广东省广州市花都区二中高三第二轮复习-应用问题的题型与方法

1、广州市花都区二中高三其次轮复习应用问 题的题型与方法 一、考试内容 数学科的考试,依据“ 考查基础学问的同时,留意考查才能” 的原就,测试中学数学基础学问、基本技能、基本思想和方法,考查思维才能、运算才能、空间想象才能、解决实际 .二、考试要求“ 考试说明” 对于“ 解决实际问题的才能” 的界定是：能阅读、懂得对问题进行陈述的材料； 能综合应用所学数学学问、思想和方法解决问题,包括提炼、 解决在相关学科、 生产、生活中的数学问题,并能用数学语言正确地加以表述.并且指出：对数学应用问题,要把握好提出问题所涉及的数学学问和方法的深度和广度,切合中学数学教学实际应用问题的“ 考试要求” 是考查考生的

2、应用意识和运用数学学问与方法来分析问题解 决问题的才能,这个要求分解为三个要点：1、要求考生关怀国家大事,明白信息社会,讲究联系实际,重视数学在生产、生活及 科学中的应用,明确“ 数学有用,要用数学” ,并积存处理实际问题的体会 . 2、考查懂得语言的才能,要求考生能够从一般语言中捕获信息,将一般语言转化为数 学语言,以数学语言为工具进行数学思维与沟通 . 3、考查建立数学模型的初步才能,并能运用“ 考试说明” 所规定的数学学问和方法来 求解 . 三、复习目标数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一,也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道挑选填空题. 解答这类问题的要害

3、是深刻懂得题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中, 函数,数列,不等式,排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起重视 .由于数学问题的广泛性,实际问题的复杂性,干扰因素的多元性,更由于实际问题的专一性, 这些都给同学能读懂题目供应的条件和要求,在生疏的情形中找出本质的内容,转化为函数、方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题 .四、双基透视高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型,另外,估测运算型和信息迁移型也时有显现 .当然,数学高考应用性问题关注当前国内外的政治,经济,文化,紧扣时代的主旋律,凸显

4、了学科综合的特色.求解应用题的一般步骤是（四步法）：1、读题 ：读懂和深刻懂得,译为数学语言,找出主要关系；2、建模 ：把主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题；3、求解 ：化归为常规问题,挑选合适的数学方法求解；4、评判 ：对结果进行验证或评估,对错误加以调剂,最终将结果应用于现实,作出解 释或验证 . 在近几年高考中,常常涉及的数学模型,有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模 型、三角模型、排列组合模型等等 . 函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容,现实世界中普遍存在着的最优化问题,常常可归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件,运用函数学问和方法去解

5、决 . 依据题意,娴熟地建立函数模型； 运用函数性质、不等式等学问处理所得的函数模型 . 几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及肯定图形属性的应用问题,常常需要应用几何图形的性质,或用方程、不等式或用三角函数学问来求解 . 数列模型 在经济活动中, 诸如增长率、 降低率、 存款复利、 分期付款等与年 （月）份有关的实际问题,大多可归结为数列问题,即通过建立相应的数列模型来解决 . 在解应用题时, 是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合肯定的规律,可先从特殊的情形入手,再查找一般的规律 . 中学数学各个章节中有关应用问题的内容分别是：1函数： 能够运用函数的性质、指数

6、函数和对数函数的性质解决某些简洁的实际问题 . 2不等式： 把握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简洁的应用 . 3平面对量 : 在立体几何与解析几何中的应用 . 4三角函数： 懂得函数 y=Asin x+ 中 A、 、 的物理意义；把握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用运算器解决解三角形的运算问题 . 5数列： 能运用公式解决简洁的问题 . 6直线和圆的方程：明白线性规划的意义,并会简洁的应用 . 7圆锥曲线方程：明白圆锥曲线的初步应用 . 8直线、平面、简洁几何体：平面及其基本性质,平面图形直观图的画法 . 平行直线,对应边分别平行的

7、角,异面直线所成的角,异面直线的公垂线,异面直线的距离 . 直线和平面平行的判定与性质,直线和平面垂直的判定与性质,点到平面的距离,斜线在平面上的射影,直线和平面所成的角,三垂线定理及其逆定理 距离,二面角及其平面角,两个平面垂直的判定与性质球等各部分都有应用 . 9排列、组合、二项式定理：. 平行平面的判定与性质,平行平面间的 . 多面体、棱柱、棱锥、正多面体、把握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简洁的应用问题；懂得排列的意义,把握排列数运算公式,并能用它解决一些简洁的问题 . 懂得组合的意义,把握组合数运算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简洁的 应用问题 . 把握

