小学奥数专题-组合之排除法.学生版

1、7-5-3. 之除教学目使学生确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；了解组数的意能根据具体的问,出符合要求的组合；掌握组的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；会分析数字有关的计数问以及与其他专题的综合运,养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习对组合的一些计数问题进行归纳总结,点掌握组合的联系和区别,掌握一些组合技巧, 如排除法、插板法等知识要一、组合问题日常生活中有很分组”问题如体育比把参赛队分为几,全班同学中选出几人参加某项活 动等等这种分问题就是我们将要讨论的组合问这里我们将着重研究多少种分组方法的问题一般地, 个不同元素中取出 m )元素组成一组不计较组内各元素的次序 叫从

2、 个同元素 中取出 个素的一个组合从排列和组合的定义可以知,列与元素的顺序有而合与顺序无关果个组合中的元素完全相 同,那么不管元素的顺序如,是相同的组合,有当两个组合中的元素不完全相同,是不同的组合从 个同元素中取出 元素 ( m )的有组合的个数 ,叫做从 n 不同元素中取出 个同元素的 组合数记作 一般地求从 n 个同元素中取出的 m 个素排列数 P可分成以下两步:第一步从 n 个同元素中取出 个元素组成一组共 C 种方法；第二步将一个组合中的 m 个元素进行全排共有 种法根据乘法原得到 P P n 因此组合数 P m 这个公式就是组合数公式二、组合数的重要性质一般地组合数有下面的重要性质

3、 CC ( 这个公式的直观意义: C 表从 个元素中取出 个素组成一组的所有分组方法 C 表从 个 元素中取出( n )个元素组成一组的所有分组方法显, n 个元素中选出 m 个素的分组方法恰是从 n 元素中选 m 个素剩下( )个素的分组方法例如从 5 人中选 3 人开会的方法和从 人中选出 2 人去开会的方是一样多, 规定 C 例题精 7-3.合之排除法题库教师版page 1 6对于某些有特殊要求的计数 ,限制条件较多时 以先计算所有可能的情况 从中排除掉那些不符合 要求的情况【 1 在 1 1995 的有自数百数个数相的然有少？【考点】组合之排除法 【度2 星 【型】解答【解析】 先考

4、这 个中,百位与个位相同的数有多少,三位数中百与位可以是 9,位可以是 9,由乘法原理有 9 90 个,四数千位是 百位和位可以是 0十位可以 是 09,由乘法原理, 10 个但是要从中去掉 1999,在 1995 中百位与个位相同的数共有 99 个所以,位数与个位数不相同的自然数: 1896 189 个【答案】 1707【 2 1 到 的然中有多个 相时至发生次位【考点】组合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析】 从问的反面考虑: 到 1999 的自然数,有多少个与 相时不生进位？这样的,个位数字 有 种能( 十位数字有 种能即 百数字有 种能即 0,1,2,3),千位数字有 2 可 能即

5、 据乘法原理,共有 意上面的计算中包括了 0000)这个数因此, 到 的自然数中与 相时不发生进位的数有 48 47 个所以1 到 的然数中与 相时至少发生一次进位的有1999 1952 【答案】 1952【固 所有三数与 相加生位数多个【考点】组合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析】 与 456 相产生进位在个位十位、百位都有可,以采用从所有三位数中减去与 456 相不产生 进位的数的方法更来得方,所有的三位数一共有 个其与 相不产生进位的数, 它的百位可能取 、3、5 共 5 种能十位数可以取 、2、4 共 种可能个位数可以取 0、2、3 共 4 种能根乘法原理,共有 5 个,所以与

6、相加产生进位的数一共 有 800 个【答案】 800【固从 1 到 这 2004 个正整中共有个与位 相加至发一进？【考点】组合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析 千数小于等于 1,位数小于等于 十数小于等于 3,位数小于等于 应有 种可以不进那么其他 2004 个数都至少产生一次进位【答案】 1941【 3 在三数至出一 的偶数多个【考点】组合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析】 至少现一个这三位偶数中可以有一个 6,两个 或个 6可以把这三种情况下 满足条件的三位数的个数分别求出再起来可从所有三位偶数中减去不满足条件即减 去不含 的位偶数三位偶数共有 450 个我先来计算不含 的数

