 否则称函数f(x)在M上无界 举例 函数ysin x在( )内是有界的 因为对任何实数x有|sin x|1 在1 )上是有界的 MM记 有界性 有 界有上界有下界四、函数的有界性成立，则称函数 y = f ( x )在区间 I 上是上方有界的, 简称有上界。设函数 y = f ( x ) 在区间I 上有定义。 若存在实数 M (可正，可负)，对一切 x I 恒有y = f ( x )f ( x ) M f ( x )m在区间 I 上是下方有界的, 简称有下界。设函数 y = f ( x )在区间 I 上有定义。若存在实

9、数 m (可正，可负), 对一切 x I 恒有 成立，则称函数 y = f ( x )y = f ( x )y = f ( x )xxyyAABBOOy = f ( x )函数有界示意图 设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。若存在实数 A , B , 使对一切 x I 恒有A f ( x ) B则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。函数有界性的定义函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界函数有界性的定义1.13记xy-O这里取 = 1.函数y = sin x 的图形位于直线y =1与y = 1

10、之间.例如，函数f (x)=sin x在 内是有界的. 这是因为对于任意的 ， 都有 成立，y证明或判断无界，通常依据:函数 y = f (x) 在区间 I 上无界，则不论 M 0 的值取得多么大， 总使得 | f ( x0 ) | M 成立。如果f (x)在x上无界，那么对于任意一个给定的正数M， x中总有相应的点 ，使 .如何证明或判断函数无界？例4应该注意，函数的有界性，不仅仅要注意函数的特点，还要注意自变量的变化范围.例如，函数 在区间(1,2)内是有界的.事实上，若取=1，则对于任何 而 在区间(0,1)内是无界的. 如函数 在区间 上有界, 因在该区间上恒有 成立; 在区间 上无界

11、.而函数在其定义域 R有界.易知：例5解在其定义域内是无界的。 故函数在任何一个有限区间内有界。1.7 反函数，复合函数一、反函数二、复合函数一、反函数销售量 x是销售收益 y的函数 我们称上述两个函数为互为反函数 设某种商品销售总收益为y 销售量为x 已知该商品的单价a 则销售总收益是x的函数 yax 反过来 对每一个给定的销售总收益y 则可以由yax确定出销售量x 习惯上称直接函数反函数只有在一一对应的前提下才能有反函数.与互为反函数. 反函数的定义习惯上，将函数 y = f (x) 的反函数记为 注：一个函数如果有反函数 它必定是一一对应的函数关系 例如 在( )内 yx2不是一一对应的

12、函数关系 所以它没有反函数 而在(0 )内yx2有反函数 在(, 0)内 yx2有反函数 单调增加（或减少）的.定理或减少的反函数的图形 将函数 y = f (x) 的反函数写成 x = f 1(y) 时，函数与其反函数的图形相同. 将函数 y = f (x) 的反函数记为 y = f 1(x) 时，函数 y = f (x) 与其反函数 y = f 1(x) 的图形关于第、 象限的角平分线 y = x 对称。 yf(x)与yf 1(x)的关系是x与y互换 所以它们的图形是对称于直线yx 反函数的图形函数与自变量、因变量的记号无关例如 ,对数函数互为反函数 ,它们都单调递增,其图形关于直线对称

13、.指数函数反函数的定义域与值域 函数yf(x)与函数xf 1(y)是互为反函数 习惯上 我们将xf 1(y)改写为以x为自变量、以y因变量的函数yf 1(x) 这时我们说yf 1(x)是yf(x)的反函数 例1 求y3x1的反函数 由yf(x)3x1可以求出 解 将上式中的x换成y 将y换成x 得出y3x1的反函数是 记定义114(反函数) 设函数 的定义域为D 值域为Z 如果对于每个yZ 存在唯一 xD 使f(x)y 则 x 是一个定义在Z上的函数 记为xf 1(y) (yZ) 称为yf(x) (xD)的反函数 反函数的求法例1y=x20 xy例1 反函数是求分段函数的反函数是： 先求出各段