8、二项式定理和二项绽开式的性质,并能用它们运算和证明一些简洁的问题 . 这部分主要解决不同类问题 可重复排列问题, 不行重复排列问题, 组合问题 的辩析；多类多步排列组合问题的解决方法,主要是两个特元以上的特元法或特位法、排除法的应 用10概率：明白随机大事的发生存在着规律性和随机大事概率的意义；明白等可能性大事的概率的意义,概率；明白互斥大事相互独立大事的意义,概率乘法公式运算一些大事的概率；会用排列组合的基本公式运算一些等可能性大事的 会用互斥大事的概率加法公式与相互独立大事的 11会运算大事在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 . 概率与统计：明白随机变量、 离散型随机变量的意义,会

9、求出某些简洁的离散型随机变量的分布列；明白离散型随机变量的期望值、方差的意义, 会依据离散型随机变量的分布列求出期 望值、方差；会用抽机抽样,系统抽样,分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本；会用样本频率分布去估量总体分布；明白正态分布的意义及主要性质；明白假设检验的基本思想；会依据样本的特点数估量总体；明白线性回来的方法 . 12极限、导数、复数：明白导数概念的某些实际背影（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）,把握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；五、留意事项对应用题,要求能阅读、懂得陈述的材料,能结合应用所学数学学问、思想方法解决问题,包括解决带有实际意义的或者相关学科、

10、生产、生活中的数学问题 .并能用数学语言正确的加以表述 .考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的才能上 . 实际问题转化为数学问题,关键是提高阅读才能即数学审题才能,审出函数、方程、不等式、等式,要求我们读懂材料, 辨析文字表达所反应的实际背景,领会从背景中概括出来的数学实质,抽象其中的数量关系,将文字语言表达转译成数学式符号语言,建立对应的数学模型解答 . 可以说,解答一个应用题重点要过三关：一是事理关, 即读懂题意, 需要肯定的阅读懂得才能；二是文理关,即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关,即构建相应的数学模型,构建之后仍需要扎实的基础学问和较强的数理才能 . 在解答应用问

11、题中,最常见的是以上的几种模型,即：函数模型、不等式模型、数列模型、三角模型 . 此外,其它的几种应用问题模型有：与排列组合有关的应用问题,特点比较明显,属于排列组合模型,解答时肯定要分清晰是分类仍是分步,是排列仍是组合,是否有重复和遗漏；与光学、力学、轨迹等有关方面的应用问题,可通过建立适当的坐标系,运用曲线的学问来建立数学模型来解答,且曲线争论主要是二次曲线,所以可称之为二次曲线模型 . 六、范例分析例 1（ 1996 年全国高考题）某地现有耕地 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现有增加22, 人均粮食产量比现在提高 10,假如人口年增长率为 1,那么耕地每年至多只能减少多少公

12、顷（精确到 1 公顷）？总产量 总产量（粮食单产；人均粮食产量）耕地面积 总人口数分析： 此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景,给出两组数据,要求考生从两条线索抽象数列模型,然后进行比较与决策 . 解：1. 读题： 问题涉及耕地面积、粮食单产、 人均粮食占有量、总人口数及三个百分率,粮食单产 耕地面积其中人均粮食占有量 P总人口数,主要关系是： P 实际 P 规划 . 2. 建模：设耕地面积平均每年至多削减 x 公顷,现在粮食单产为 a 吨公顷,现在人口数为 m,就现在占有量为 a 10 4,10 年后粮食单产为 a1 0.22 ,人口数为 m10.01 10 ,m耕地面积为（ 10 4

13、10 x）. a 1 022 10 410 10 x a 10 4（10.1 ）m 1 0 01 m即 1.22 （10 4 10 x） 1.1 10 4 （ 10.01 ）103. 求解： x 10 3 11 10 3 （ 10.01 ）10122（10.01 ）10 1C10 1 0.01 C10 2 0.01 2 C10 3 0.01 3 1.1046 x 10 3 995.9 4（公顷）4. 评判：答案 x4 公顷符合掌握耕地削减的国情,又验算无误,故可作答 . （答略）另解： 1. 读题：粮食总产量单产 耕地面积；数；而主要关系是：粮食总产量粮食总占有量粮食总占有量人均占有量 总人口

14、2. 建模：设耕地面积平均每年至多削减 x 公顷,现在粮食单产为 a 吨公顷,现在人口数为 m,就现在占有量为 a 10 4,10 年后粮食单产为 a1 0.22 ,人口数为 m10.01 10 ,m耕地面积为（ 10 410 x）. a1 0.22 1O 4 10 x a 10 4 1 0.1 m10.01 10m3. 求解： x 10 3 11 10 3 （ 10.01 ）10122（10.01 ）10 1C10 1 0.01 C10 2 0.01 2 C10 3 0.01 3 1.1046 x 10 3 995.9 4（公顷）4. 评判：答案 x4 公顷符合掌握耕地削减的国情,又验算无误

15、,故可作答 . （答略）说明： 此题主要是抓住各量之间的关系,留意3 个百分率 . 其中耕地面积为等差数列,总人口数为等比数列模型,问题用不等式模型求解. 此题两种解法, 虽都是建立不等式模型,但建立时所用的意义不同,这要求敏捷把握,仍要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似运算等学问娴熟. 此种解法可以解决有关统筹支配、正确决策、最优化等问题. 此种题型属于不等式模型,也可以把它作为数列模型,相比之下,主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式 . 在解答应用问题时,我们强调“ 评判” 这一步不行少！它是解题者的自我调剂,比如此题求解过程中如令 1.01 10 1,算得结果为 x9

