线性代数《特征值与特征向量》自测题及答案

1、第五章特征值与特征向量自测题（100分钟）一、填空题：（共20分，每小题4分）（1）设三阶矩阵 的特征值为1，1，2，则1的特征值为（ ）；*的特征值为（ ）；（3+）的特征值为（ ）。（2）设三阶矩阵0，则的全部特征向量为（ ）。（3）若E，则（ ）。（4）已知与相似，则=（ ），=（ ）。（5）设三阶实对称矩阵的特征值是1，2，3，矩阵的属于特征值1，2的特征向量分别是，则的属于特征值3的特征向量是（ ）。二、选择题（共20分，每小题4分）（1）设=，则向量=（ ）是的属于特征值的一个特征向量。（A）； （B）； （C）； （D）（2）矩阵A与矩阵（ ）相似。（A）； （B）； （C）；

2、（D）（3）下述结论正确的有（ ）。（A）阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个互不相同的特征值；（B）阶矩阵可对角化的必要条件是有个互不相同的特征值；（C）有相同特征值的两个矩阵一定相似；（D）相似的矩阵一定有相同的特征值。（4）下述结论正确的有（ ），其中为阶矩阵。（A）方程的每一个解向量都是对应于特征值的特征向量；（B）若为方程的一个基础解系，则（为非零常数）是的属于特征值的全部的特征向量；（C）与有相同的特征值和相同的特征向量；（D）与有相同的特征多项式。 （5）设有3个线性无关的特征向量，则应满足条件（ ）（A）；（B）；（C）；（D）。三、计算题（每小题15分，共45分）（1）（共15

3、分）设A为三阶矩阵，是线性无关的三维列向量，且满足：+， （5分）求矩阵B，使得：（，）=（，）B；（5分）求矩阵的特征值；（5分）求可逆矩阵，使得为对角形矩阵。（2）（共15分）设三阶实对称矩阵的秩为2，是的二重特征值。若，都是的属于特征值6的特征向量。（7分）求的另一特征值和对应的特征向量；（8分）求矩阵。（3）（共15分）设三阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量，是齐次线性方程组的两个解。（5分）求的特征值与特征向量； （5分）求正交矩阵和对角矩阵，使；（5分）求及，其中为三阶单位矩阵四、证明题（共15分，每小题5分）（1）（5分）设是n阶正交矩阵，且，则是的一个特征值。（2）（5分）

4、设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则， 线性无关的充分必要条件是：。（3）（5分）设为阶矩阵，且存在向量，有，令：，的线性相关性，并加以证明。第五章特征值与特征向量自测题参考答案一、填空题（1）；。（2），其中，（为不全为零的任意常数）。（3）。（4）（5），（为非零常数）。二、选择题（1）C； （2）C； （3）D； （4）D； （5）B。三、计算题： （1）解：（ ）（ ） =（+ 2+ 2+3） =（ ） =（ ） （5分）（ ）（ ）又, ,线性无关，（ ）可逆，（ ）（ ），与相似，即与有相同的特征值，而的特征值为：1，1，4（10分） 当解之，一个基础解系为： 当解

5、之，一个基础解系为：令（，）则令（ ）（ ） =（2- 2- +）则（15分）（2）解：是的二重特征值，的属于特征性6的线性无关的特征向量有2个，由题设知：，为的属于特征值6的线性无关的特征向量。又r， ，的另一特征值，设的所对应的特征向量为：，则有：即：（）解（），得一基础解系为：，故的属于特征值的全部特征向量为：，令（，）则有：= = =（3）解： 是的特征向量。又都是的解，说明它们也都是的特征向量，特征值为0；由于线性无关，特征值0的重数大于1，于是的特征值为：3，0，0；属于3的特征向量为：；属于0的特征向量为：不全为零）； 将单位化，得：，对施密特正交化，得：，令：，则是正交矩阵，并且（，）=（3，） 即：=解上面这个矩阵方程，得： 另外， 四、证明题：（1）证明： 是正交矩阵，又 ，即：是的一个特征值。 （2）证明：设有一组数，使 即：又， 式为： 由于已知线性无关，式成立当且仅当： 解齐次线性方程组，由于其系数行列式为： ，由于当且仅当仅有零解：故线性无关的充分必要条件是 （3）证明： ， 1，2，是阶矩阵的个不同的特征值，而是 的分别属于1，2，的线性无关的特征向量。又 设有一组数：使得： 即：也即： 由于线性无关，故式成立