数学、心理与数学教学课件

1、数学、心理与数学教学首都师范大学数学科学学院连四清9/13/202211 数学教育系统学习氛围学习材料学习条件 学习动机知识基础能力基础学习方法学习习惯记忆能力学生内因外因教师数学学习环境数学能力教学知识学习知识性格特征抽象性严谨性严谨性复杂性9/13/202222 数学是什么？恩格斯曾经概括为：“纯数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系。” 数学是文化，技术、是科学。数学是模式等。9/13/20223美国国家研究委员会在1989年发表的致全国公民的一份关于数学教育现状与前景的报告（Everybody Counts: A Report to the Nation on the Futur

2、e of Mathematics Education)。这份报告调查了美国从幼儿园到研究生阶段的数学教育状况，分析了美国数学教育的各个方面，报告指出了当时美国数学教育中存在的问题。大力呼吁进行数学教育改革，从根本上提高学生的数学水平。虽然这份报告至今也有近二十年了，但是其中的一些观点还被我国的很多学者所应用。9/13/20224这份报告中对数学的描述数学已经远不止是算术和几何，而是一门丰富多彩的学科了。现代数学所处理的是科学中的数据、测量和观测资料；是推断、演绎、证明；是自然现象、社会行为、社会系统的数学模型.数学是模式和秩序的科学，数学的领域不是分子、细胞，而是数、机会、形状、算法和变化。作

3、为研究抽象对象的科学，数学依靠逻辑而不是观测结果作为其真理的标准，但是数学也适用观测、模拟甚至实验作为发现真理的根据。9/13/20225应用这些思考问题方式的经验构成了数学能力在当今这个技术时代日益重要的一种智力，它使人们能够批判地阅读，能识别谬误，能深察偏见、能估计风险，能提出变通方法，数学能使我们更好地了解我们生活在其中的充满信息的世界。9/13/20227例1 xxyyy5510y=1059/13/20228例2 分析 由于不知道开始时4枚棋子的颜色及其排列，所以按照题意操作，情形比较复杂。因此，我们可以考虑用一种数学符号或关系来表示这种操作，这样就有可能获得问题的解决。 考虑到操作程

4、序中的棋子的颜色（黑白两色），同色中间放黑子，异色取白。 你们想到什么？9/13/202210数学表达（mathematics representation)从上述题目，我们可以看到数学表达的价值所在。简化信息之间的关系，易于发现探索和发现规律。思考：从数学表达的角度讲，除一些数学概念、定理或性质的教学除了教授知识之外，数学教师还要从数学的本质来分析数学内容本身具有的价值。9/13/202211数学不应是过滤器，而应是泵在我国的数学课堂里盛行一种效率极低的教学模式，教师毫无生气的讲解与学生廖然无趣的听讲。对于大多数学生来讲，从事教学主要是一种被动的行动：教师写黑板、学生抄笔记、学生以机械的、模

5、仿的方式对待讲义、练习册、家庭作业，所有学过的东西很快忘得一干二净。虽然例题讲解和死记硬背有时也能帮助提高学生的标准化考试成绩，但对于高层思维、分析问题和解决问题能力的提高，通常的效果平平。我们的老师、学生处于极其疲惫的状态之中，我们的数学教育处于一个恶性循环之中。9/13/202212数学提供了普遍适用并且强有力的思考方式不仅表现在实际问题的解决中：如经典问题“哥尼斯堡七桥问题”，欧拉用抽象成一笔画问题而奠定了图论分支的发展。9/13/202214数学思维初始的概略性实际上，在解决问题中，人们常常回抛开问题的某些方法或部分，而抓住一些主要结构。即把问题抽象成较简单的形式，然后先解决这个简单的

6、问题，然后利用这个解答来帮助或指导更复杂的整个问题的解决。概略性特点。一位专家的故事、蹩脚的画家9/13/2022159/13/2022173 数学本质的认识与数学教学3.1代数的本质代数学的根源在于代数运算，即加、减、乘、除、乘方和开方运算等。所有能够用代数运算加以表达的问题称之为代数问题。代数学这门学问所要讨论的问题是如何有效、系统地解决各种各样的代数问题。9/13/202218为了解决这个问题，我们简要地回顾一下数系扩充过程。小学、初中和高中数学课程中，逐步渐进地学习逐级扩充的数系运算：最原始的自然数系N起始，到整数系Z,再到有理数Q，然后到实数系R，再到高中的复数系C。问题：每一次扩充