16、8 公顷,自然会问：耕地削减这么多,符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控,检查发觉是错在 1.01 10 的近似运算上 . 例 2某校有教职员工150 人,为了丰富教工的课余生活, A M C D B 每天定时开放健身房和消遣室.据调查统计, 每次去健身房的人有 10%下次去消遣室, 而在消遣室的人有20%下次去健身房 .请问,随着时间的推移,去健身房的人数能否趋于稳固？解: 引入字母,转化为递归数列模型 . 设第 n 次去健身房的人数为 an,去消遣室的人数为 bn,就 a n b n 150 . a n 9a n 1 2b n 1 9a n 1 2 150 a n 1 7a n 1 30

17、 即 a n 7a n 1 30 . 10 10 10 10 10 10a n 100 7 a n 1 100 ,于是 a n 100 a 1 100 7n 110 10即 a n 100 7 n 1 a 1 100 . 10lim n a n 100 . 故随着时间的推移,去健身房的人数稳固在 100 人左右 . 说明： 上述解法中提炼的模型 a n 7a n 1 30, 使我们联想到了课本典型习题：10已知数列 a n 的项满意a 1 b ,（其中 c 0 c 1）,a n 1 ca n dn n 1证明这个数列的通项公式是：a n bc d b c d .c 1这是一个重要的数列模型,用

18、此模型可以解决很多实际应用题,如 2022 年全国高考解答题中的应用题 下文例 14就属此类模型 . 例 3（ 1991 年上海高考题）已知某市 1990 年底人口为 100 万,人均住房面积为 5m 2 ,如果该市每年人口平均增长率为 2,每年平均新建住房面积为 10 万 m 2 ,试求到 2022 年底该市人均住房面积（精确到 0.01 ）？分析： 城市每年人口数成等比数列,每年住房总面积成等比数列,分别写出 2022 年后的人口数、住房总面积,从而运算人均住房面积 . 总住房面积解： 1. 读题：主要关系：人均住房面积总人口数4 4100 10 5 10 10 102. 建模： 2022

19、 年底人均住房面积为 4 10100 10 1 263. 求解：化简上式10,102 1.02 10 1C10 1 0.02 C10 2 0.02 2 C10 3 0.02 3 1.219 6 人均住房面积为 10 4.92 1024. 评判：答案 4.92 符合城市实际情形,验算正确,所以到 2022 年底该市人均住房面积为 4.92m 2. 说明 ：一般地,涉及到利率、产量、降价、繁衍等与增长率有关的实际问题,可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列仍是等比数列,然后用两个基础数列的学问进行解答 . 此种题型属于应用问题中的数列模型 . 例 4如图,一载着重危病人的火车从 O 地动身,沿射线

20、 OA 行驶,其中tg 1 , 在距离 O 地 5a（a 为正数）公里北偏东 角的 N 处住有一位医学专家,其中3sin = 3 现有 110 指挥部紧急征调离 , O 地正东 p 公里的 B 处的抢救车赶往 N 处载上医学5专家全速追逐乘有重危病人的火车,并在 C 处相遇,经测算当两车行驶的路线与 OB 围成的三角形 OBC 面积 S 最小时,抢救最准时 . （1）求 S 关于 p 的函数关系；（2）当 p 为何值时,抢救最准时. 5 3aa ta25 a210 a40a2,当且解： （ 1）以 O 为原点,正北方向为y 轴建立直角坐标系,就l OA:y3x设 N（x0,y0）,x 05 s

21、in3ay05 cos4aN3 ,4 又 B（ p,0）,直线BC 的方程为：y4 apxp3 a由y3xpxp得 C 的纵坐标y4 a3 ayc312app5a,S1|OB|y c|36ap2a,pp5 a32p5（ 2）由（ 1）得S6ap22 ap2a,令tp5at0 S25 a9 t33. 3pp5 3310公里时,抢救最准时仅当t25a2,即t5 a,此时p10 a时,上式取等号,当p9 t333例 5通过争论同学的学习行为,专家发觉,同学的留意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开头时,同学的爱好激增；中间有一段时间,同学的爱好保持较抱负的状态,随后同学的留意力开头分散,设ft表示

22、同学留意力随时间t（分钟）的变化规律（ft越大,说明同学留意力越集中）,经过试验分析得知：f tt224t1000ttt10240 10207t3802040（1）讲课开头后多少分钟,同学的留意力最集中？能连续多少分钟？（2）讲课开头后 5 分钟与讲课开头后 25 分钟比较,何时同学的留意力更集中？（3）一道数学难题,需要讲解 24 分钟,并且要求同学的留意力至少达到 180,那么经过适当支配,老师能否在同学达到所需的状态下讲授完这道题目？解： （1）当 0 t 10 时,f t t 2 24 t 100 t 12 2 244 是增函数,且f 10 240；当 20 t 40 时,f t 7

