上海市高桥中学2022年数学高二下期末质量检测试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1口袋中放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列，如果为数列前n项和，则的概率等于（ ）ABCD2已知则的最小值是 ( )AB4CD53在数列中，若，则（ ）

2、A108B54C36D184平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则（ ）ABCD5由曲线，直线，和轴所围成平面图形的面积为（ ）ABCD6直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为ABCD7已知满足，则的取值范围为（ ）ABCD8函数（为自然对数的底数）的递增区间为（ ）ABCD9在二项式的展开式中任取2项，则取出的2项中系数均为偶数的概率为（ ）ABCD10平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为（）An1B2nC Dn2n111若复数满足，则在复数平面上对应的点( )A关于轴对称B关于轴对称C关于原点对称D关于直线对称12抛掷甲、乙两颗

3、骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于3”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P（B/A）的值等于（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13袋中装有10个形状大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球.从中不放回地依次摸出2个球，记事件“第一次摸出的是红球”，事件“第二次摸出的是白球”，则_.14已知球的半径为，为球面上两点，若之间的球面距离是，则这两点间的距离等于_154位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是_16用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程

4、或演算步骤。17（12分）已知关于的方程x2+kx+k22k=0有一个模为的虚根，求实数k的值18（12分）以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”，设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.（1）求椭圆及其“准圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于、两点，当时，试求直线交“准圆”所得的弦长；（3）射线与椭圆的“准圆”交于点，若过点的直线，与椭圆都只有一个公共点，且与椭圆的“准圆”分别交于，两点，试问弦是否为”准圆”的直径?若是，请给出证明：若不是，请说明理由.19（12分）设,圆:与轴正半轴的交点为,与曲线的交点为,直线与轴的交点为.(1)用表示和;(2)求证:;(3)设,

5、求证:.20（12分）已知函数，.（1）若函数与的图像上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）.21（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数(1)解不等式；(2)若函数的最小值为，且，求的取值范围22（10分）完成下列各题.(1)求的展开式;(2)化简.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】分析：由题意可得模球的次数为7次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果数之间没有影响，利用独立性事件的概率乘法公式求解即可详解：由题意说明摸球七次，只有

6、两次摸到红球，因为每次摸球的结果数之间没有影响，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是所以只有两次摸到红球的概率是，故选B点睛：本题主要考查了独立事件的概率乘法公式的应用，其中解答中通过确定摸球次数，且只有两次摸到红球是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力2、C【解析】由题意结合均值不等式的结论即可求得的最小值，注意等号成立的条件.【详解】由题意可得：，当且仅当时等号成立.即的最小值是.故选：C.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误3、B【解析】通过，可以知道数列是公比为

7、3的等比数列，根据等比数列的通项公式可以求出的值.【详解】因为，所以数列是公比为的等比数列，因此，故本题选B.【点睛】本题考查了等比数列的概念、以及求等比数列某项的问题，考查了数学运算能力.4、D【解析】,与的夹角等于与的夹角 ,解得,故选D.【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.5、B【解析】利用定积分表示面积，然后根据牛顿莱布尼茨公式计算，可得结果.【详解】， 故选：B【点睛】本题主要考查微积分基本定理，熟练掌握基础函数的导函数以及牛顿莱布尼茨公式，属基础题.6、A【解析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【详解】由题得，所以直线l过定点P.当CPl时，弦AB最短.由

8、题得,所以.所以直线l的方程为.故选：A【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7、D【解析】 由题意，令，所以，所以，因为，所以 所以 所以，故选D.8、D【解析】,由于恒成立,所以当时,则增区间为. ,故选择D.9、C【解析】二项式的展开式共十项，从中任取2项，共有种取法，再研究其系数为偶数情况有几个，从中取两个有几种取法得出答案【详解】二项式的展开式共十项，从中任取2项，共有种取法，展开式系数为偶数的有，共六个，取出的2项中系数均为偶数的取法有种取法，取出的2项中系数均为偶数的概率为故选：【点睛】

9、本题考查二项式定理及等可能事件的概率，正确求解本题的关键是找出哪些项的系数是偶数，求出取出的2项中系数均为偶数的事件包含的基本事件数10、C【解析】1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；，n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域，选C.11、A【解析】由题意可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2的关系即可得解【详解】复数满足，可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点关于轴对称，故选A.【点睛】本题主要考查共轭复数的定义，复数与复

