专题02：M型平行线（老师版）

1、专题02：M型平行线-2022年中考数学解题方法终极训练一、单选题1如图，BCD90，ABDE，则与一定满足的等式是（）A+180B+90C3D90【答案】D【解析】分析：过C作CFAB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到ABDECF，根据平行线的性质得到作差即可.详解：过C作CFAB，ABDE，ABDECF， 故选D点睛：考查平行公理已经平行线的性质，注意辅助线的作法，作出辅助线是解题的关键.2如图，已知ABDE，130，235，则BCE的度数为（）A70B65C35D5【答案】B【解析】作CFAB，根据平行线的性质可以得到1BCF，FCE2，从而可得BCE的度数，本题得以解决【详解】作

2、CFAB，ABDE，CFDE，ABDEDE，1BCF，FCE2，130，235，BCF30，FCE35，BCE65，故选：B【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答3如图，已知点是矩形内一点（不含边界），设，若，则（）ABCD【答案】A【解析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得，两式相减即可得到【详解】解：矩形，中，即，中，即，由，可得，即，故选：A【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角4如图，点在上，则下列结论正确的个数是（）（1）；（2）；（3）；（4）A1个B2个C3个D4个【答案】

3、B【解析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解【详解】解：ABCD，A+C180，又A110，C70，AEDC+D85，故（2）正确，C+D+CED180，D+CED110，ACED+D，故（3）正确，点E在AC上的任意一点，AE无法判断等于CE，BED无法判断等于45，故（1）、（4）错误，故选：B【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键5如图，BCD70，ABDE，则与满足（）A+110B+70C70D+90【答案】B【解析】过点C作CFAB，根据平行线的性质得到BCF，DCF，由此即可解答【详解】如图，过点C作CFAB，ABDE，ABCF

4、DE，BCF，DCF，BCD70，BCD =BCF+DCF+70，+70故选B【点评】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质进行推理证明是解决本题的关键.二、填空题6如图，在中，在上取一点，上取一点，连接，若，过点作，且点在的右侧，则的度数为_【答案】【解析】在中，由三边的长度可得出，进而可得出为直角三角形且，由于平行线之间有拐点，所以过点C作交AB于点M，则，利用平行的性质可得出的度数，结合可求出的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出的度数【详解】解：在中，即，为直角三角形且过点C作交AB于点M，则，如下图所示，又，故答案为：【点评】本题考查了勾股定理的逆定理

5、以及平行线的性质，利用勾股定理的逆定理，找出并知道过拐点作已知直线的平行线是解题的关键7已知直线ab，将一块含30角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（BAC30），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若122，则2的度数是_【答案】38【解析】过点B作BDa，可得ABD=1=22，ab，可得BDb，进而可求2的度数【详解】如图，过点B作BDa，ABD=1=22，ab，BDb，2=DBC=ABC-ABD=60-22=38故答案为：38【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质8如图，ABEF，设C90，那么x，y，z的关系式为_【答案】y=90-x+z【解析】作CGAB

6、，DHEF，由ABEF，可得ABCGHDEF，根据平行线性质可得x=1，CDH=2，HDE=z，由C90，可得1+2=90，由y=z+2，可证y=z+90-x即可【详解】解：作CGAB，DHEF，ABEF，ABCGHDEF，x=1，CDH=2，HDE=zBCD901+2=90，y=CDH+HDE=z+2，2=90-1=90-x，y=z+90-x即y=90-x+z【点评】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键9如图，已知ABCD，易得1+2+3=360，1+2+3+4 =540，根据以上的规律求1+2+3+n =_ 【答案】【解析】过点P作平行于AB的直线，运用

7、两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；分别过点P，Q作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；同样作辅助线，运用（n-1）次平行线的性质，则n个角的和是【详解】解：（1）如图，过点P作一条直线PM平行于AB，ABCD，ABPMABPMCD，1+APM=180，MPC+3=180，1+APC+3=360；（2）如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB，ABCD，ABPMQNCD，1+APM=180，MPQ+PQN=180，NQC+4=180；1+APQ+PQC+4=540；根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补即可得到1+2+

8、3+n =180（n-1）故答案为：【点评】此题考查了平行线的性质注意掌握辅助线的作法是解此题的关键10如图，平分，则_【答案】【解析】过E点作EMAB，根据平行线的性质可得BED=B+D，利用角平分线的定义可求得B+3D=132，结合B-D=28即可求解【详解】解：过E点作EMAB，B=BEM，ABCD，EMCD，MED=D，BED=B+D，EF平分BED，DEF=BED，DEF+D=66，BED+D=66，BED+2D=132，即B+3D=132，B-D=28，B=54，D=26，BED=80故答案为：80【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出BED=B+D是解题

9、的关键三、解答题11如图，AB/CD，点 为两平行线间的一点请证明两个结论（1）；（2）【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）过点作，根据平行线的性质求证即可；（2）根据平行线的性质即可得证；【详解】（1）过点作，ABCD，ABEFCD， ， （2），又BED=BEF+DEF，【点评】本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键12（1）已知：如图（a），直线求证：；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，见解析【解析】（1）由题意首先过

10、点C作CFAB，由直线ABED，可得ABCFDE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得ABC+CDE=BCD；（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得ABC=BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得ABC-CDE=BCD【详解】解：（1）证明：过点C 作CFAB，ABED，ABEDCF，BCF=ABC，DCF=EDC，ABC+CDE=BCD；（2）结论：ABC-CDE=BCD，证明：如图：ABED，ABC=BFD，在DFC中，BFD=BCD+CDE，ABC=BCD+CDE，ABC-CDE=BCD若点C在直线AB与DE之间，猜想,ABEDCF，.【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形