23、t 380 是减函数,且 f 20 240 . 所以,讲课开头 10 分钟,同学的留意力最集中,能连续 10 分钟 . （ 2）f 5 195 , f 25 205,故讲课开头 25 分钟时,同学的留意力比讲课开头后 5分钟更集中 .当0tf10时,tftt224tt100.180,就t4；当20t40,（ 3）令t73818282,就57,就同学留意力在180 以上所连续的时间28. 574=24. 57 24,所以,经过适当支配,老师可以在同学达到所需要的状态下讲授完这道题 . 例 6（1997 年全国高考题）甲、乙两地相距 得超过 c 千米时, 已知汽车每小时的运输成本S 千米,汽车从甲

24、地匀速行驶到乙地,速度不（以元为单位） 由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v （千米时）的平方成正比,比例系数为 b；固定部分为 a 元. 把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（千米时）的函数,并指出函数的定义域； 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶？分析 ：几个变量（运输成本、速度、固定部分）并求函数的最小值 . 有相互的关联, 抽象出其中的函数关系,解： （读题）由主要关系：运输总成本每小时运输成本 时间,（建模）有 ya bv 2 Sv（解题）所以全程运输成本 y（元）表示为速度 v（千米时）的函数关系式是：ySa bv ,其中函数的定义域是 v0 ,c . va整理

25、函数有 ySabv Sv b ,v v由函数 yxk k0 的单调性而得：xa a当 c 时,就 v时, y 取最小值；b b当ac 时,就 vc 时, y 取最小值 . c 时,行驶速度应为va；当ac 时,b综上所述, 为使全程成本y 最小,当abbb行驶速度应为vc. 说明 ：1. 对于实际应用问题,可以通过建立目标函数,然后运用解（证）不等式的方法求出函数的最大值或最小值,其中要特殊留意蕴涵的制约关系,如此题中速度 v 的范畴, 一旦忽视,将显现解答不完整 . 此种应用问题既属于函数模型,也可属于不等式模型 . 2. 二次函数、指数函数以及函数 y ax b（a0,b0）的性质要娴熟把

26、握 . x3. 要能娴熟地处理分段函数问题 . 例 7某铁路指挥部接到预报,24 小时后将有一场超历史记录的大暴雨,为确保万无一失,指挥部打算在 24 小时内筑一道归时堤坝以防山洪埋没正在紧急施工的遂道工程 .经测算, 其工程量除现有施工人员连续奋战外,仍需要 20 辆翻斗车同时作业 24 小时 .但是,除了有一辆车可以立刻投入施工外,其余车辆需要从各处紧急抽调,每隔20 分钟有一辆车到达并投入施工,而指挥部最多可组织 25 辆车 .问 24 小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由 . 解: 引入字母,构建等差数列和不等式模型 . 由 20 辆车同时工作 24 小时可完成全部工程可知,每辆车,

27、每小时的工作效率为 1,480设从第一辆车投入施工算起,各车的工作时间为 a1,a2, ,a25 小时,依题意它们组成公差 d 1（小时）的等差数列,且3a 1 24 , 就有 a 1 a 2 a 25,1 即 1 a 1 a 25 25 480,化简可得 2 a 1 8 192 . 480 480 480 2 5解得 a 1 23 1 , 由于 23 1 24 . 5 5可见 a1 的工作时间可以满意要求,即工程可以在 24 小时内完成 . 说明： 对比此题与 2022 年全国高考文科数学解答题中的应用题,肯定会感觉二者的解法是大同小异的 . 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题

28、的有用工具,这要求不断的联想,力求查找恰当的解题方案 . 例 8在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船,由于缆绳突然断开,小船被风刮跑,其方向与湖岸成 15 角,速度为 2. 5km/h,同时岸边有一人,从同一地点开头追赶小船, 已知他在岸上跑的速度为 4km/h,在水中游的速度为 2km/h.,问此人能否追上小船 .如小船速度转变,就小船能被人追上的最大速度是多少？解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言,进而想法建立数学模型 . 设船速为 v,明显 v 4 km / h 时人是不行能追上小船,当 0 v 2 km/h 时,人不必在岸上跑, 而只要立刻从同一地点直接下水就可以

29、追上小船,因此只要考虑 2 v 4 的情形, 由于人在水中游的速度小于船的速度,人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追逐,当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时,人才能追上小船 .设船速为 v,人追上船所用时间为 t,人在岸上跑的时间为 kt 0 k 1 ,就人在水中游的时间B 为 1 k t,人要追上小船,就人船运动的路线满意如下列图的三角形 . | OA | 4 kt |, AB | 2 1 k t |, OB | vt , 由余弦是理得 vt 21kt 2 2 2| AB | | OA | | OB | 2 | OA | | OB | cos 15 15O

