高中数学公开课优质课3.1 回归分析的基本思想及其初步应用【市一等奖】优质课

1、教学目标 HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815621bd900156252f1ddf0403 l # 学会根据观测数据的特点来选择回归模型;通过探究使学生体会,有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,即借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系;初步体会不同模型拟合数据的效果;体会统计学的一个目标:寻找近似效果更好的模型.2学情分析 HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCas

2、eId=ff8080815621bd900156252f1ddf0403 l # 本课是人教A版高中数学教材选修3-1第一章第一节内容的第二课时。学生在必修3已经学习了两个变量之间的相关关系,包括画散点图,求线性回归方程、利用回归方程预报等内容。在本节的第一课时通过案例“女大学生的身高与体重的关系”回顾在必修3所学的内容,说明了线性回归模型与学生熟悉的函数关系的不同之处,解释了随机误差项产生的原因,使学生正确理解回归方程预报值的意义。本课通过案例“红铃虫的产卵数和温度的关系”,让学生在图形计算器的统计模式下,得到三种不同的拟合模型,学会用残差平方和和相关指数 来衡量不同模型拟合效果,体会统计方

3、法的特点:统计学关心各种方法的适用范围,以寻求最有效的数据处理方法,介绍了某些非线性相关关系问题可以借助函数变换把非线性问题转化为线性相关关系来研究。3重点难点 HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815621bd900156252f1ddf0403 l # 重点:通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。难点:理解数学模型的作用,以及统计学在建模时追求的目标。4教学过程 4.1 第一学时 4.1.1教学目标 HY

4、PERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815621bd900156252f1ddf0403 l # 4.1.2学时重点 HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815621bd900156252f1ddf0403 l # 4.1.3学时难点 HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff80

5、80815621bd900156252f1ddf0403 l # 4.1.4教学活动 4.2 第二学时 4.2.1教学目标 HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815621bd900156252f1ddf0403 l # :学会根据观测数据的特点来选择回归模型;通过探究使学生体会,有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,即借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系;初步体会不同模型拟合数据的效果;体会统计学的一个目标:寻找近似效果更好的模型.4.2.2学时重点 HY

6、PERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815621bd900156252f1ddf0403 l # 通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型,了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。4.2.3学时难点 HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815621bd900156252f1ddf0403 l # 理解数学模型的作用,以及统计学在建模时追求的目标。4

7、.2.4教学活动 活动1【活动】图形计算器模拟实验得散点图及其回归方程 HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815621bd900156252f1ddf0403 l # 学生在课前利用图形计算器求回归方程,互相探讨对模型选择的思考。问题背景:红铃虫是一种棉花地里的有害生物。红铃虫是世界性重要害虫,是国内外重要检疫对象之一。在气温2035,相对湿度80%以上适其生长发育。设计意图:通过对红铃虫的介绍提高学生对问题研究的兴趣。问题:一只红铃虫的产卵数和温度有关,现收集了7组观测数据列于下

8、表中,若某地七月平均气温在33左右,试预测在该温度下红铃虫的产卵数。温度21232527293235产卵数个711212466115325活动2【讲授】该题选用什么模型拟合的效果更好？ HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815621bd900156252f1ddf0403 l # 生:从散点图数据的变化趋势发现:二次、三次、指数和幂函数等模型较合适。 师:回答的很好,但为了研究的方便,我们在课上仅仅选择对二次、指数模型的拟合效果研究。 设计意图:引导学生学会根据观测数据的特点来选择

9、回归模型活动3【讲授】如何评价所选的模型拟合的效果？ HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815621bd900156252f1ddf0403 l # 师: 我们不妨加入一次模型和二次、指数模型进行比较,对于三种模型我们选择哪种模型更合适呢? 生1:从散点图来看数回归直线与后段的数据出现的偏差较大,如把代入一次模型模型,可知温度35 时产卵232个与真实值325差距较大,显然一次模型拟合的效果并不理想。 生2:对于这三个模型我们可以用残差平方和来分析不同模型拟合的效果,若残差平分和越

