2022-2023学年北京清河第三中学高三数学理下学期期末试卷含解析

1、2022-2023学年北京清河第三中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则 参考答案：C略2. 如图，三棱锥的底面是正三角形，各条侧棱均相等，. 设点、分别在线段、上，且，记，周长为，则的图象可能是（ ）参考答案：C3. 若二次函数的值域为，则的最小值为（ ）1 2 3 4参考答案：A略4. 已知函数f（x）与f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A（0，4）BCD（0，1），

2、（4，+）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】结合函数图象求出f（x）f（x）0成立的x的范围即可【解答】解：结合图象：x（0，1）和x（4，+）时，f（x）f（x）0，而g（x）=，故g（x）在（0，1），（4，+）递减，故选：D5. 下列结论中正确的是( )A若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0B在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0），若位于区域（0，1）的概率为0.4，则位于区域（1，+）内的概率为0.6C从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每4分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样D利用随机变量2来判断“两个独立事件

3、X，Y的关系”时，算出的2值越大，判断“X与Y有关”的把握就越大参考答案：D考点：相关系数 专题：综合题；概率与统计分析：A由线性相关系数r的特征，可以判定命题是否正确；B由变量N（1，2），根据对称性，求出位于区域（1，+）内的概率，判定命题是否正确；C根据系统抽样与分层抽样的特征，可以判定命题是否正确；D由随机变量K2与观测值k之间的关系，判断命题是否正确解答：解：A两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此不正确；B变量N（1，2），位于区域（1，+）内的概率为0.5，因此不正确；C从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每4分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系

4、统（等距）抽样，不是分层抽样，因此不正确；D利用随机变量2来判断“两个独立事件X，Y的关系”时，算出的2值越大，判断“X与Y有关”的把握就越大，正确故选：D点评：本题通过命题真假的判定，考查了统计学中有关的特征量问题，解题时应明确这些特征量的意义是什么，是易错题6. 下列有关命题的叙述，错误的个数为若pq为真命题，则pq为真命题。“”是“”的充分不必要条件。命题P：x，使得xx-10，则p :x，使得xx-10。命题“若，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则”。A. 1 B. 2 C. 3 D. 4参考答案：B若pq为真命题，则至少有有一个为真，所以不一定为真，所以错误。得或，所以

5、“”是“”的充分不必要条件，正确。根据特称命题的否定式全称命题知正确。“若，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1且x2，则”，所以错误，所以错误命题的个数为2个，选B.7. 若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A B C D参考答案：D8. 已知向量，且，则m=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：C【分析】求出的坐标，由知，列出方程即可求出m.【详解】，因为，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查向量的坐标表示，两向量垂直则向量的数量积为0，属于基础题.9. 已知数列的前项和为，,则（A） （B） （C） （D）参考答案：B10. 已知某几何体的三视图如

6、下，则该几何体体积为（ ） A4+ B4+ C4+ D4+参考答案：A该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分，所以该几何体的体积为故选A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 关于的方程(是虚数单位)的解是 参考答案：12. 若的内角,满足,则的最大值为 . 参考答案：略13. 已知函数，则满足的的取值范围是 参考答案：14. 孙子算经是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的孙子算经共三卷.卷中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加

7、一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是8的整数倍时，均可采用此方法求解.如图，是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为 参考答案：121本题考查流程图.循环一次,;循环二次,; 循环三次,; 循环四次,; 循环五次,此时,满足题意,结束循环,输出的.15. 若函数满足，对定义域内的任意恒成立，则称为m函数，现给出下列函数： ； ； ； 其中为m函数的序号是 。（把你认为所有正确的序号都填上）参考答案： 略16. 若曲线存在平行于直线的切线，则a的取值范围为_参考答案：【分析】首先根据题意，知切点位置不确定，故需根据切点位置进行讨论。当切点不在直线上时，利用导数的几

8、何意义，设出切点，求得切线斜率，建立等式， 由判别式大于等于零，求得的取值范围；当切点在直线上时，由切点既在直线上又在曲线上，列出方程可以求出切点坐标，再检验是否符合题意，综上即可求出的取值范围。【详解】（1）设平行于直线的切线的切点为，解得；（2）若切点在直线上，则，又，从而，解得或.当时，此时方程有两个相等的实根，曲线不存在平行于直线的切线；当时，此时方程有两个不等的实根，曲线仅存在一条平行于直线的切线.综上，的取值范围为。【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求解和切线方程有关的问题以及分类讨论思想的应用。三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题。每

9、道试题考生都必须作答第22、23题为选考题。考生根据要求作答17. 若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则k= 参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k=，得x1=x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得kx1+b=lnx1+2，kx2+b=ln（x2+1）联立上述式子解得k=2，故答案为2三、 解答题：本大题共5小题，共