30、4kt A 即 4 1 k 2t 2 4 kt 2 vt 22 . 4 kt vt 6 24整理得 12 k 2 2 6 2 v 8 k v 24 0 . 2要使上式在（ 0,1）范畴内有实数解,就有 0 v 41 且122 2 2 6 2 v 8 4 12 v 4 0解得 2 v 2 2 , 即 v max 2 2 km / h . 故当船速在 2 , 2 2 内时, 人船运动路线可物成三角形,即人能追上小船, 船能使人追上的最大速度为 2 2 km/ h,由此可见当船速为 2. 5km/h 时, 人可以追上小船 . 例 9（ 2022 年一般高等学校招生全国统一考试 理工农医类 20）在某

31、海边城市邻近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O（如图）的东偏南2 arccos 方向 300km 的海面 P处,并以 20km/h 的速度向西偏北 45 方向移动 . 台10风侵袭的范畴为圆形区域,当前半径为 60km ,并以 10km/h 的速度不断增大 . 问几小时后该城市开头受到台风的侵袭？解： 如图建立坐标系以 O 为原点,正东方向为 x 轴正向 . 在时刻：（ 1）台风中心 P（x, y）的坐标为2 2x 300 20 t ,10 27 2 2y 300 20 t .10 2此时台风侵袭的区域是 x x 2 y y r t 2,其中 r t 10 t 60 , 如在 t

32、时刻城市 O 受到台风的侵袭,就有0 x 20y2 10t602.72202t2即3002202t230010210210t602,即t236 t2880 ,解得12t24答： 12 小时后该城市开头受到台风的侵袭. 例 10已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表,如用甲、乙、丙三种食物各 x 千克, y 千克, z 千克配成 100 千克混合食物,并使混合食物内至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B. 甲 乙 丙维生素 A（单位 /千克）600 700 400 维生素 B（单位 /千克）800 400 500 成本（元 /千克）11 9 4 （

33、1）用 x,y 表示混合食物成本 c 元；（2）确定 x,y,z 的值,使成本最低 . 解:（1）依题意得 c 11 x 9 y 4 z , 又 x y z 100 c 400 7 x 5 y . （2）由 800 600 xx 700400 yy 400500 z z63000 56000 , 及 z 100 x y, 得43 x x 6y y130 320,7 x 5 y 450 . c 400 7 x 5 y 400 450 850 ,当且仅当 43 x x 6y y130 320 , 即 xy 5020 时等号成立 .,当 x=50 千克, y=20 千克, z=30 千克时,混合物成

34、本最低为 850 元. 说明： 线性规划是高中数学的新增内容,涉及此类问题的求解仍可利用图解法 . 例 11（2022 年一般高等学校招生全国统一考试（北京卷文史类 19）有三个新兴城镇,分别位于 A,B,C 三点处,且 AB=AC=13km ,BC=10km. 今方案合建一个中心医院,为同时便利三镇,预备建在 BC 的垂直平分线上的 P 点处,（建立坐标系如图）（）如期望点 P 到三镇距离的平方和为最小,点 P 应位于何处？（）如期望点 P 到三镇的最远距离为最小,点 P 应位于何处？分析 ：本小题主要考查函数,不等式等基本学问,考查运用数学学问分析问题和解决问题的才能 . （）解 ：设 P

35、 的坐标为（ 0, y ）,就 P 至三镇距离 的平方和为fy 225y2 12y 23y42146.|在-,y*所以,当y4时,函数f y取得最小值 . 答:点 P 的坐标是0,4.（）解法一 ：P 至三镇的最远距离为gx|25y2,当25yy2|12yy|,12y|, 当25212.|由25y2|12y|解得y119,记y*119,于是2424gx |25y2,当yyy*,由于25y2在 y*,上是增函数, 而|12y12y|,当y*.上是减函数 . 所以yy*时,函数g y取得最小值 . 答:点 P 的坐标是0 ,119;24解法二 ： P 至三镇的最远距离为gx|25y2,当25yy2

36、|12yy|,12y|, 当25212.|4,如图b.由25y2|12y|解得y119,记*y119,于是2424gx |25y2,当yyy*,12y|,当y*.函数xg y的图象如图a ,因此,当yy*时,函数g y取得最小值 .答:点 P 的坐标是,0119;24解法三 ：由于在ABC 中, AB=AC=13 ,且,AC2OC2125OC,ACB所以 ABC 的外心 M 在线段 AO 上,其坐标为,0119 24,且 AM=BM=CM. 当 P 在射线 MA 上,记 P 为 P1；当 P 在射线MA 的反向延长线上,记P 为 P2,这时 P 到 A、 B、C 三点的最远距离为 P1C 和