11、外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法13如图1，求的度数小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质可求的度数 （1）请你按小明的思路，写出度数的求解过程；（2）如图3，点在直线上运动，记，当点在线段上运动时，则与、之间有何数量关系？请说明理由；若点不在线段上运动时，请直接写出与、之间的数量关系【答案】（1）见解析；（2），见解析；【解析】（1）过作，利用平行线的性质即可得出答案；（2）过作，再利用平行线的性质即可得出答案；分在延长线上和在延长线上两种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案【详解】解：（1）如图2，过作，（2）、，理由：如图3，过作，；、如备

12、用图1，当在延长线上时，； 理由：如备用图1，过作，；如备用图2所示，当在延长线上时，；理由：如备用图2，过P作，；综上所述，【点评】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是过作14已知AB/CD（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到BED求证：BEDB+D；（2）如图，连接AD，BC，BF平分ABC，DF平分ADC，且BF，DF所在的直线交于点F如图2，当点B在点A的左侧时，若ABC50，ADC60，求BFD的度数如图3，当点B在点A的右侧时，设ABC，ADC，请你求出BFD的度数（用含有，的式子表示）【答案】（1）见解析；（2）55；（3）【解析】（1）根据平行线的判定定

13、理与性质定理解答即可；（2）如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；如图3，过点作，当点在点的右侧时，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数【详解】解：（1）如图1，过点作，则有，；（2）如图2，过点作，有，即，平分，平分，答：的度数为；如图3，过点作，有，即，平分，平分，答：的度数为【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质15如图1，点、分别在直线、上，.（1）求证：；（提示：可延长交于点进行证明）（2）如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，如图3，平分，点在射线上，若

14、，直接写出的度数【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）或【解析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；（2）根据三角形的内角和为180和平角定义得到，结合平行线的性质得到，再根据角平分线的定义证得，结合已知即可得出结论；（3）分当在直线下方和当在直线上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可【详解】解：（1）如图1，延长交于点， ， ； （2）延长交于点，交于点， 平分，平分，； （3）当在直线下方时，如图，设射线交于，平分， ，即，解得： 当在直线上方时，如图，同理可证得，则有，解得：综上，故答案为或【点评】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外

15、角性质、三角形的内角和定理、平角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键16已知ABCD，ABE与CDE的角分线相交于点F（1）如图1，若BM、DM分别是ABF和CDF的角平分线，且BED100，求M的度数；（2）如图2，若ABMABF，CDMCDF，BED，求M的度数；（3）若ABMABF，CDMCDF，请直接写出M与BED之间的数量关系【答案】（1）65；（2）；（3）2nM+BED=360【解析】（1）首先作EGAB，FHAB，连结MF，利用平行线的性质可得ABE+CDE=260，再利用角平分线的定义得到ABF+CDF=130，从而得到BFD的度数，再根据角平分线的定义

16、和三角形外角的性质可求M的度数；（2）先由已知得到ABE=6ABM，CDE=6CDM，由（1）得ABE+CDE=360-BED，M=ABM+CDM，等量代换即可求解；（3）由（2）的方法可得到2nM+BED=360【详解】解：（1）如图1，作，连结，和的角平分线相交于，、分别是和的角平分线，；（2）如图1，与两个角的角平分线相交于点，；（3）由（2）结论可得，则【点评】本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质17已知ABCD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F（1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：如图1，当点P在

17、线段EF上时，已知A35，C62，求APC的度数；解：过点P作直线PHAB，所以AAPH，依据是；因为ABCD，PHAB，所以PHCD，依据是；所以C（），所以APC（）+（）A+C97（2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）：如图2，APQ+PQCA+C+180成立吗？请说明理由；如图3，APM2MPQ，CQM2MQP，M+MPQ+PQM180，请直接写出M，A与C的数量关系【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；CPH；APH，CPH；（2）APQ+PQCA+C+180成立，理由见解答过程；3PMQ+A+C360【解析】（1）根据平行线的判定与性

18、质即可完成填空；（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明；（3）结合（1）（2）的方法，根据APM2MPQ，CQM2MQP，PMQ+MPQ+PQM180，即可证明PMQ，A与C的数量关系【详解】解：过点P作直线PHAB，所以AAPH，依据是两直线平行，内错角相等；因为ABCD，PHAB，所以PHCD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；所以C（CPH），所以APC（APH）+（CPH）A+C97故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；CPH；APH，CPH；（2）如图2，APQ+PQCA+C+180成立，理由如下：过点P作直线PHAB，QGAB，ABCD，ABCDPHQG，AAPH，CCQG，HPQ+GQP180，APQ+PQCAPH+HPQ+GQP+CQGA+C+180APQ+PQCA+C+180成立；如图3，过点P作直线PHAB，QGAB，MNAB，ABCD，ABCDPHQGMN，AAPH，CCQG，HPQ+GQP180，HPMPMN，GQMQMN，PMQHPM+GQM，APM2MPQ，CQM2MQP，PMQ+MPQ+PQM180，APM+CQMA+C+PMQ2MPQ+2MQP2（180PMQ），3PMQ+A+C360【点评】考核知识点：平行线的判定和性质熟练运用平行线性质