7、究竟添加了哪一类“新数”，所引进的新数的运算又是如何归结到原有数的运算来加以定义的？9/13/2022193.1.1. 数字的认识3.1.1.1自然数自然数系是我们用来数 “个数” 的数学工具（mathematical toll for counting),它的本质就是一个顺序排列的体系，其起始者为1，往后顺序地“后者”就是“前者”多加1个，也即 2=1+1，3=2+1，4=3+1，5=4+1， . 如此逐个加1以致于无穷。自然数系最原始的根本的结构就是“+1”，任何自然数都可以由1起始，逐步+1而达到它。上述对自然数的描述就是数学归纳法原理。9/13/202220认清上述自然数的出发点，就不

8、难看出加法、乘法和乘法的本质了.归纳定义：加法是“+1”的复合：a+(n+1)=(a+n)+1乘法是自相加的缩写：1a=a,2a=a+a, ; 即(n+1) a=na+a乘方是自相乘的缩写；a(n+1)=ana9/13/202221运算律证明：就是用一些事物的正确性去说明其他一些事物的正确性。由此，我们可以归纳证明加法交换律、加法结合律，分配律9/13/202222总之，自然数系的加、乘和乘方运算都是由最原始的“+1”运算，逐步复合得到的，三个运算律也是可以由以归纳定义为出发点，用数学归纳法证明的，这样我们就建立起了代数的基础。9/13/202224有了这些运算律，我们才能系统地解决自然数的加

9、法问题。问题：对2+3+4+5进行运算需要用到哪些运算律？9/13/202225存在0,使得a+0=a；对任意给定的a都有一个确定的b使得a+b=0，这样唯一确定的b叫做a的相反数，记作b；定义：ab=a+(b).任给a,b,cZ，有: (1)a+b Z； (2)a+b=b+a； (3)(a+b)+c=a+(b+c)； (4) (a+b)c=ac+bc9/13/202227由此可以证明：(n)a=(na), 因为 (na)+(n)a=(a+a+a)+(a)+(a)+(a) =(a+a)+a+(a)+(a)+(a)=0 以下法则可以证明： a0=0， 1 (1)=1，(1)(1)=19/13/2

10、02228 证明： a+a0=a1+a0=a (0+1)=a1=a, 所以, a0=0 1 (1)+1=1 (1)+11=1 (1)+1=10=0, 所以, 1 (1)=1 因为(1) (1)+(1)=(1) (1)+1 (1) =(1) (1)+1=(1) 0=0 所以(1)(1)=1.9/13/202229当然，当然在实际教学中我们不必如此严格，只要告诉学生记住运算律即可，而不是背出口诀“负负得正”、“乘负数括号内变号” .9/13/2022303.1.1.3 有理数和无理数整数集合对于乘法是封闭的，但对乘法的逆运算除法却不封闭，除法可以说来自物质的分配，但其本质是寻求ax=b的解，其实是

11、a的乘法逆元素的问题。 由此可以定义新数的运算： 9/13/2022313.1.2 运算律的应用我们回过头来看自然数的那些看似简单的运算律究竟有什么大用处，其实运算律是整个代数学的基础！当我们回顾这些数学的精要而简朴的内容时，我们才会知道什么是数学的本质，什么才是我们在教学中要坚持的原则。9/13/2022329/13/202233由于对于任意数，运算律普遍成立，所以对于上述的未知数，我们可以应用运算律，进行方程中的去括号，合并同类项的操作。从数系扩充，和解方程可以看出，运算律是代数学的基础，也是代数学的根本。即我们可以应用运算律系统地解决代数问题。“分配律的逆用”、新石器时代（项武义）9/1