37、P2A ,且 P1C MC,P2A MA ,所以点 P 与外心 M 重合时, P 到三镇的最远距离最小. 并以每小时40答 :点 P 的坐标是 0 ,119 ;24例 12据气象台预报,在A 市正东方向300 公里的 B 处有一台风中心形成,公里的速度向西北方向移动,距离台风中心250 公里内的地方都要受其影响；问：从现在起,大约多长时间后,台风将影响A 市,连续时间有多长？分析： 台风中心在运动,它的运动规律是什么？我们可以建立一个直角坐标系来争论这一规律； 视 A 市为坐标原点, 建立如下列图的直角坐标系XOY ,就 B 处的坐标 （ 300,0）,圆 A 的方程为 x2y22502,易知

38、当台风中心在圆A 上或内部时,台风将影响A 市；解： 建立如下列图的直角坐标系,台风中心运动的轨迹是一条射线,由于台风中心以每小时 40 公里的速度向西北方向移动,于是可设台风中心所在的射线的参数方程为：x300+40tcos135o 即 x300-20 2 t y40tsin135o（t0）y20 2 t （t0）其中,参数 t 的物理意义是时间（小时）,于是问题转化为“ 当时间 t 在何范畴时,台风中心在圆 A 的内部或边界上” ；台风中心 C（300-20 2 t,20 2 t）在圆 A 上或内部的充要条件是：（300-20 2 t）2（ 20 2 t ）22502,解得 1.9t 8.

39、6 所以大约 2 小时后, A 市将受到台风影响,并连续 6.5 小时左右；说明： 这个解析几何模型对于争论台风、寒流、沙暴中心的运动规律,指导和预防自然灾难的影响具有现实意义；例 13随着机构改革工作的深化进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员 2 人（140 a 2 420,且 a 为偶数） ,每人每年可创利b 万元 . 据评估, 在经营条件不变的前提下,每裁员 1 人,就留岗职员每人每年 多创利.001 b万元,但公司需付下岗职员每人每年0 4. b万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的 益,该公司应裁员多少人？解： 设裁员 x 人,可获得的经济效益为4.y万元,

40、就y2ax b0. 01 bx 0bx3 ,为获得最大的经济效 4 =2 abx2a2 a70 x 2aba70,y 取到最大值；100依题意32,0 x a . 2x4又 140 a420, 70 a 210. 1 当 0a70a ,即 70a ,即 140 a 210 时,2xa,y 取到最大值；2综上所述,当 70a 140 时,应裁员 a 70 人；当 140a 210 时,应裁员 a 人. 2说明 ：在多字母的数学问题当中,分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？例 14（ 2022 年一般高等学校招生全国统一考试（天津卷理工农医类 20）A、B 两个代表队进行乒乓球对抗

41、赛,每队三名队员,A 队队员是 A 1,A 2,A 3,B 队队员是 B 1,B 2,B 3,按以往多次竞赛的统计,对阵队员之间胜败概率如下：对阵队员A 队队员胜的概率A 队队员负的概率 1 3 3 5 3 5 0 分,设 A 队、 B 队最终所得总分A 1 对 B 1 2 3A 2 对 B 2 2 5A 3 对 B 3 2 5现按表中对阵方式出场,每场胜队得1 分,负队得分别为 、（1）求 、 的概率分布；（2）求 E , E . 分析： 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率学问解决实际问题的才能23. 解： （1） 、 的可能取值分别为3, 2,1,0. P 3 2

42、22835575P22231222322835535535575.P12331231322,3553553555P0133335525依据题意知+ =3,所以P =0=P =3=8 , P =1=P =2= 752875P =2=P =1= 2 ,5P =3=P =0= 3. 25（2）E38228120322； 由于+ =3,所以E3E75755251515例 15某城市 2022 年末汽车保有量为30 万辆,估量此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同 .为爱护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆 . 解： 设 2022

43、 年末汽车保有量为 1b 万辆,以后各年末汽车保有量依次为 b 万辆,b 万辆, ,每年新增汽车 x 万辆,就b 1 30,b n 1 0 . 94 b n x所以,当 n 2 时,b n 0 . 94 b n 1 x,两式相减得：b n 1 b n 0 . 94 b n b n 1（1）明显,如 b 2 b 1 0,就 b n 1 b n b n b n 1 0,即 bn 1b 30,此时 x 30 30 .0 94 1 . 8 .（2）如 b 2 b 1 0,就数列 b n 1 b n 为以 b 2 b 1 x 0 . 06 b 1 x 1 8. 为首项,以n0 . 94 为公比的等比数列

44、,所以,b n 1 b n 0 . 94 x 1 . 8 . （ i ） 如 b 2 b 1 0, 就 对 于 任 意 正 整 数 n , 均 有 b n 1 b n 0, 所 以 ,b n 1 b n b 1 30,此时,x 30 30 0 . 94 1 8. .（ii ）当 x 1 . 8 万 时,b 2 b 1 0,就对于任意正整数 n ,均有 b n 1 b n 0,所以,b n 1 b n b 1 30,由 b n 1 b n 0 . 94 nx 1 . 8,得n 1b 2 b 1 1 0 . 94b n b n b n 1 b n 1 b n 2 b 2 b 1 b 1 301 0

