离散数学26.笛卡尔乘积及相关定理

1、JININGUNIVERSITY教学设计课程名称离散数学教师姓名授课题目笛卡尔乘积及相关定理授课章节3.4序偶与笛卡尔积授课对象数学与应用数学专业教学目标掌握笛卡尔乘积的定义及相关定理。教学万式启发式教学内容笛卡尔积的定义及相关定理。教学重点笛卡尔积的相关定理教学难点笛卡尔积的相关定理教学方法和朿略采用多媒体课件辅助，首先说明笛卡尔乘积的概念，并分析讲解笛卡尔乘积的相关定理；注意师生互动，以学生为教学主体，共同完成教学目标。学情分析学生已经掌握了集合运算，序偶的概念及性质。教学评价师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深入分析，用例题加深学生对知识点的理解。课程资源参考书目，网上教学

2、视频，网络微课教学补充说明笛卡尔乘积是一个集合教学过程：补充说明笛卡尔乘积是一个集合一、笛卡尔乘积1、定义令A和B为任意两个集合，如果序偶的第一元素是A的元素，第二元素是B的元素;所有这样的序偶的集合称为集合A和B的笛卡尔乘积或者直积，记作AxB.笛卡尔乘积的符号化表示为：AxB=I(xeA)A(yeB)例如，设A=a,b,B=0,1,2,贝VAxB=,BxA=,AxBhBxA即“x”是不满足交换律。2笛卡尔积的运算性质.对任意集合A,根据定义有Ax=，XA=.一般的说，笛卡尔积运算不满足交换律，即AxB#BxA(当A主AB主AAB时).笛卡尔积运算不满足结合律，即(AxB)xCAx(BxC)

3、(当A主AB主AC主时)注意：(AxB)xC的兀素是二兀组，但Ax(BxC)的兀素不是二兀组.例1设A=a,b，B=1，2，C=z则(AxB)xC=a,1,a,2,b,1,b,2xz=a,1,z,a,2,z,b,1,z,b,2,zAx(BxC)=a,bx1,z,2,z=a,1,z,a,2,z,b,1,z,b,2,z(AxB)xChAx(BxC)“x”不满足结合律。二、笛卡尔乘积相关定理1定理3-4.1笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即Ax(BUC)=(AxB)U(AxC)Ax(BAC)=(AxB)A(AxC)(AUB)xC=(AxC)U(BxC)(AAB)xC=(AxC)A(BxC)证明定

4、理3-4.1Ax(BUC)=(AxB)U(AxC)证明方式可以选择谓词语言，也可以用原来的集合证明方式证明：任取eAx(BUC)证明方式可以选择谓词语言，也可以用原来的集合证明方式vx,yeAx(BUC)oxeAAye(BUC)oxeAA(yeBVyeC)o(xeAAyeB)V(xeAAyeC)ovx,yeAxBVvx,yeAxCovx,ye(AxB)U(AxC)定理3-4.2设A,B,C为任意集合，若C主，贝V：AcBo(AxCcBxC)o(CxAcCxB)(1)证明(必要性)因C非空，存在ceC,若AcB,则对任意的va,ceAxC，其中aeA匸B，ceC,必有va,ceBxC,所以AxC

5、匸BxC。(充分性)因C非空，存在ceC，任意aeA，有va,ceAxC，因为AxC匸BxC，则必有va,ceBxC，所以aeB,所以AcBo同理可证(2)定理3-4.3若A，B，C，D为四个非空集合，则AcCABcDoAxBcCxD证：(充分性)若AxB匸CxD,又A,B,C,D都不是空集，故对任意的aeA,beB,va,beAxB匸CxD,所以aeC,beD,所以A匸C,B匸Do(必要性)若A匸C,B匸D,故对任意的va,beAxB，必有aeAcC,beBcDo所以va,beCxD，所以AxB匸CxD。例2设A,B,C,D为任意集合，判断下列命题是否为真。AxB=AxCnB=C(A-B)xC=(AxC)(BxC)(A=B)A(C=D)nAxC=BxD存在集合A,使AcAxA解:不一定为真，当A=,B=1,C=2,3时，便不真。为真。为真。等里代入。(4)为真。当A=时，使Ac