10、平面内对应点间的关系，属于基础题12、C【解析】利用古典概型的概率公式计算出和，然后利用条件概率公式可计算出结果。【详解】事件甲的骰子的点数大于，且甲、乙两骰子的点数之和等于，则事件包含的基本事件为、，由古典概型的概率公式可得，由古典概型的概率公式可得，由条件概率公式得，故选：C.【点睛】本题考查条件概率的计算，解题时需弄清楚各事件的基本关系，并计算出相应事件的概率， 解题的关键在于条件概率公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】首先第一次摸出红球为事件，第二次摸出白球为事件，分别求出，利用条件概率公式，即可求解【详解】由题意，事

11、件A“第一次摸到红球”的概率为：，又由“第一次摸到红球且第二次摸到白球”的概率为，根据条件概率公式，可得，故答案为【点睛】本题主要考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力14、【解析】根据球面距离计算出的大小，根据的大小即可计算出之间的距离.【详解】因为，所以为等边三角形，所以.故答案为：.【点睛】本题考查根据球面距离计算球面上两点间的距离，难度较易.计算球面上两点间的距离，可通过求解两点与球心的夹角，根据角度直接写出或者利用余弦定理计算出两点间的距离.15、7【解析】求得4位同学各自在

12、周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有242=162=14种情况，所求概率为1416=7故答案为：78【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用16、或【解析】假设的内容应是否定结论，由否定后为.三、解答题：共70分。解答应写出

13、文字说明、证明过程或演算步骤。17、1【解析】分析：设两根为、，则， ，得，利用韦达定理列方程可求得的值，结合判别式小于零即可得结果.详解：由题意，得或，设两根为、，则， ，得， 所以点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，实系数方程有虚数根的条件，共轭复数的性质、共轭复数的模，意在考查基础知识的掌握与综合应用，属于中档题.18、（1）；（2）；（3）是准圆的直径，具体见解析【解析】（1）根据所给条件可知，根据面积公式可知 ，最后解方程组求解椭圆方程；（2）设直线为，与椭圆方程联立，表示根与系数的关系，并且代入的数量积的坐标表示，求，最后代入直线和圆相交的弦长公式；（3）首先求点的

14、坐标，当直线与椭圆有一个交点时，得到，可知 ，可知两条切线互相垂直，根据圆的性质可得答案.【详解】（1），准圆.（2），设：， ， ， ，即 ，圆心与该直线距离，弦长.（3），整理为： 因为直线与圆只有1个交点， 整理为： 椭圆切线与垂直，即，在准圆上，也在准圆上，是准圆的直径【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.19、（1）,(2)根据题意，由于,进而得到证明(3) 先证:当时,.然后借助于不等式关系放缩法求和比较大小【解析】试题

15、分析：（1）根据点在圆上，在直线上，即可求得，再利用函数的单调性即可得证；（2）首先证明不等式，进而可证得，累加求和即可得证试题解析：（1）由点在曲线上可得，又点在圆上，则，从而直线的方程为，由点在直线上得：，将代入，化简得：，又，；（2）先证：当时，事实上，不等式，后一个不等式显然成立，而前一个不等式，故当时，不等式成立，(等号仅在时成立)，求和得：，考点：1数列的通项公式；2数列与不等式综合题【方法点睛】解决数列与不等式相结合的综合题常用的解题策略有：1关注数列的通项公式，构造相应的函数，考查该函数的相关性质（单调性，值域，有界性）加以放缩；2重视题目设问的层层递进，最后一小问常常要用到之

16、前的中间结论；3数学归纳法20、 (1) (2)见证明【解析】（1）将问题转化为在有解，即在上有解，通过求解的最小值得到；（2）通过极值点为可求得，通过构造函数的方式可得：；通过求证可证得，进而可证得结论.【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点即的图像与函数的图像有交点即在有解，即在上有解设，则当时，为减函数；当时，为增函数，即（2），在上存在两个极值点，且且，即设，则要证，即证只需证明，即证明设，则则在上单调递增，即【点睛】本题考查利用导数来解决函数中的交点问题、恒成立问题，解决问题的关键是能将交点问题转变为能成立问题、不等式的证明问题转化为恒成立的问题，从而通过构造函数的方式，找到合适的函数模型来通过最值解决问题.21、（1）；（2）【解析】分析：(1)由知，分类讨论即可求解不等式的解集；(2)由条件，根据绝对值的三角不等式，求得其最小值，即，再利用均值不等式，求得的最小值，进而得到的取值范围详解：(1)由知，解集为（过程略）5分(2)由条件得，当