45、 . 94n 1x 1 . 8 1 0 . 9430,0 . 06要使对于任意正整数 n ,均有 b n 60 恒成立,n 1x 1 . 8 1 0 . 94即 30 600 . 06对于任意正整数 n 恒成立,解这个关于 x 的一元一次不等式, 得x 1 8.n .1 8,1 .0 94上 式 恒 成 立 的 条 件 为 ：x 1 . 8n 1 . 8, 由 于 关 于 n 的 函 数1 0 . 94 在 n N 上的最小值f n .1 8n 1 8. 单调递减,所以,x 3 6. . 1 0 . 94说明： 此题是 2022 年全国高考题,上面的解法不同于参考答案,其关键是化归为含参数的不

46、等式恒成立问题,其分别变量后又转化为函数的最值问题 .例 16（2022 年一般高等学校春季招生考试数学试题（北京卷理工 19）某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为勉励销售商订购,打算当一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元. （I）当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元？（II ）设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P元,写出函数的表达式；（III ）当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少元？假如订购 1000 个,利润又

47、是多少元？（工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本）分析： 此题主要考查函数的基本学问,考查应用数学学问分析问题和解决问题的才能 . 解： （I）设每个零件的实际出厂价恰好降为51 元时,一次订购量为个,就因此,当一次订购量为550 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51 元. （II ）当时,当时,当时,所以（III ）设销售商的一次订购量为x 个时,工厂获得的利润为L 元,就当时,；当时,因此,当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是 6000 元；假如订购 1000 个,利润是 11000 元. 例 17有一个受到污染的湖泊,其湖水的容积为 V 立方米,每天流出湖泊的水量都是

48、 r 立方米,现假设下雨和蒸发正好平稳,且污染物质与湖水能很好地混合,用 gt 表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数,我们称为在时刻t 时的湖水污染质量分数,已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水,湖水污染质量分数满意关系式. gt= p r+g0- p rertp0,其中, g0是湖水污染的初始质量分数v（1）当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染的初始质量分数；（2）求证：当g0 p r时,湖泊的污染程度将越来越严峻；（3）假如政府加大治污力度,使得湖泊的全部污染停止,那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开头时污染水平的5%？p . ,解（1） gt为常数,有 g0

49、-p=0, g0= rr2 我们易证得0t1t2, 就gt1-gt2=g0- p e rr1t-g0- p e rrt2vv 1er vt 1=g0- p e rr1t-er1t2=g0- p rert2t 1vvvrt2evg0p0,t1er1t,gt1gt2 . v 1vr故湖水污染质量分数随时间变化而增加,污染越来越严峻. 5%3污染停止即P=0,gt=g0 ert,设经过 t 天能使湖水污染下降到初始污染水平v即 gt=5% g01=er tv, t=vln20,5%. 20r故需要v rln20 天才能使湖水的污染水平下降到开头时污染水平的七、强化训练1. 1994 年全国高考 某种

50、细菌在培育过程中,每 20 分钟分裂一次（一个分裂为两个）,经过 3 小时,这种细菌由 1 个可繁衍成（） A. 511 个 B. 512 个 C. 1023 个 D. 1024 个2. 1993 年全国高考 圆柱轴截面的周长 L 为定值,那么圆柱体积的最大值是（） A. L 3 B. 1 L 3 C. L 3 D. 2 L 3 6 9 2 4 43（ 2022 年一般高等学校招生全国统一考试 理工农医类 ）已知长方形的四个项点 A （0,0）, B（2,0）, C（2,1）和 D（0,1）,一质点从AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为的方向射到BC 上的点 P1 后,依次反射到xCD、DA

51、 和 AB 上的点 P2、P3 和 P4（入射解等于反射角） ,设 P4 坐标为（x4,0,如 142,就tan的取值范畴是（）A11, B1,2C2,1D2,233352534（ 2022 年一般高等学校招生全国统一考试（北京卷文史类）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出3 种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必需种植,不同的种植方法共有B18 种C12 种（）A24 种D 6 种5（ 2022 年一般高等学校招生全国统一考试（北京卷文史类）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班 k 名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为1,2, ,k,规定：同意按“1” ,不同意

52、（含弃权）按“0” ,令1,2 号同学当选的人数为（）aij,1第i号同学同意第j号同学当选.,0第i号同学不同意第j号同学当选其中 i=1,2, , k,且 j=1,2, ,k,就同时同意第Aa 11a 12a 1ka 21a22a2kBa 11a21ak1a 12a22ak2Ca 11a 12a21a 22akak2Da 11a21a12a22a 1ka2k6（ 2022 年一般高等学校春季招生考试数学试题（北京卷理工）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5cm,4cm,3cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,最长的对角线的长度是（）A. B. C. D. 7（ 2