7、的个不含 的数个 可以是 0,2,4,8,十上以是除 6 以外的其余 个数字百位可以是除 以的 个数字因此不含 6 的三位偶数共有 4 288 个则少出现一个 的三位偶数有 【答案】 【 4 能被 3 整且少一数是 6 的四数个【考点】组合之排除法 【度4 星 【型】填空【关键词】学而思杯, 级第 14 【解析】 用排除法四位数总共 9101010=9000 ,其中能被 整除四位数有 个排除能被 3 整且不 含有数字 6 的四位数之剩下的所有的四位数都足条件能被 3 整除不含有数 6 的四位为 最高位千位 a 有 法（不选 ）,百有 种选（不能选 ,十位也有 选法（不能选 , 若前三位的字（a

8、+b+c除以 余 个位 d 有 选（可选 0,3,9三位的数字（） 除以 余 则个位 d 有 种法（可 前三位的数字和（a+b+c）除以 余 2,则个位 是有 3 选法（选 能被 整且不含数字 6 的四位有 8993=1944 个从而得到能被 3 整 除且至少有个数字是 四位数 3000-1944=1056 个。【答案】 10567-3.合之排除法题库教师版page 2 6 【 5 由 1245 组的有复数的位中百位是 的数 个 【考点】组合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析 由 0,1,2,3,4,5 组的没有重复数字的奇六位,位可以为 有 3 种选法；个位选定后,十万位不 能与个位相且

9、不能为 有 种十万位选定后万位有 4 种；故由 0,1,2,3,4,5 成的没有重 复数字的奇六位数的个数: 3 288 个由 组的没有重复数字且百位为 的六位数个位可以为 有 3 种法万不能 与个位相同,不能为 02,有 ；十万位选定后万位有 3 种；由 组的没有重 复数字且百位为 2 的六位数的个数为: 3 54 个所以满足条件的数有 个【答案】 【 6 从三 、四个 1五 2 中挑选五数,能组多少不的位？【考点】组合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析 由 个 0,4 1,5 个 2 组成五位首位上不能是 0,能是 或 有 种选择 4 上都可以是 0、 2,各 3 选,根据乘法原,共有

10、 2 种选择；但是注意这样算是在 和 的数足够多的情况下才能,题中可能会出现 的数不够的情 况2 的个数肯定够如, 只有 个但上的算 法包括了后四位都是 情这样的数 有两个10000 和 20000,得减掉；另外,1 只 个,却包含了五位都是 1 的:也减去 所以实际上共有 个【答案】 【 7】 由字 1,2,3 组五位,要这位中 至各现次那么样五数有 个 【考点】组合之排除法 【度4 星 【型】填空【关键词】迎春高年级初 题【解析 这一道组合计数问题由于题目中仅要求 至各出现一次没有确定 1,2,3 出的具体次数, 所以可以采取分类枚举的方法进行统也可以从反面想从由 1,2,3 组的五位数,

11、去掉仅有 1 个 数字组成的五位数即可方法一:分两类1,2,3 中有个数字出现 次这的数有 60 个；1,2,3 中两数字各出现 次这的数有 C 90 个 4综上所述符合题意的五位数共有 个方法二:从反面想由 组的五位数共有 3 个由 中某 个数字组成的五数共有 1,2,3 中某 个数字组成的五位数共有 个所符合题意的五位数共有 【答案】 150 个【 8 人成圈从中出个相的共多种同法【考点】组合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析】 (法 乘法原理按题意分别站在每个人的立场上当己被选中后另一个被选中的可以是除了自 己和左右相邻的两人之外的所有每人都有 7 种选择总就有 7 70 种择但是需

12、要注意的 是选择的过程会出现选甲、乙选了乙、甲这的情况本来是同种选,而却算作了两种所 以最后的结果应该是 ) 35 (种(法 2)排除法可以从所有的两组合中排除掉相邻的情总的组合数为 而被选的两个人相邻的情况有0 种所以共有 C (种【答案】 【 9 一栋 12 层楼备电,第二层第层梯停在楼 3 人了梯其中少一要 楼则他到层可情共多种【考点】组合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析 每人都可以在第 7 层至第 层中任何一层下有 6 种情况那么三个人一共有 6 种况 其中都不到 12 楼情况有 5 种因此至少有一人要上 楼情况有 216 125 种【答案】 7-3.合之排除法题库教师版page