10、72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，相距200海里的A、B两地分别有救援A船和B船在接到求救信息后，A船能立即出发，B船因港口原因需2小时后才能出发，两船的航速都是30海里/小时在同时收到求救信息后，A船早于B船到达的区域称为A区，否则称为B区若在A地北偏东方向，距A地海里处的点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移求A区与B区边界线（即A、B两船能同时到达的点的轨迹）方程；问：应派哪艘船前往救援？救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？（精确到小时）参考答案：解：设点为边界线上的点，由题意知，即，即动点到两定点、的距离之差为常数，点的轨迹是双曲线中的一支。

11、3分由得，方程为（） 6分点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在A区，又遇险船向正北方向漂移，即遇险船始终在A区内，应派A船前往救援8分设经小时后，A救援船在点处与遇险船相遇。在中， 9分整理得，解得或（舍） 13分A救援船需小时后才能与遇险船相遇 14分略19. 已知函数.（）求证：当时，函数在上，存在唯一的零点；（）当时，若存在，使得成立，求的取值范围.参考答案：（1）证明：当a0时，所以函数上至少存在一个零点.2分又f（x）=lnx+a（1x）的定义域为（0，+）f（x）=a=所以a0时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增3分所以函数上存在唯一零点.4分（2）f（x）=ln

12、x+a（1x）的定义域为（0，+）.5分f（x）=a=则a0时，当x（0，）时，f（x）0，当x（，+）时，f（x）0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减7分存在即当a0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=lna+a1f（）2a2.9分lna+a10令g（a）=lna+a1g（a）在（0，+）单调递增，g（1）=0当0a1时，g（a）0当a1时，g（a）0a的取值范围为（0，1）12分20. （本小题满分10分）设，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，（1）证明：当，时，；参考答案：21. （13分）在数列an中，a1+a2+a3+an=nan（n=1，2，3，）（

13、I）求a1，a2，a3的值；（II）设bn=an1，求证：数列bn是等比数列；（III）设 （n=1，2，3，），如果对任意nN*，都有，求正整数t的最小值参考答案：【考点】数列递推式；等比关系的确定；数列与不等式的综合【专题】综合题【分析】（I）在递推公式中依次令n=1，2，3计算求解（II）由已知可得，Sn=nan，当n2时，S n1=（n1）an1，an=SnSn1=1an+an1，继而an1=（an11），所以数列bn是等比数列，（III）由（）得bn=，=，用作差比较法判断cn的单调性，得出其最大值，令最大值小于，求正整数t的最小值【解答】（I）解：由已知，a1=1a1，a1=a1+

14、a2=2a2，a2=a1+a2+a3=3a3，a3=（II）证明：由已知可得，Sn=nan，当n2时，S n1=（n1）an1，an=SnSn1=1an+an1an1=（an11），即当n2时，bn=bn1，b1=a11=0所以数列bn是等比数列，其首项为，公比为（III）解：由（）得bn=，=cncn1=c1c2c3=c4c5cn有最大值c3=c4=，任意nN*，都有，当且仅当即t，故正整数t的最小值是4【点评】本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，考查等比数列的判定、通项公式求解，数列的函数性质，考查变形构造、转化、计算能力22. 已知函数f（x）=x2+mlnx+x（1）求f（x）的

15、单调区间；（2）令g（x）=f（x）x2，试问过点P（1，3）存在多少条直线与曲线y=g（x）相切？并说明理由参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，解关于导函数的不等式，从而得到函数的单调区间；（2）设切点为（x0，x0+mlnx0），求出切线斜率K，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数g（x）（x0），求出导函数，通过讨论当m0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0，当m0时，类比求解，推出当m0时，过点P（1，3）存在两条切线，当m=0时，f（x）=x，说明不存

16、在过点P（1，3）的切线【解答】解：（1）f（x）=x2+mlnx+x，（x0），f（x）=x+1=，m0时，f（x）0，函数在（0，+）递增，m0时，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：x，f（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（2）设切点为（x0，x0+mlnx0），则切线斜率k=1+，切线方程为y（x0+alnx0）=（1+）（xx0）因为切线过点P（1，3），则3（x0+alnx0）=（1+）（1x0）即m（lnx0+1）2=0 令g（x）=m（lnx+1）2（x0），则 g（x）=m（）=，当m0时，在区间（0，1）上，g（x）0，g（x）单调递增；在区间（1，+）上，g（x）0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=20故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足式因此当m0时，切线的条数为0当m0时，在区间（0，1）上，g（x）0，g（x）单调递减，在区间（1，+）上，g（x）0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=20取x1=e1+e，则g（x1）=a（1+e11）2=ae10