江西省南昌市湾里区第一中学高中数学 3.1函数的单调性与极值课件 北师大选修11

1、函数的单调性与极值一、函数的单调性二、函数的极值三、函数的最值2021/8/8 星期日1一、函数的单调性从几何图形上来分析abxyo都是锐角，即斜率 是上升的 。如果曲线 在 内所有切线的倾斜角 时，那么曲线在2021/8/8 星期日2可见，函数的单调性可以用导数的符号来判定。aboyx同样，当 时，曲线在 内是下降。 我们有如下定理：2021/8/8 星期日3定理1 设函数 在 上连续，在区间内可导，（1）如果在 内 ，则 在上单调增加；上单调减少。（2）如果在 内 ，则 在注意： （1）将定理中的闭区间 换成其他各种区间定理的结论仍成立。2021/8/8 星期日4单调增加的充分条件，而不是

2、必要条件。（2）在 内， 只是 在 上考察函数 ，但等号只在个别处成立，（3）如果在区间 内（或）仍是单调增加（或单调减少）的。则函数 在 上考察函数 2021/8/8 星期日5例1 判定函数 的单调性。解 的定义域是 。 在区间 和 都有 ，只有当时， ，所以 在 内单调减少。例2 求函数 的单调区间。解 的定义域是 2021/8/8 星期日6令 ，得 ，它们将定义域当 时，当 时， 。所以 的单调增加区间是 和 ；单调递减区间是例3 确定函数 的单调区间。解 的定义域是分成三个区间 2021/8/8 星期日7令 ，得 ，又 处导数不存在， 这两点将 分成三个区间，列表分析 在各个区间的符号

3、：由表可知， 的单调增加区间为 和，单调减少区间为 。2021/8/8 星期日8二、函数的极值设函数 在点 的某邻域内有定义，1 定义（1）如果对该领域内的任意点 ，都有，则称 是 的极大值，称 是的极大值点。 （2）如果对该领域内的任意点 ，都有，则称 是 的极小值，称是 的极小值点。2021/8/8 星期日9函数的极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小致点统称为极值点。注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。oxy2021/8/8 星期日102 极值存在的必要条件和充分条件定理2（极值的必要条件） 如果函数 在点 处可导，且在点 取得极值，

4、则 。定理2指出：可导函数的极值点必定是驻点。使 的点 称为函数 得驻点。反过来，驻点不一定是极值点。考察函数另一方面，函数不可导的点也可能是极值点。考察函数2021/8/8 星期日11定理3（极值的第一充分条件） 设函数在点 连续，且在点 的某一空心邻域内可导。 （1）如果在 内 ，在内 ，则函数 在点 处取极大值 ；（2）如果在 内 ，在内 ，则函数 在点 处取极小值 ；（3）如果 在 和 内不变 号，则 在 处无极值。 2021/8/8 星期日12定理3即：设 在点 的某一空心邻域内可导，当 有小增大经过 时，如果 由正变负，则 是极大值点；如果 由负变正，极小值点；如果则 是不变号，则

5、 不是极值点。例4 求函数 的极值。 解 的定义域是令 ，得驻点 。当 时，当 时，2021/8/8 星期日13当 时， 。在 处取得极小值例5 求函数 的极值。 解 的定义域是令 ，得驻点 ，而 时 不存在。由定理3知， 在 处取得极大值 。 2021/8/8 星期日14因此函数只可能在这两点取得极值，列表讨论如下：极大值1极小值不存在由表可知， 在 处取得极大值 ， 在 处取得极小值 。函数 的图形如图2021/8/8 星期日15 函数在驻点处二阶导数存在时，还可以用函数的二阶导数判定函数是否有极值。01x1y 定理4（极值的第二充分条件） 设函数 在点处有二阶导数，且 ， ，则（1）如果

6、 ，则 在 取得极大值；（2）如果 ，则 在 取得极小值。2021/8/8 星期日16例6 求函数 的极值。解 的定义域是令 ，得到两个驻点 。由定理4可知， 都是 的极小值点，为函数 的极小值。又2021/8/8 星期日17 函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性概念。 可以由驻点及导数不存在的点与区间端点的函数值相比较，其中最大的就是函数 在 上的最大值，最小的就是函数 在 上的最小值。注意下述三种情况：（1）如果 在 上是单调函数；三、函数的最值1 闭区间a，b上的连续函数2021/8/8 星期日18（2）如果连续函数 在某区间内只有一个极大（小）值，而无极小（大）值；（3）在实际问

7、题中，由问题的实际意义可知，确实存在最大值或最小值，又若函数在所讨论的区间内只有一个可能的极值点，则该点处的函数值一定是最大值或最小值。例7 求函数 在区间 上的最大值与最小值。解2021/8/8 星期日19比较可知， 在 上最大值为 ，最小值为例9 将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截去一各大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒。问截去的小正方形边长为多大时，所得方盒的容积最大？解 如图设小正方形的边长为x，则盒底的边长为得驻点 : 令 ，2021/8/8 星期日20令 ，得 （舍去）。又所以函数 在 处取得唯一极大值，此极大值就是最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方

8、形铁皮边长的 时，所做的方盒容积最大。ax方盒的容积为：2021/8/8 星期日21例10 制作一个容积为 的圆柱形密闭容器，怎样设计才能使所用材料最省？ 解 如图，设容器的底面半径为 ，高为 ，则表面积为所以令 ， 得驻点 hr由已知得故2021/8/8 星期日22所以，所做容器的高和底直径相等时，所用材料最省。 例11 一工厂A与铁路的垂直距离为 ，垂足 B到火车站C的铁路长为 ，要在BC段上选一点M向工厂修一条公路，已知铁路与公路每公里运费之比为3：5，问M 选在离C多少公里处，才能使从A到C的运费最少？S有唯一驻点，而实际容器存在最小表面积，因此求得的驻点为最小值点，此时2021/8/8 星期日23解 设 , 则设铁路、公路上每公里运费分别为 从A到C需要的总运费为 ，则令 ，得 （舍去）。因为2021/8/8 星期日24是在区间0, b上的唯一驻点，而实际问题中存在最小值，因而 是最小值点，因此，M选在离C点距离为 处时总运费最省。例12工厂生产某产品，当年产量为x（单位：百台）时，总成本（单位：万元）为C(x)