常微分方程稳定性理论

1、6.4李雅普诺夫第二方法上一节我们介绍了稳定性概念,但是据此来判明系统解的稳定性,其应用范围是极其有限的.李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法:第一方法要利用微分方程的级数解,在他之后没有得到大的发展;第二方法是在不求方程解的情况下,借助一个所谓的李雅普诺夫函数V(x)和通过微分方程所计算出来的导数dv(x)的符号性质，dt就能直接推断出解的稳定性，因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法.为了便于理解，我们只考虑自治系统F(x)xeRndt(6.11)假设F(x)(F(x),F(x)t在G=(eRnxKh连续，满足局部利普希茨条件，且1nF(O)O.为介绍李雅普诺夫基本定理，先引

2、入李雅普诺夫函数概念.定义6.3若函数V(x):GR力V满足V(O)0,v(x)和一(i1,2,n)都连续,且若存在0vHK，使在dxiD=(xH上V(x)0(0)，则称V(x)是常正(负)的;若在D上除x丰O外总有V(x)0(0)，则称V(x)是正(负)定的;既不是常正又不是常负的函数称为变号函数通常我们称函数(x)为李雅普诺夫函数.易知：函数Vx2x2在(x,x)平面上为正定的；1212函数V-(x20(，H)，记则由V(x)正定、连续和是有界闭集知bminV(x)0 xeV由V(O)0和V(x)连续知存在60(6,)，使当x6时，V(x)b，于是有xt000(6.12)若上述不等式不成立

3、，由xt，当tGi，t)时,001001x(t，t，x)，而x(t，t，x),，那么由b的定义，有00100V(x(t，t，x)b100(6.13)另一方面,由条件(2)知(X(t，t0，X0)0在t，t上成立，即tgt，t时，dt0101V(x(t，t，x)V(x)b000自然有V(x(t,t,x)b.这与(6.13)矛盾，即(6.12)成立.(图6-2为n=2的情况.)100例1考虑无阻尼线性振动方程x+2x=0(6.14)的平衡位置的稳定性.解把(6.14)化为等价系统(6.15)(6.14)的平衡位置即(6.15)的零解.作V函数V(x,y)=(x2,y2)22字=(x-x+丄y-y)

4、(5.15)dt(5.15)2即V(x，y)正定，d：(5.0于是由定理6.】知(615)的零解是稳定的,即(614)的平衡位置是稳定的.引理若V(x)是正定(或负定)的李雅普诺夫函数，且对连续有界函数x(t)有limV(x(t)=0tT则limx(t)=O.tT证明由读者自己完成.定理62对系统(6.11)，若区域D上存在李雅普诺夫函数V(x)满足(1)正定;d=工|Kf(x)负定,dt(5.11)dxii=1i则(6.11)的零解渐近稳定.证明由定理6.1知(6.11)的零解是稳定的.取5为定理6.1的证明过程中的8，于是当x0使00limV(x(t,t,x)，a00t+假设a0,联系到V

5、(x(t,t,x)的单调性有00aV(x(t,t,x)t时0(6.16)成立.由条件(2)有M，maxdV0hxlsdtI故从(6.16)知dV(X(t，h，X0)Mdt对上述不等式两端从t到tt积分得00V(x(t,t,x)-V(x)M(t-t)0000该不等式意味着limV(x(t,t,x)，-00t+矛盾.故a，0,即0,x0由于零解是稳定的，所以x(t,t,x)在C,+上有界，再由引理知limx(t,t,x)，O.定000理证毕.例2证明方程组X，-y+x(x2+y2一1)y，x+y(x2+y2-1)的零解渐近稳定.证明作李雅普诺夫函数V(x,y)，(x2+y2)dV/、dt(5.17)=(WE(5.17)=(x2+y2)(x2+y2一1)在区域D=|x,y)x2y21hV(x,y)正定，dV负定，故由定理6.2知其零解渐dt(5.17)近稳定.最后,我们给出不稳定性定理而略去证明.定理63对系统(6.11)若在区域D上存在李雅普诺夫函数V(x)满足(1)字二工?尸(x)正定;dt(5-11)dxii=1i(2)V(x)不是常负函数，则系统(6.11)的零解是不稳定的.6.3平面自治系统的基本概念本节