频率特性分析法主编修改版演示文稿

1、第六章 频率特性分析法版本2.02021年6月主编修改版制作:罗家祥 审校:胥布工深圳大学机电与控制工程学院第六章 频率特性分析6.1 引言6.2 频率特性的根本概念6.3 频率特性图示法6.4 系统的开环频率特性6.5 奈奎斯特稳定判据6.6 稳定裕度6.7 基于开环对数频率特性的系统性能分析6.8 闭环频率特性与系统性能指标6.9 利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析6.10 小结6.1 引言本章知识体系基于开环对数频率特性的性能分析闭环频率特性与系统性能指标系统开环频率特性奈奎斯特稳定判据稳定裕度法频率特性概念闭环系统的典型频率特性频率特性图示法MATLAB应用6.1 引言引入频率

2、法的原因：对于某些高阶系统，由于可能包含数十个以上的储能元件，难于建模和求解。频率法将系统看作是具有信号处理能力的黑箱，以正弦波为根本鼓励信号建立系统的输入输出特性。频率特性分析法：以不同频率的正弦信号作为输入，通过研究系统的频率响应特性来分析系统性能，称为频率特性分析法。优点：图形方式进行系统分析与设计，简单、直观。将乘法计算转化为简单的加法计算，在频率域中通过频率指标直接分析系统的性能。不需要求解时域响应，也不需按照系统工作原理进行微分方程的建模。6.2 频率特性的根本概念6.2.1 频率响应与频率特性的定义线性定常系统的频率响应：在零初始条件下，系统对正弦输入信号的稳态响应。线性定常系统

3、的频率特性：输入：正弦信号；输出：正弦信号，频率不变，幅值和相位发生变化。假设采用极坐标将系统的正弦输入信号和正弦输出响应表示为复数，那么系统的频率特性定义为：系统的输出与输入之复数比。6.2 频率特性的根本概念考虑系统传递函数的一般形式对于稳定的系统，pl0和K0时，其相频特性分别为0和-180的水平线6.4 系统的开环频率特性(1) 幅相频率特性曲线: 积分环节正频率局部的幅相频率特性曲线与负虚轴重合，而微分环节的那么与正虚轴重合 (2) 对数幅相频特性: 均通过横轴上(,L()=(1,0)点，积分环节斜率为-20dB/dec，微分环节斜率为20dB/dec，相位那么分别为-90和90。6

4、.4 系统的开环频率特性(1) 惯性环节的幅相频率特性曲线: 幅相频率特性曲线呈圆形。稳定惯性环节和不稳定惯性环节正频率局部的幅相频率特性曲线如图6-19。6.4 系统的开环频率特性(2) 一阶微分环节1jTP=1, Q= T;(3) 对数幅频特性: (1jT)-1在低频段增益近似为1，而在高频段增益随频率增大而减小，具有低通滤波作用。稳定惯性环节在低频段引入的相位滞后小，特性与比例环节相似；在高频段相位滞后接近-90，作用与积分环节相似。1jT具有高通滤波作用，(1+jT)可以提供正相位。6.4 系统的开环频率特性(4) 惯性环节和微分环节对数幅频特性的渐近特性近似 对数频率特性渐近线：低频

5、段：0dB的水平线 高频段：-20dB/dec斜率的斜线两条渐近线相交于(1/T,0dB)转折频率： =1/T反映惯性环节响应的快慢程度，转折频率越大，那么响应越快。对渐进曲线的修正：1/T处误差最大。远离1/T，误差逐渐减小。6.4 系统的开环频率特性(5) 对数相频特性如图6-21: 对数相频特性的横坐标以lg为刻度；10/T时，()-90或90。1/(10T)10/T之间，可以先确定几个特征点的位置，然后以光滑曲线连接这些点即可得对数相频特性的大致轮廓。 6.4 系统的开环频率特性(1) 幅相频率特性: 从(1,j0)出发, 最终趋于原点;=1/T时,特性与负虚轴交于(0，-1/2)稳定