10、小,则表明拟合效果越好。 学生实验:利用计算器可得残差平方和: 生2:用残差平方和来判断,能更清楚看出模型的拟合效果。三个模型中指数模型拟合的效果最好,一次模型的拟合效果最差。 生3:对于这三个模型我们可以用相关指数来分析不同模型拟合的效果,若相关指数值越大,说明残差平方和越小,那么模型拟合的效果就越好。 师:对的,那么我们需要再计算三个模型的相关指数吗?对比三个图,你有何发现? 生:在前面我们知道了三个函数模型的拟合效果,而这三个图表都含有和MSe的信息。图表中的值也越来越大,而MSe的值越来越小,那么和MSe分别表示什么?和MSe的值能用来判断模型的拟合效果吗? 师:同学提的这个问题很好,

11、 和MSe的值与模型的拟合效果有关。计算器的就是我们说的相关指数, 显然三个模型中指数模型拟合的效果最好,一次模型的拟合的效果最差。 师:MSe在统计中称为均方误差,与我们所讲的残差平和的功能类似, MSe越小则拟合近似度越高。当然我们课标里对均方误差并不做要求。 师:我们根据散点图及数据的变化趋势,我们觉得该问题选择二次、三次、指数和幂函数等模型来拟合较为合适。那么我们能用相关指数来验证下吗? 生:我们发现这四个模型的相关指数均大于0.95,所以我们前面的判断是正确的。 师:是啊,这么多模型都能适合该问题,那么我们来了解统计的目的: 对于样本数据,我们不可能知道这些数据来自于什么模型,即不知

12、道正确的模型是什么,我们只能根据问题的背景和已经掌握的数学知识建立模型来近似这个正确的模型,统计学的任务是建立近似效果更好的模型。 设计意图:让学生学会利用已学过的知识来判断模型的好坏,同时体会统计的思想和本质。活动4【讲授】若不借助图形计算器的统计模型，你能否把非线性回归模型转化为线性回归模型吗？ HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815621bd900156252f1ddf0403 l # 师:什么是变换?大家看下例子:求函数的值域。 学生思考解决值域问题。 设计意图:对于两个

13、模型的线性变换,学生普遍觉得很陌生无从入手,借助该问题让学生对函数变换有初步的认识和理解。 师:如果先取, 就简化为,同学们对该模型进行线性化处理呢? 生:设,非线性模型就可以转化为线性模型:。 学生操作实验:列表、做散点图。 x 21 23 25 27 29 32 35 t=x2 441 529 625 729 841 1024 1225 y 7 11 21 24 66 115 325 t与y的散点图: 师:对了变量y与t的散点图,大家有什么发现吗? 生:我们变换完的数据并不分布在一条直线的周围,因此不宜用线性回归方程来拟合它,即不宜用二次函数模型来拟合,与我们前面的判断一致。 教师:很好,

14、对于一般型式上的二次函数,你们有何办法吗? 生:我们对二次函数进行配方为,令,就转化为。 师:很好,通过换元我们把二次模型线性化。我们可以预先对二次函数的对称轴取个值就可以对数据进行处理了,前面我们取使得问题较为简单,当然你可以取d=1,或者其他的值。那么同学们d取不同的值对模型有何影响? 生:取不同的d值影响模型拟合的效果。 师:指数模型拟合效果最好,你能通过变换把指数模型变换成线性模型吗? 学生讨论。 生:对函数两边取以为底的对数得: 令,指数模型变换为线性模型:。 学生操作实验:列表、做散点图。 x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325

15、 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 生:变换后z与x的散点集中在一条直线的附近,回归方程为,因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为: 。 教师:很好,衡量一个变换的好坏,最直观的就是看散点是否集中在一条直线的附近。活动5【活动】师：通过红铃虫这一例子，大家有哪些收获。 HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815621bd900156252f1ddf0403 l # 生:我们解决了以下问题1.如何寻找适合样本数据的模型;2.对于模型我们如何评判其拟合效果;3.有些非线性模型可以通过数学变换转化为线性模型。并体会了统计与其他数学思想的不同。对于样本数据,我们不可能知道这些数据来自于什么模型,即不知道正确的模型是什么,我们只能根据问题的背景和已经掌握的数学知识建立模型来近似这个正确的模型,统计学的任务是建立近似效果更好的模型。活动6【练习】知识应用 HYPERLINK http:/1/portal/redesign/index/index.jsp?t=2&sdResIdCaseId=ff8080815621bd900156252f1ddf0403