2022年福建商业高等专科学校高职招考数学模拟试题附答案解析

1、福建商业高等专科学校高职招考数学模拟试题（附答案解析）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目规定的）1.命题p:a2+b20(a,bR);命题q:a2+b20(a,bR),下列结论对的的是A.“p或q”为真B.“p且q”为真C.“非p”为假D.“非q”为真2.已知向量a=(cos75,sin75),b=(cos15,sin15),那么ab的值是A.B.C.D.13.正项等比数列an满足：a2a4=1,S3=13,bn=log3an，则数列bn的前10项的和是A.65B.65C.25D.254.空间四边形四条边所在的直线中，互相垂直的直线最多

2、有A.2对B.3对C.4对D.5对5.P为椭圆=1上一点，F1、F2为焦点，如果PF1F2=75,PF2F1=15,则椭圆的离心率为A.B.C.D. 6.有下面四个命题，其中对的命题的序号是“直线a、b为异面直线”的充足而不必要条件是“直线a、b不相交”；“直线l平面内所有直线”的充要条件是“l平面”;“直线a直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；“直线a平面”的必要而不充足条件是“直线a平行于内的一条直线.”A.B.C.D.7.a43)、2(a53)、2(a63)的平均数（盼望）是A.0B.3C.6D.128.如果函数y=log2ax1(a0)的图象的对称轴方程是x=2,那么a等于A

3、.B.C.2D.29.若f(x)=ax3+3x2+2,且f(1)=4,则a等于A.B.C.D.10.已知抛物线y=ax2的焦点为F，准线l与对称轴交于点R，过抛物线上一点P（1，2）作PQl，垂足为Q，则梯形PQRF的面积为A.B.C.D.第卷(非选择题 共100分)二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.把答案填在题中横线上）11.已知x、y满足线性约束条件则线性目的函数z=3x+2y的最小值是_.12.(1x+x2)3(12x2)4=a0+a1x+a2x2+a14x14,则a1+a3+a5+a11+a13=_.13.有三个球和一种正方体，第一种球与正方体各个面相内切，第二个球与正方

4、体各条棱相切，第三个球过正方体各顶点，则这三个球的面积之比为_.14.设函数f(x)=sin(wx+)(w0,给出如下四个结论：它的周期为;它的图象有关直线x=对称；它的图象有关点（,0）对称； 在区间（,0）上是增函数.以其中两个论断为条件，另两个论断作结论写出你觉得对的的一种命题：_.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节)15.（本小题满分12分）沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方通过（绿灯亮通过）的概率分别为，对于在该大街上行驶的汽车，求：（1）在三个地方都不断车的概率；（2）在三个地方都停车的概率；（3）只

5、在一种地方停车的概率.16.(本小题满分12分)已知平面向量a=(,1),b=(,),若存在不为零的实数k和角,使向量c=a+ (sin3)b,d=ka+(sin)b,且cd，试求实数k的取值范畴.17.（本小题满分13分）如图,四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，PD底面ABCD，PD=AD.求证：（1）平面PAC平面PBD；（2）求PC与平面PBD所成的角；（3）在线段PB上与否存在一点E，使得PC平面ADE？若存在，请加以证明，并求此时二面角AEDB的大小；若不存在，请阐明理由.18.（本小题满分13分）如图所示，曲线段OMB是函数f(x)=x2(0 x6)的图象，BAx轴于A，曲线

6、段OMB上一点M（t,f(t)）处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于点Q，（1）试用t表达切线PQ的方程；（2）试用t表达出QAP的面积g(t);若函数g(t)在（m,n）上单调递减，试求出m的最小值；（3）若SQAP,64，试求出点P横坐标的取值范畴.19.(本小题满分14分)已知点H（3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足=0，=，（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过点T（1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0,0），使得ABE为等边三角形，求x0的值.20.（本小题满分16分）设f1(x)=,定义fn+1 (x