6、，(0，1/2)不稳定6.4 系统的开环频率特性(2) 振荡环节的对数频率特性特点:当阻尼系数较小时，=n=1/T处出现一明显的峰值，称为谐振峰值，相应频率n称为谐振频率。当阻尼系数接近1时，振荡环节具有低通滤波的作用；而随着减小，=n=1/T处的幅值迅速增大，说明其对输入信号中该频率附近分量的放大作用逐渐加强，此时，振荡环节具有选频作用。 6.4 系统的开环频率特性用渐进线代替精确曲线，在=n附近误差最大；误差大小与阻尼比相关，0.31时，奈奎斯特曲线逆时针与最小相位传递函数情况不同包围点(1, j0)一圈，由于P=1，Z=N+P= 1+1=0，闭环系统稳定；当K0)型系统: 0-和0+ ，

7、G(j)均趋于无限远处,2) 当=0-0+时，角从90经0逆时针变化到+90 ，在GH(s)平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向转过v180。构成封闭曲线。广义奈奎斯特路径I型系统=0-0+的映射曲线6.5 奈奎斯特稳定判据系统奈奎斯特曲线的正、负频率局部正是通过6-32所述无穷大圆弧彼此衔接形成封闭的曲线.v=1v=2v=36.5 奈奎斯特稳定判据因奈奎斯特曲线的正、负频率局部关于实轴互为镜像，故常只需正频率局部: 0+奈奎斯特曲线由0+奈奎斯特曲线和 0 0+顺时针绕v90的辅助线构成来判断系统稳定性。记正频率局部包围 (1, j0)点的权属为N，而F(s)在右半s平面的零

8、点个数 (T(s)在右半平面的极点个数)Z： Z= N+P =2N+P (6-33)3. 仅从正频率局部判断闭环系统稳定性例6-8 设单位反响系统开环传递函数为v=2，起点：其奈奎斯特曲线起始点+180 (=0+), 终点：0180 ，当=0时， 先增后减。 0+奈奎斯特曲线和 0 0+顺时针v90的辅助线构成如图6-48所示。Z=2N+P=0，闭环系统稳定。6.5 奈奎斯特稳定判据4、从正负穿越判断闭环系统稳定性正穿越：随,频率特性曲线自上而下穿过负实轴 (-1)区段一次，伴随相角增加,故称为正穿越；负穿越：随,频率特性曲线自下而上穿过负实轴(-1)区段一次，伴随相角减少，故称为负穿越。半次

9、正、负穿越: 正频率局部奈奎斯特曲线及对应辅助线起始于(1, j0)点左侧负实轴的算半次正穿越，反之，终止于(1, j0)点左侧的负实轴的算半次负穿越。如图6-50。6.5 奈奎斯特稳定判据例6-9 单位反响系统的开环幅相频率特性如图6-49所示，其中，P=0，v=1，试判断系统的稳定性。解：先补充完整负频率局部曲线，用半径为无穷大的右半圆将, =0 和=0+ 处的特性曲线连接起来，如图6-51所示。可见：P3负穿越一次，P2正穿越一次。故N-=1，N+=1，即N=-2(N-N+)=0Z=N+P=0 闭环系统稳定。当K发生变化时，P1，P2，P3位置发生变化，假设 (1, j0)位于点P1和原

10、点之间，或者在P2与P3之间，系统不稳定。这种参数无论增大还是减小都可能不稳定的系统称为条件稳定系统。 6.5 奈奎斯特稳定判据6.5.4 基于对数频率特性的奈奎斯特稳定判据 正频率局部奈奎斯特曲线与其伯德曲线之间具有以下对应关系：1奈奎斯特图的单位圆对应伯德图上的0分贝线；在GH平面上单位圆内、外区域分别对应0分贝线以下和以上的区域，即L()0的局部。2GH平面上的负实轴对应于伯德图上的180线。 6.5 奈奎斯特稳定判据在L()0的区间内，()曲线自下而上通过180线为正穿越，而()曲线自上而下通过180线为负穿越。当开环传递函数的型别v2时，相频特性曲线在=0+附近小于180，此时可在对

