江苏省连云港市田家炳中学高三数学 57正弦定理余弦定理复习课件

1、第七节正弦定理和余弦定理2021/8/8 星期日1基础梳理设ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，R是ABC的外接圆半径(1)正弦定理三角形的_，即_=_=_=2R.各边和它所对角的正弦的比相等 (2)正弦定理的三种形式a=_，b=_，c=_(边到角的转换)；sin A=_，sin B=_，sin C=_(角到边的转换)；abc=sin Asin Bsin C.2Rsin C2Rsin A2Rsin B2021/8/8 星期日22. 三角形常用面积公式(1)S=(2)S=_=_=_=_.(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径)ah(h表示三角形长为a的边上的高)3. 余

2、弦定理三角形任何一边的平方等于_即a2=_；b2=_；c2=_.其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C余弦定理也可以写成如下形式cos A=_；cos B=_；cos C=_.2021/8/8 星期日34. 勾股定理是余弦定理的特殊情况在余弦定理表达式中分别令A、B、C为90，则上述关系式分别可化为：_，_，_.b2=a2+c2c2=a2+b2a2=b2+c2基础达标1. ABC的边分别为a、b、c，且a=1，c=4 则ABC的面积为_ B=45，解析： SABC= acsin B= s

3、in 45=2. 2. 在ABC中，sinAsinBsinC=324，则cosC的值为_解析：sinAsinBsinC=abc=324，不妨设a=3，b=2，c=4，则cosC= 2021/8/8 星期日43. (必修5P10第2题改编)已知ABC中，acosA+bcosB=ccosC，则ABC的形状为_解析：由余弦定理，化简整理可得(a2-b2)2=c4，a2=b2+c2或b2=c2+a2，故ABC为直角三角形4. 设a，b，c是锐角ABC的角A，B，C的对边，若B=2A，则 的取值范围是_解析：由题意和正弦定理，得 又由B=2A且ABC是锐角三角形，得所以 故 的取值范围是 2021/8/

4、8 星期日55. (必修5P16第1题改编)在ABC中，A= a=则b与c的值分别为_，b+c=3，解析：由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos A，即3=b2+c2-2bccos 也即b2+c2-bc=3，(b+c)2=3bc+3，又b+c=3，bc=2.于是由 解得 或 经典例题题型一正弦定理和余弦定理的应用【例1】(2010天津)在ABC中，内角A、B、C的对边分别 是a，b，c，若a2-b2= bc，sin C=2 sin B，则A=_. 分析：由sin C=2sin B和正弦定理可求得c=2由此运用余弦定理可求得cos A的值，进而求出A.b，2021/8/8 星期日6解：由s

5、in C=2sin B结合正弦定理得：c=2所以由余弦定理得：cos A=，所以A=30.b，变式1-1 (2010湖北改编)在ABC中，a=15，b=10，A=60，则 cos B=_. 解析：根据正弦定理得解得sin B=又因为ba，则BA，故B为锐角，所以cos B=2021/8/8 星期日7题型二三角形的面积问题【例2】在ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a， b，c，已知c=2，C= 若ABC的面积等于求a，b.分析：分别利用正弦定理和余弦定理建立关于a，b的方程，然后解方程组得a，b.解：由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4.ABC的面积等于 absin C= ab=4

6、. 联立方程组 解得 2021/8/8 星期日8变式2-1在ABC中，cos A=，cos B=.(1)求角C；(2)设AB=，求ABC的面积(2)根据正弦定理得所以ABC的面积为ABACsinA=所以sin A=sin B=，因为cosC=cos -(A+B)又0C ，故C=解析：(1)由cos A=cos B=得A，B=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=2021/8/8 星期日9题型三判断三角形的形状【例3】(2010辽宁)在ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边，且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大小；

7、(2)若sin B+sin C=1，试判断ABC的形状分析：运用正弦定理解三角形，关键是巧妙的利用定理如何实行边角的互化，进而达到解题的目的解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，故cos A=- ，即A=120.(2)由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C.又sin B+sin C=1，得sin B=sin C= ，因为0B90，0C90，故B=C，所以ABC是等腰的钝角三角形2021/8/8 星期日10变式3-1 在ABC中，已知试判断ABC的形状解析：由

8、根据同角三角函数之间的关系及正弦定理可得 sin 2A=sin 2B，2A,2B(0， )，2A=2B或2A= -2B，A=B或A+B= ，ABC为等腰三角形或直角三角形. 2021/8/8 星期日11变式3-2 (2011 湖南雅礼中学月考)在ABC中，若试判断ABC的形状解析：设A，B，C的对边分别为a，b，c，由题意ca(-cos B)=-c2，acos B=c.由余弦定理，得a =c，a2+c2-b2=2c2，a2=c2+b2，ABC是直角三角形题型四正、余弦定理的综合应用(1)求边AB的长；(2)若ABC的面积为sin C，求角C的度数【例4】已知ABC的周长为+1，且sinA+si

9、nB=sinC.2021/8/8 星期日12分析：综合应用正弦定理与余弦定理解题，首先要确定一个恰当的三角形，其次要根据题中条件分析选用哪个定理最方便本题中，由正弦定理得BC+AC= AB.由SABC= sin C，得 BCACsin C= sin C.解：(1)由题意及正弦定理，得AB+BC+AC= +1，BC+AC= AB，两式相减，得AB=1.(2)由ABC的面积 BCACsinC= sinC，得BCAC= . 由余弦定理，得cos C= 所以C=60.2021/8/8 星期日13链接高考(2010 安徽)ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos A= (1)求(2)若c