53、022 年一般高等学校春季招生考试数学试题（北京卷理工）在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品,至少有 1 件次品的不同取法的种数是（）A. B. C. D. 8（ 2022 年一般高等学校春季招生考试数学试题（北京卷理工）期中考试以后,班长算出了全班 40 个人数学成果的平均分为 M ,假如把 M 当成一个同学的分数,与原先的 40个分数一起,算出这 41 个分数的平均值为 N,那么 M:N 为（）A. B. 1 C. D. 2 9（ 2022 年一般高等学校招生全国统一考试（北京卷文史类）将长度为 1 的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形与圆的面积之

54、和最小,正方形的周长应为 .101982 年全国高考 如图,以墙为一边,用篱笆围成长方形的场地,并用平行于一边的篱笆隔开,已知篱笆的总长为定值 L,这块场地的长为 _时,场地面积最大,最大面积是 _. 11 （2022 年一般高等学校招生全国统一考试（天津卷理工农医类）某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1200 辆, 6000 辆和 2022 辆,为检验该公司的产品质量 .现用分层 抽 样 的 方 法 抽 取 46 辆 进 行 检 验 , 这 三 种 型 号 的 轿 车 依 次 应 抽取,辆. 12 （2022 年一般高等学校招生全国统一考试（天津卷理工农医类）某城市在中心广场建造一个花圃

55、,花圃分为 6 个部分（如图） .现要栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 .（以数字作答）13. 1993 年全国高考 在半径为 30m的圆形广场中心上空,置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为 _. 精确到 0.1m 120 ,如要光源恰好照亮整个广场,就其高度应为14 1986 年全国高考 甲、乙、丙、丁四个公司承包8 项工程,甲公司承包3 项,乙公司承包 1 项,丙、丁公司各承包2 项,共有 _种承包方式 . 15（ 2022 年一般高等学校春季招生考试数学试题（北京卷理工）据某校环保小组调查,某区垃圾量的年增长率为b

56、,2022 年产生的垃圾量为a 吨.由此推测,该区下一年的垃圾量为_吨, 2022 年的垃圾量为 _吨. 16 （2022 年上海市一般高校春季高考数学试卷 依据以下 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试推测第 n个图中有 个点 . ； ；（1）（2）（3）（4）（5）17 （2022 年上海市一般高校春季高考数学试卷 一次二期课改体会沟通会准备沟通试点学校的论文 5 篇和非试点学校的论文 3 篇.如任意排列沟通次序,就最先和最终沟通的论文都为试点学校的概率是 _（结果用分数表示）. 18 （2022 年上海市一般高校春季高考数学试卷 第 0 行 1 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中

57、,第 第 1 行 1 1 第 2 行 1 2 1 _行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2 : 3 . 第 3 行 1 3 3 1 第 4 行 1 4 6 4 1 19 （2022 年上海市一般高校春季高考数学试卷 第 5 行 1 5 10 10 5 1 在等差数列 a n 中,当 a r a s r s 时, a n 必定是常数数列 .然而在等比数列 a n 中,对某些正整数 r 、 s r s ,当 a r a s 时,特别数数列 a n 的一个例子是 _.20（ 2022 年一般高等学校招生全国统一考试 理工农 医类）如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区

58、域不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供挑选,就不同的着色方法共有 种.（以数字作答）21 某学校为了教职工的住房问题,方案征用一块土地盖一幢总建筑面积为 Am2的宿舍楼.已知土地的征用费为 2388 元/m2,且每层的建筑面积相同,土地的征用面积为第一层的 2.5 倍.经工程技术人员核算,第一、二层的建筑费用相同都为 445 元/m2,以后每增高一层,其建筑费用就增加30 元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数,使总费用最少,并求出其最少费用 .（总费用为建筑费用和征地费用之和）. 22一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度 a 成正比, 与它的厚度 d 的平方成正比,与它的长度 l

59、的平方成反比 . （1）将此枕木翻转 90 （即宽度变为了厚度）,枕木的安全负荷变大吗？为什么？（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材,用它来截取成长方形的枕木,其长度即为枕木规定的长度,问如何截取,可使安全负荷最大？l d a 23 为促进个人住房商品化的进程,我国 业性贷款利率如下：1999 年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商贷款期 年数 公积金贷款月利率 商业性贷款月利率 11 4.365 5.025 12 4.455 5.025 13 4.545 5.025 14 4.635 5.025 15 4.725 5.025 汪先生家要购买一套商品房,方案贷款 25 万元, 其

60、中公积金贷款 10 万元, 分十二年仍清；商业贷款 15 万元,分十五年仍清每种贷款分别按月等额仍款,问： 1 汪先生家每月应仍款多少元 . 2 在第十二年底汪先生家仍清了公积金贷款,假如他想把余下的商业贷款也一次性仍清；那么他家在这个月的仍款总数是多少 . 参考数据： 1.0044551441.8966,1.0050251442.0581,1.0050251802.465124 假设河的一条岸边为直线 MN,ACMN于 C,点 B、D在 MN上,现将货物从 A 地经陆地AD于水陆 BD运往 B 地,已知 AC10km,BC30km,又陆地单位距离的运价是水陆单位距离运价的2 倍,为使运费最少