湖南省永州市毛里中学2020年高三数学理下学期期末试题含解析

1、湖南省永州市毛里中学2020年高三数学理下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 两位同学约定下午5：306：00在图书馆见面，且他们在5：306：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是（）ABCD参考答案：D【考点】几何概型【分析】由题意知本题是几何概型问题，试验发生包含的所有事件对应的集合是：（x，y）|0 x30，0y30，做出集合对应的面积是边长为30的正方形面积，写出满足条件的事件对应的集合与面积，根据面积之比计算概率【解答】解：因为两

2、人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数（甲、乙两人各自到达的时刻）组成；以5：30作为计算时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系，设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达，则样本空间为：（x，y）|0 x30，0y30，画成图为一正方形；会面的充要条件是|xy|15，即事件A=可以会面所对应的区域是图中的阴影线部分，由几何概型公式知所求概率为面积之比，即P（A）=故选：D【点评】本题考查了把时间分别用x，y坐标来表示，把时间一维问题转化为平面图形的二维面积问题，计算面积型的几何概型问题2. 如果等差数列中，+=12，那么+=（ ） A14 B21 C28 D35参考答案：C3. 如图，某几何体的

3、三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径. 若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17 （B）18 （C）20 （D）28 参考答案：A试题分析：由三视图知：该几何体是个球，设球的半径为R，则，解得R=2，所以它的表面积是，故选A4. 设是R上的任意实值函数如下定义两个函数和；对任意,；则下列等式恒成立的是（ ）ABCD 参考答案：B本题是一个新定义型问题，考查了学生对新定义的理解和应用能力，难度较大。 按照定义对各个答案逐一判断.对A，左边右边，错误；对B，左边=右边，正确；对C，左边右边，错误；对D，左边右边，错误，故恒成立的是B.5. 设若直线与圆相切，则的取值范围是()参

4、考答案：C6. 设，若“方程满足，且方程至少有一根”，就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为（A）8 （B）10（C）12（D）14参考答案：C略7. 函数是上的奇函数，满足，当时，则当时，=（ ） A B C D参考答案：B8. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A B C2D 参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积【分析】此几何体是底面积是S=1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出【解答】解：此几何体是底面积是S=1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合

5、体，它们的顶点相同，底面共面，高为，V=9. 已知对任意实数，有，且时，则时（ ）A BC D参考答案：B10. 已知函数，则关于的不等式的解集是（ ）A B C D参考答案：A试题分析：因为函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，又在上为增函数，则可化为，则，解得；故选A考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则. 请你参考这些信息，推知函数的极值点是 ；函数的值域是 . 参考答案：；12. 在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为函数y=2x33x

6、+1的图象关于点（0，1）成中心对称；对?x，yR，若x+y0，则x1，或y1；若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；若ABC为钝角三角形，则sinAcosB参考答案：考点： 命题的真假判断与应用 专题： 函数的性质及应用分析： 本题考查的知识点是判断命题真假，比较综合的考查了函数的性质，我们可以根据对称性等函数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论解答： 解：函数y=2x33x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于点（0，1）的对称点为（x0，2y0）也满足函数的解析式，则正确；对?x，yR，若x+y0，对应的是直线y=x以外的点

7、，则x1，或y1，正确；若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（2，0）连线的斜率，其最大值为，正确；若ABC为钝角三角形，若A为锐角，B为钝角，则sinAcosB，错误故答案为：点评： 的判断中使用了数形结合的思想，是数学中的常见思想，要加深体会13. 某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数等于_ 参考答案：14. 若函数的部分图象如图所示，则该函数解析式是 . 参考答案：15. 若展开式的常数项为60，则常数的值为 参考答案：416. 已知函数在点处的切线方程为，则函数在点处的切线方程为_参考

8、答案：17. 若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的体积为 .参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数（）当时，求函数的表达式；（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小

9、时）可以达到最大，并求出最大值。（精确到1辆/小时）参考答案：解：（）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得故函数的表达式为=（）依题意并由（）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，当且仅当，即时，等号成立所以，当时，在区间上取得最大值综上，当时，在区间上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时略19. (本题满分15分)如图，已知动直线经过点，交抛物线于两点，坐标原点是的中点，设直线的斜率分别为.（1）证明：（2）当时，是否存在垂直于轴的直线，被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明

10、理由.参考答案：再设点，则所以，故-（7分）（2）因为，所以抛物线的方程为：记线段中点即圆心为，则圆的半径，假设存在这样的直线，20. 已知椭圆W：（b0）的一个焦点坐标为（）求椭圆W的方程和离心率；（）若椭圆W与y轴交于A，B两点（A点在B点的上方），M是椭圆上异于A，B的任意一点，过点M作MNy轴于N，E为线段MN的中点，直线AE与直线y=1交于点C，G为线段BC的中点，O为坐标原点求OEG的大小参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（）由椭圆W：（b0）的一个焦点坐标为，求出a，b，由此能求出椭圆W的方程和离心率（）设M（x0，y0），x00，则N（0，y0），E（，y0），从而

11、直线AE的方程为y1=，令y=1，则C（，1），从而G（，1），由点M在椭圆P上，得到，由此能求出OEG【解答】解：（）椭圆W：（b0）的一个焦点坐标为，a=2，c=，b=1，椭圆W的方程为+y2=1离心率e=（）设M（x0，y0），x00，则N（0，y0），E（，y0），又A（0，1），直线AE的方程为y1=，令y=1，则C（，1），又B（0，1），G为BC的中点，G（，1），=（），=（，y0+1），=（）+y0（y0+1）=+y0，点M在椭圆P上，则+y02=1，=44y02，=1y01+y0=0，OEG=9021. 设函数f（x）=x22x（）解不等式|f（x）|+|x2+2x|6|x|；（）若实数a满足|xa|1，求证：|f（x）f（a）|2|a|+3参考答案：考点：不等式的证明；绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用；推理和证明分析：（）原不等式化为因式乘积的形式，利用绝对值不等式的几何意义，求解即可（）直接利用因式分解，放缩法，绝对值的性质，证明即可解答：（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲解：（）原不等式|f（x）|+|x2+2x|6|x|可化为：（|x2|+|x+2|）|x|6|x|；解得x3或x3，或x=0所以，原不等式的解集为x|x3或x3，或x=0； （）证明：f（x）=x22x，|xa|1，|f（x）f（a）|=|x22xa