14、上函数的反函数， 然后综合起来，得出原分段函数的反函数。例2(类似P32-例2)解: 当x0时,y1,当x0时,y 0, a 1 )4. 对数函数 y = loga x ( a 0, a 1 )5. 三角函数 y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x6. 反三角函数 y = arcsin x y = arccos x y = arctan x y = arccot x y = arcsec x y = arccsc x记一、基本初等函数1 常数 yc 它的定义域是(, ) 图形为平行于x轴截距为c的直线 1 常数 y

15、c 它的定义域是( ) 图形为平行于x轴截距为c的直线 2 幂函数 yxa (a为任何实数) 它的定义域随a而异 但不论a为何值 xa在(0 )内总有定义 而且图形都经过(1 1)点 常用的幂函数有 yoxyoxyoxyoxy=c(c0)y=0 x=c(c0)x=0常见的直线图形yoxy=xy=2x+2y=-2x-2y=2x-21-1y=-2x+2yox(0,2)-1yox(0,2)yox-1(0,-2)1yox(0,-2)常见的直线图形(1)3 指数函数 yax(a0 a 1) 它的定义域为( ) 值域为(0 ) 都通过(0 1)点 当a1时 函数单调增加 当0a1时 函数单调减少 指数函数

16、举例 4 对数函数 ylogax(a0 a 1) 它的定义域为(0 ) 都通过(1 0)点 当a1时 函数单调增加 当0a1时 函数单调减少 对数函数与指数函数互为反函数 常用公式 xeln x(x0) ln xaaln x(x0) ln xyln xln y(x0, y0) 指数函数举例 5 三角函数 三角函数有 ysin x ycos x ytan x ycot x ysec x ycsc x ysin x与ycos x的定义域均为(, ) 均以2为周期 因为sin(x)sin x 所以ysin x为奇函数 因为cos(x)cos x 所以ycos x为偶函数 又因|sin x|1 |co

17、s x|1所以它们都是有界函数 ytan x以为周期 是奇函数 5.三角函数x yyx6 反三角函数 常用的反三角函数有yarcsin x yarccos x yarc tan 三角函数ysin x ycos x ytan x 的反函数分别记作 yArcsin x yArccos x yArc tan x 它们都是多值函数 我们按下列区间取其一段 称为主值分支 分别记作 yarccos x y 0, 因为 在其定义域内不单调,因此在整个定义域内没有反函数.为了求其反函数,我们需要缩小定义范围,所定义的新区间应满足以下三个条件:在所定义的区间上必须单调;所定义的区间应尽可能的大一些;所定义的区间

18、要包含坐标原点在内(或尽可能靠近坐标原点).于是,选择区间 最合适如图6 反三角函数 6.反三角函数 常用的反三角函数有yarcsin x yarccos x yarctanx 函数值的确定 例 求arcsin x 例求arccos x 在0, 内确定一点 使cos x 则arccos x 1.常函数 2.幂函数yxoxoy3.指数函数 4.对数函数oyxoyx 基本初等函数图象如下5.三角函数x yyx 6.反三角函数因为 在其定义域内不单调,因此在整个定义域内没有反函数.为了求其反函数,我们需要缩小定义范围,所定义的新区间应满足以下三个条件:在所定义的区间上必须单调;所定义的区间应尽可能的

19、大一些;所定义的区间要包含坐标原点在内(或尽可能靠近坐标原点).于是,选择区间 最合适y因为上式不太合呼大家的习惯,所以常做变量的更换,得由反函数的图象对称性可做出其图象为:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.初等函数的定义二、初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的并且可以由一个解析式子表示的一切函数，统称为初等函数 初等函数是用一个表达式表示的函数一般情况下，分段函数不是初等函数。记 例1 下列函数中 哪些是基本初等函数？哪些是初等函数？ 不是初等函数 其它都是初等函数 xy1=, y=ex, y=sin ax, y=2x2, y=sin2x, 解: xy1=, y=ex是基本初等函数. 例2 把下列初等函数分解成较简单的函