14例谈目标函数中变量的选择江苏孔祥武

1、例谈目标函数中变量的选择孔祥武（江苏省常州市第一中学 ， 213003）我们在解析几何中求最值范围时,常常需要构建合适的目标函数,把问题转化为函数的最值问题.解题的关键是分析引起函数值变动的原因，这个原因可能是某条线段的长度变化引起的，可能是某条直线的斜率变化引起的，亦可能是某个点的坐标变化引起的，等等“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,从不同的角度看问题，选择不同的变量,会产生繁简不一的方法，因此在解题伊始，我们需要多维度思考,选择合适的变量.下面介绍几个例子来说明问题.选择点的的坐标作作变量例1（常常州市220100年高三三调研测测试）如图1，在平面面直角坐坐标系中中，椭圆圆C：（）的左左

2、焦点为为，右顶顶点为AA，动点M为右准准线上一一点（异异于右准准线与轴轴的交点点），设设线段交椭椭圆C于点P，已知知椭圆CC的离心心率为，点M的横坐坐标为（1）求求椭圆CC的标准准方程；（2）设设直线的斜斜率为，直线MAA的斜率率为，求的取值范范围分析斜率率乘积的的变化可可看作是是由点的的坐标变变化引起起的我们习习惯先设设点，进进而直线线与椭圆圆联立,解出交点点的坐标，可以预预见表达达式非常常复杂；若改变变这种既既定的顺顺序，先先设点，再求点点，则巧巧妙避开开了直线线与椭圆圆联立的的繁琐过过程解（1）椭圆CC的标准准方程为为(过程程略) M A P FOx y 图1（2）设设点（），点点M，因

3、为点、P、M三点共共线， 所以，即， 故故 点MM 又， 则= 因为点点P在椭圆圆C上， 所以， 即=，（）， 则, 所所以的取取值范围围是 值得一提提的是选选择点的的坐标作作变量有有时带有有轨迹的的思想,可先求求出满足足限制条条件的点点的轨迹迹方程,然后再再求解最最值问题题.例2 已知圆圆与轴相交交于两点点，圆内内一动点使、成等比比数列，求的范范围.分析向量量数量积积的变化化可看作作是由点的坐标标变化引引起的,同时设设坐标入入手更容容易表达达点在圆圆内的特特征和处理向向量点乘乘.解设点，则易知,，由成等比比数列得得 ，即 整理得,即由得得，所以.2 选择线线段的长长度作变变量例3求满满足条件

4、件的三角角形的面面积最大大值. 分析面面积表达达式中既既含有边边又涉及及角,需需要消元元,统一一成一个个变量来来处理.解设，则则，根据面积积公式得得=，根据余弦弦定理得得，=,由三角形形三边关关系有,解得，故当时,取得最大大值.评注本题题亦可以以点的坐标标为变量量,以的中点点建立合合适的坐坐标系,得出的的轨迹方方程为,然后再再求三角角形面积积最大值.选择直线线的斜率率作变量量设直线斜斜率入手手多适用用于两直直线相互互垂直或倾倾斜角互互补,或或过定点点的动直直线等问题.例4已知知圆的方方程为,过原点作两两条互相相垂直的的直线，交圆于两点，交圆于两点，求四边边形面积积的最大大值分析 四边形形面积的

5、的变化可可理解为为是由直直线的斜斜率变化化引起的的当直线的的斜率不不存在或或斜率为为0时，易知设直线的的方程为为，则此时直直线为圆心到直直线的距距离，则弦长，圆心到直直线的距距离，则弦长，所以,整体观察察可发现现(定值值),.所以四边边形的面积最最大值为为评注从数数的角度度发现定定值,联联想基本本不等式式解题是关键.4 选选择有向向距离作作变量有时最值值的变化化可理解解为点到到点或点点到直线线的距离离变化引引起的.图2我们知道道圆的问问题要注注意几何何性质的的使用上面例例4中仔细观观察可发发现，图图中有一一个矩形形，且对对角线长长始终为为定值，故可以直直接设距距离入手手解法2 如图图2,过过作

6、，垂足足为;过作，垂垂足为.易知四边边形为矩矩形，且且对角线线长始终终为定值值，设圆心到到的距离离分别为为，则（定值值），弦长，弦弦长，当且仅当当，即时取取到等号号所以四边边形的面积最最大值为为评注从形形的角度度发现定定值,更更能揭示示问题的的本质;通过挖挖掘几何何性质,优化了运算过过程，而而且避免免了斜率率是否存存在的讨讨论. 例5已知知圆的方程为为 ,点，若过点P存在直线线与圆交于M，N两点，且点M恰好是是线段PPN的中中点，求求实数的的取值范范围图3分析很自自然想到到设直线线的斜率率,利用用直线与与圆联立立,借住住韦达定定理来处处理线段段之间的的关系,但这样样操作很很繁琐.换一个个角度来

7、来看,点点,位置的的变化既既可理解解为是由由直线的的斜率变变化引起起的，也也可理解解为是由由点到直直线的距距离变化化引起的的，于是是产生下下面的解解法.解 如图图3，过过作交于，设到直线线的距离离，线段，为的中点点,则,又所以，由点不重重合及知存在符合合条件的的直线,即关于于的方程程在上有解解.则，又，即 ， 所以，故故的取值值范围为为评注解法法2抓住住图中的的两个直直角三角角形与，直接接设线段段长度入入手来研研究线段段之间的的比值关关系，把把解几存存在性问问题转化化为相应应方程的有解问问题.选择角度度作变量量选择角度度作变量量多适用用于点在在圆弧或或圆上运运动,或或图形是是以三角角形构成成为

8、主要要特征,易于用用三角函函数表示示有关元元素的问问题.例6如图图4，现在在要在一一块半径径为1,圆心角角为的扇扇形纸板板上剪出出一个平平行四边边形，使使点在弧上，点在上，点点在上，设设平行四四边形的的面积为为.求的最大大值.图4解连接,设,则中,由正弦定定理得 ,又到的距距离,.,又,则,当,即,取到最最大值.我们在选选择变量量时要克克服主观观随意,尝试从从以上几几个角度度去思考考问题.变量选选不好,吃力不不讨好,解题不不设计,越做越越生气.通过对对比分析析,方法法选择,设计好解题思思路,这样才能能达到灵灵活应用用,受到到事半功功倍的效效果.注：本文文发表于于20111年高中数数学教与与学33月刊。作者简介介:孔祥祥武,江江苏省常常州市第第一中学学 ，