11、数相频特性曲线=0+附近自上而下补画一条辅助线，使该辅助线通过的相角为v90，如图6-53所示。计算正、负穿越次数时，应将补上的辅助线看成对数相频特性曲线的一局部。相角增加：正穿越相角较少：负穿越6.5 奈奎斯特稳定判据基于伯德图的奈奎斯特稳定判据可表述为： 设开环传递函数GL(s)在右半s平面的极点数为P，且在开环对数幅频特性L()0的所有频率范围内，对数相频特性曲线及对应辅助线对180线的负穿越为N ，正穿越为N+，当2(N+ N)=P时，闭环系统稳定；否那么，有 Z=2N+P个特征根在右半s平面，闭环系统不稳定。例6-10 一单位负反响系统的开环传递函数在右半s平面的无极点，其开环对数频

12、率特性曲线如图6-53所示，其中，v=2，试判断其稳定性。Z=2(NN+)+P=2(10)+0=2,闭环系统不稳定。右半s平面有2个极点。6.6 稳定裕度6.6.1 幅稳定裕度和相稳定裕度稳定裕度是一种基于开环系统频率特性的频域指标，包括幅稳定裕度和相稳定裕度，它们既可以在奈奎斯特图中表示，也可以在伯德图中表示，两者存在对应关系。大小对稳定性有重要意义6.6 稳定裕度1. 幅值裕度KGM：与负实轴相交时开环幅相频率特性幅值的倒数。6.6 稳定裕度2. 相角裕度：当幅值|GH(j)|=1时开环幅相频率特性向量与负实轴的夾角。6.6 稳定裕度对于最小相位系统，欲使系统稳定需保证1或KGM1 .为保

13、证在许多不确定因素作用下系统仍能保持稳定，应使幅值裕度和相位裕度都足够大。但是，稳定裕度过大往往会影响系统的其它性能，例如系统响应的快速性。 工程上一般选择, =3060, LGM =620dB6.6 稳定裕度例6-11 某反响系统开环传递函数为6.6 稳定裕度开环增益增大了10倍系统稳定裕度依然满足工程上对相位裕度的一般要求，这在很大程度上得益于零点s+2抵消了其临近极点s+1滞后相位对系统稳定性的影响，使得相位在相当宽的频段内下降都很平缓。令GH(j)的虚部为0，求出穿越频率g，计算幅值裕度的精确值。因为截止频率c的精确值计算复杂,往往需要通过试探法求取。实际应用更多利用仿真软件直接调用命

14、令计算。6.6 稳定裕度例6-12 某反响系统开环传递函数为利用MATLAB得到的伯德图，计算其幅值裕度和相位裕度分别为两个闭环系统均稳定，但前者的幅值裕度和相位裕度远大于后者。忽略开环小惯性环节即便不一定导致系统稳定性的误判，也容易得到错误的相对稳定性分析结果。假设添加延迟环节，那么其所引入的相位滞后随频率增大而增大，也将削弱闭环系统的相对稳定性，甚至使相位裕度为负值(0)从而导致不稳定 由图6-57可知，由于相位随频率增加而减小，故可通过减小开环传递系数使对数幅频特性下移，以降低截止频率c，从而增大相位裕度。6.6 稳定裕度需要指出的是稳定裕度法一般适用于以下两类系统：1开环系统是最小相位

15、的系统；2含有纯时延且不含右半s平面零点的开环稳定系统。a图，G1和G2虽然具有相同的幅值裕度，但G2更远离(-1,j0)点，因而对应的闭环系统的稳定程度高。b图，G1和G2相角裕度相同，但G1远离(-1,j0)点，因此G1对应的闭环系统的稳定程度高。(a)(b)只要添加适当的纯时延环节两种情况均可变为条件稳定系统，不能用简单的稳定裕度法来判定稳定性或估计系统动态性能。6.6 稳定裕度6.6.2 稳定裕度与时域性能指标的关系稳定裕度与闭环时域性能指标之间的联系，通常以研究相位裕度与时域性能指标之间的量化关系为主 1、典型二阶闭环系统的传递函数 其对应的单位反响开环频率特性为6.6 稳定裕度6.