7、)=f1fn(x),an=,其中nN*.(1)求数列an的通项公式；（2）若T2n=a1+2a2+3a3+2na2n,Qn=,其中nN*,试比较9T2n与Qn的大小，并阐明理由.参照答案及解析1.A 2.D 3.D 4.B 5.A 6.C 7.A 8.B 9.D 10.C 11. 12.13 13.123 14.或15.(1)P=.4分（2）P=8分（3）P=+=. 12分16.cd,cd=0,2分即a+(sin3)bka+(sin)b=0,4分也即ka2+absink(sin3)ab+sin(sin3)b2=0,又a=(,1),b=(,),ab=0,且a2=a2=4,b2=b2=1,6分4k

8、+sin(sin3)=0,8分k=(sin)2, 10分而1sin1,当sin=1时，k取最大值1；当sin=1时，k取最小值.因此所求k的取值范畴为,1 12分17.(1)PD底面ABCD，ACPD，又底面ABCD为正方形，ACBD，而PD与BD交于点D，AC平面PBD， 2分又AC平面PAC，平面PAC平面PBD.4分（2）记AC与BD相交于O，连结PO，由（1）知，AC平面PBD，PC在平面PBD内的射影是PO，CPO就是PC与平面PBD所成的角，6分PD=AD,在RtPDC中，PC=CD，而在正方形ABCD中，OC=AC= CD，在RtPOC中，有CPO=30.即PC与平面PBD所成的

9、角为30.8分（3）在平面PBD内作DEPO交PB于点E，连AE，则PC平面ADE.如下证明：由（1）知，AC平面PBD，ACDE，又PO、AC交于点O，DE平面PAC，DEPC，（或用三垂线定理证明）而PD平面ABCD，PDAD，又ADCD，AD平面PCD，ADPC，PC平面ADE，由AC平面PBD，过点O作OFDE于F，连AF，由三垂线定理可得，AFDE，OFA是二面角AEDB的平面角， 10分设PD=AD=a，在RtPDC中，求OF=a,而AO=a,在RtAOF中，OFA=60，即所求的二面角AEDB为60. 13分18.（1）设点M（t,t2）,又f(x)=2x,过点M的切线PQ的斜率

10、为k=2t,2分切线PQ的方程为yt2=2t(xt),即y=2txt2.4分（2）由（1）可求得P(,0),Q(6,12tt2)g(t)=SQAP=(6t)(12tt2)=t36t2+36t,(0t,6分由于g(t)=t212t+36,令g(t)0,则4t12, 又0t6,4t6,g(t)的单调递减区间为（4，6），因此m的最小值为4.8分（3）由（2）得，g(t)在（4，6）上递减，此时SQAP(g(6),g(4)=(54,64),令g(t)0,得0t4,g(t)在（0，4）上递增.此时SQAP(g(0),g(4)=(0,64),又g(4)=64,函数g(t)的值域为(0,. 10分由g(t

11、)64,得1t6,3,点P的横坐标,. 13分19.（1）设点M的坐标为(x,y)，由=,得P(0,),Q(,0),2分由=0，得（3，）(x,)=0,又得y2=4x,5分由点Q在x轴的正半轴上，得x0,因此，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点.6分（2）设直线l:y=k(x+1),其中k0,代入y2=4x,得k2x2+2(k22)x+k2=0,7分设A（x1,y1）,B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个实根，x1+x2=,x1x2=1,因此，线段AB的中点坐标为(,),9分线段AB的垂直平分线方程为y=(x),11分令y=0,x0=+1,因此点E的坐标为(+1,0)由于ABE为正三角形，因此点E（+1,0）到直线AB的距离等于AB,而AB=,13分因此，=,解得k=,得x0=.14分20.（1）f1(0)=2,a1=,fn+1(0)=f1fn(0)=,an+1=an,4分数列an是首项为,公比为的等比数列，an=()n1.6分（2）T2n=a1+2a2+3a3+(2n1)a2n1+2na2n,T2n=(a1)+()2a2+()3a3+()(2n1)a2n1+()2na2n=a2+2a3+(2n1)a2nna2n,9分两式相减得T2n=a1+a2+