13、 3 6【 10 8 个站,冬必站小和奇中（一相）慧和大不相小和亮须 相满要的法共多种【考点】组合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析】 冬冬站在小悦和阿奇中就意味着只要为这三个人定了三个位,中间的位置就一定要留给 冬冬而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻小光和大亮必须相邻则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件的站法总数:C 3360 （） 同时满足第一、三个条件,且满足小慧和大智必须相邻的站法总: （种） 因此同时满足三个条件的站法总数: 960 （【答案】 2400【 11 若个然中少两数字且个字于其边所数则这数“上升”一 共多“上的自

14、然？【考点】组合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析 由每个数字都小于其右边所有数,首位上的数不能为 所满足条件的数各数位上都没有 而 且各数位上的数都互不相同那么最大“升的自数是 而且可以发,所有的上升 的自然数都可以由 123456789 这个数划掉若干个数码得到反过由从 123456789 这数中划掉 若干个数码得到的至少两位的数都“上升的自数所以只要算出从 中划掉若干个数 码所能得到的至少两位的数有多少个就可以了因为其中每个数码都有划掉和保留这2 种可能,以 数共有 种可能但是需要排除得到的一位数及这样的数共有 10 个所所能得到的至少两位的数有 2 502 ()所以一共有 502

15、个上升的自然数【答案】 【 12 6 人时邀请加项动必有去去几人行定共有少不的法 【考点】组合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析】 方法:可以分为一人去、两人去、三人去四人去、五人去、六人去六种情,一种情况都是组合问题第一种情况有 6 种去法；第二种情况有 C (去法； 第三种情况有 20 (种去； 第四种情况有 C ()去法；第五种情况有 C 种去法；第六种情况有 1 种法根据加法原理共有 20 63 (种)不同的去法方法二每个人都有去或者不去两种可,但要减掉所有人都不去这种情于是总共有2 (种)不同的去法【答案】 【 13 由字 2 组五数要求五数 1,2, 至各现次那么样五数有个 【

16、考点】组合之排除法 【度2 星 【型】解答【关键词】迎春高年级决【解析】 这是道组合计数问题由于题目中仅要求 2 至少各出现一次没有确定 1 , 2 , 3 出的具体次数 所以可以采取分类枚举的方法进行统计 ,可以从反面想 ,由 ,2,3 组的五位数中,去掉仅有 1 个7-3.合之排除法题库教师版page 4 6 个字组成的五位数即可(法 分两类: 2 中有一个数字出现 3 次,这样的数有 60 (个； , 中有两个数字各出现 次,这样的数有 C 90 个)符合题意的五位数共有 90 150 个)( 法 2) 从面想 由 1 , , 组的五位数共有 35 个 1 2 中的某 数字组成的五位数共

17、有 个 , 由 , 2 , 3 中 的 某 1 个 数 字组成 的 位 数 共 3 个 , 以 合 题 的 五 数共 有 2) ()【答案】 150【 14 5 条线两相,没两直平没任三直通同个以 条线交为点 能成个角？构的角的不定这 条线【考点】组合之排除法 【度4 星 【型】解答【解析 (法 1)5 条线一共形成 5 个对于任何一个点,经它有两条直每条直线上另外有 个点此外还有 3 个与它不共线所以以这个点为顶点的三形就有 3 个三角形则以 10 个分别为顶点的三角形一共有 300 个角,每个三角形都被重复计算了 3 次, 所以一共有 100 个三角形(法 2)要三点不共线就能构成三角,以

18、可以先求出 个点中取出 个的种数再减去 点线 的情况这 个是由 条线相互相交得到,在每条直线上都有 个点存在共线的情这 4 点中任意三个都共线所以一共有 个点线的情况除以外再也没有 3 点线的情况,所以一共可以构成 【答案】 100 种况【 15 正体顶(8 个各的点 个),各面的心(6 个,方的心( 个,共 个以 27 个 点的中 点共构多个角？【考点】组合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析】 27 个中取三个点 , 不这 3 点线 就这 点构成三形 个中取三个点共有 种过三点的直线可以分为 3 类有两个顶点连线构成的有 28 条由两个面的中心连线的有 条由两条棱的中点连线的有1 条所以能构成的三角形有 【答案】 2897【 16 用 A、F 六种料染中两调盘要求个色里六颜不相, 且邻种色两调盘不重那共多种同染方（旋算同方）【考点】组合之排除法 【度3 星 【型】解答【解析 先中一