16、6 稳定裕度假设两系统相位裕度相同时，那么超调量相等，而截止频率c较大的系统因响应快而调节时间较短。6.6 稳定裕度例6-13 某随动系统的开环传递函数为试判断K ex6_16回车运行结果见图6-73、6-74。6.9 利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析6.9.2 分析控制系统的性能1单回路系统例6-17 小功率角度随动系统1忽略传感器与滤波电路惯性，即T1=0。设K=10，试判断系统是否稳定。解：开环传递函数为奈奎斯特曲线如图6-73 ，不包含(1, j0)点，系统稳定。6.9 利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析2令T1=0，试判断是否可通过调整K值，使系统相位裕度30。解:

17、 绘制伯德曲线需要给定K。由于K的取值不会影响相频特性，因此可先令K=10。伯德图如图6-74所示，相位裕度约为18，不满足要求。减小K可以使对数幅频特性下降，截止频率c左移，从而增大相位裕度。 利用伯德图，找到相位为150的点，其对应频率约为1.7rad/s。该频率下幅值约为9.4dB，故应将20lgK减小9.4dB，此时K3.3，那么截止频率落于1.7rad/s左方，相位裕度大于30。6.9 利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析3假设滤波电路惯性、电机电磁惯性和功率放大器惯性的总效应不能忽略，可将其影响等效为一个一阶惯性环节1/(0.2s+1)，此时开环传递函数为K/s(s+1)(0

18、.2s+1)。试判断是否可通过K值，使系统相位裕度30。 解: 编写ex6_17_3.m文件，求出新的开环传函的伯德图，见图6-76。其相位裕度约为13.3，不满足要求。在相频特性曲线找到相位为150的点，对应频率约为1.08rad/s。对数幅频特性需要下降约6dB才能使截止频率落于1.08rad/s左方，即需将K减小至小于1.65。将K改为1.65，重新执行ex6_17_3.m文件，可得此时相位裕度约为30.2，满足要求。6.9 利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析两者的幅频特性在低频段几乎没有差异，只是后者的相频特性在中频段开始明显滞后于前者，因而相位裕度较小。实际系统的闭合回路中一

19、般都存在很多小惯性环节，即使每一个对系统的影响都很小，但是其总体效将可能显著降低系统的稳定裕度，因而不能轻易忽略。假设小惯性环节具有高频谐振特性，那么对系统的稳定裕度影响更大。本例中2与3之间只相差了小惯性环节1/(0.2s+1)，为比较该差异对系统特性的影响，可编写218页M文件ex6_17_23.m并执行，结果如图6-77所示 。6.9 利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析2双回路系统设某双回路系统的结构如图6-78所示，且K1，K20。1试计算K2=1.3时局部反响回路的稳定裕度。2试计算K2=1.3时，K1的稳定域。解：分步求解如下： 1当K2=1.3时，局部反响回路的开环频率特

20、性为编写M文件ex6_18.m见219页，画出伯德图图6-79。输出稳定裕度Lg_L =Inf6.9 利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析2为运用奈奎斯特稳定判据，应确定主回路开环频率特性表达式。在命令窗口输入指令：GCL=feedback(GL,HL,-1) 回车运行结果得局部反响回路闭环传递函数为令K1=1，那么主回路开环传递函数为在命令窗口中键入以下指令：得到主回路奈奎斯特曲线图6-80。6.9 利用MATLAB进行控制系统的频率特性分析为确定曲线与负实轴交点，将其靠近原点附近局部曲线放大，得图6-81。由图知，其交点约为(0.075,j0)。曲线未包围临界点(1,j0)，故系统稳定。随着K1的增大，该交点左移，直至与(1, j0)重叠，此时系统临界稳定。故K1的稳定域为可运行以下指令验证的稳定域：Lg,Y,Wg,Wc=margin(GO) 回车得到Lg=13.2995。 6.10 小结1频率特性及其图示方法 频率特性是线性定常系统的一种频域模型。对于稳定的系统，假设采用极坐标将系统的正弦输入信号和稳态正