12、3/202234归纳法归纳定义，运算律的归纳证明；代数学所研讨的数系结构和各种公式，它们的本质是逐步归纳、构造得到的，它们的直观性比之几何就相去甚远了。代数学中的公式和定理绝大部分都是用归纳法由低次到高次，由一元，二元到高元逐步归纳而发现的，然后再用归纳论证去确认其正确性。因此归纳是代数学的基本方法：归纳地探索、发现、归纳定义和归纳地证明。9/13/2022353.2几何本质及其研究方法几何学的课题就是研究、理解空间的本质，它是我们研究大自然、理解大自然的起点和基石所在。几何的基础是空间的空间的基本结构和基本性质。点、联结两点之间的直线段和直线，平面是空间的基本结构。三角形是仅次于直线段和直线

13、的基本几何图形，而空间的部分性质都已经在三角形的几何性质中得到充分体现。三角形之所以成为古希腊几何学所研究的主角，其原因也就是：三角形既简单而又充分地反映空间的本质。空间基本性质：连结、分隔、对称性、平行性和连续性。9/13/202236几何研究的基本方法自古到今，几何学的研究在方法论上大体上可以划分为以下几个阶段：实验几何：用归纳实验去发现空间之本质。推理几何：以实验几何之所得为基础，该用演绎法，以逻辑推理探索新知，并对于已知的各种各样的空间本质，精益求精地作系统化和深刻的分析。在这方面，古希腊文明获得了辉煌的成就，它也是全人类理性文明中的重要成就。9/13/202237坐标几何：笛卡尔（D

14、escartes）和费尔马（Fermat）通过坐标系的建立，把当代数学中的两大主角几何学和代数学简明有力地结合起来，开创了近代数学的先河，其自然而然的结果是微积分的产生和大量应用解析法研究自然现象。9/13/202238向量几何：向量几何在本质上是坐标解析几何的返璞归真。向量几何是不依赖坐标系的解析几何（Coordinate-free analytical geometry），它自然而然地化解了原先解析几何中，由于坐标系的选取所引入的各种各样的不变量的困扰！9/13/2022394 认知心理与数学4.1 工作记忆（working Memory)一次课堂上的亲身经历!按照字母顺序背26个英文字母

15、，但是要是要求倒序背26个字母，结果会如何？尝试一下。这种类似的任务有很多。如倒说一句话的游戏。掌握去括号法则的情况下，为什么一些学生在去掉含有多个单项式的括号的过程中会忘掉变号？9/13/202240工作记忆与短时记忆不同，工作记忆是一种在加工信息的同时保持信息的心理工作资源或平台。9/13/202241不用纸笔给出下列算式的答案9/13/202242工作记忆的特点工作记忆最大限制是它的容量.即工作记忆可以同时处理59个信息组块 (Miller, 1956).工作记忆系统的信息保持的短暂性（通常为2至3秒。如果信息的不到及时的保持，那么信息会很快消失。9/13/202243认知负荷（Cogn

16、itive Load）任何一项任务都要求工作记忆系统处理信息，同时又要保持住某些信息。Sweller与他的同事们将处理信息和保持信息的总量称为心理活动总量，这一总量称为认知负荷。9/13/202244影响认知负荷大小的因素：元素之间关系的同时性9/13/202245数学为什么难学？研究表明：数学知识通常包含多种基本元素，而且这些基本元素又同时存在多种关系。即使是简单的数学公式也是如此。平方差公式应用的条件是“一个数学式子是两个数（或式）的和与这两个数（或式）差的积”，符号表达式为“(a+b)(a-b)”。9/13/202246平方差公式这种关系中至少包含三层关系：第一，它首先是一个积；第二，这个积是一个和与差的积；第三，和式中的被加数与差式中的被减数相同，同时和式中的加数与差式中的减数相同（如右图所示）。在公式适用性判断中，上述的三种关系必须同时满足。差：ab积:(a+b)(a-b)和：abab 平方差公式符号之间的关系9/13/202247对数学知识进行认知负荷分析，我们会发现，多数数学知识都存在类似的特点。即多个元素和多个关系并存。这说明：数学知识具有较大的认知负荷。这也是为什么数学难学的一个重要原因。9/13/202248现象解释去括号忘变号？去绝对值忘讨论？通分过程中分子忘乘一个数或式？9/13/2022494.2 知识的范畴概念性知识：what is i