高等数学及其应用电子教案第二版数学系ch32课件

1、高等数学及其应用电子教案第二版数学系ch32课件高等数学及其应用电子教案第二版数学系ch32课件一、第一类换元法 在这一目中, 我们将主要考虑复合函数的积分问题.我们知道 由此得 牛牛文库文档分享一、第一类换元法 在这一目中, 我们将主要考虑复合函 又如, 考虑积分因为 即有积分. 一般情况又将如何, 这就是下面的积分方法即将被积函数写成复合求导形式, 从而求出相应的不定第一类换元法. 牛牛文库文档分享 又如, 考虑积分因为 定理3.1设函数 有原函数连续导函数, 则有积分公式 公式（3.3）给出的方法称为第一类换元法, 即：若被积函数能写成两项的乘积, 且其中的一项为复合函数的形式, 而另一

2、项可以凑成中间变量的导数形式, 则可以考虑使用此方法.（3.3）且 有 牛牛文库文档分享定理3.1设函数 有原函数连续导函数, 则 由于因此该公式也经常写成 牛牛文库文档分享 由于因此该公式也经常写成 牛作变换例3.16 求积分解 一般地: 当被积函数形式为 时, 则可考虑即若 有原函数 则 牛牛文库文档分享作变换例3.16 求积分解 一般地: 当被类似地有 牛牛文库文档分享类似地有 牛牛文库文档分享例3.17 求积分解 因 得 牛牛文库文档分享例3.17 求积分解 因 例3.18 求积分解 牛牛文库文档分享例3.18 求积分解 牛牛文例3.19 求积分解 牛牛文库文档分享例3.19 求积分解

3、 牛牛文例3.20 求积分解 同理可得 牛牛文库文档分享例3.20 求积分解 同理可得www.niuwk例3.21 求积分解 牛牛文库文档分享例3.21 求积分解 www.ni例3.22 求积分解 因，故 牛牛文库文档分享例3.22 求积分解 因，故www.niuwk.c 注意：上面的几个积分结果均可以作为基本的积分公式使用. 牛牛文库文档分享 注意：上面的几个积分结果均可以作为基本的积分公式使用例3.23 求积分解 因故从而积分为 牛牛文库文档分享例3.23 求积分解 因故从而积分为www.niu例3.24 求积分解 因所以积分为例3.21 牛牛文库文档分享例3.24 求积分解 因所以积分为

4、例3.21ww例3.25 求积分解 因所以积分为 牛牛文库文档分享例3.25 求积分解 因所以积分为www.niu注意 在三角函数的积分中, 利用三角恒等式对三角函数做某些变换是积分中经常使用的方法. 常用的三角公式是: 牛牛文库文档分享注意 在三角函数的积分中, 利用三角恒等式对三角函数例3.26 计算下列积分: 解 牛牛文库文档分享例3.26 计算下列积分: 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享例3.27 求积分解 牛牛文库文档分享例3.27 求积分解 www.ni又,即 牛牛文库文档分享又,即 牛牛文库文档分享注 此题中的积分结果也可作为基本的积分公式使

5、用. 牛牛文库文档分享注 此题中的积分结果也可作为基本的积分公式使用.ww例3.28 求积分解积化和差 牛牛文库文档分享例3.28 求积分解积化和差定理3.2 设函数二、第二类换元法对应的区间上有连续导数, 且在区间 上连续, 又在则有积分公式 （3.4）公式（3.4）又称为第二类换元法. 牛牛文库文档分享定理3.2 设函数二、第二类换元法对应的区间上有连续导 一般, 当被积函数中含有 等因子时作代换作代换可通过适当的三角代换来求出相应的积分. 常用代换有:作代换作代换这类代换的主要目的是消去积分表达式中的根式. 牛牛文库文档分享 一般, 当被积函数中含有 例3.29 求积分解 令由 牛牛文库

6、文档分享例3.29 求积分解 令由 原积分为 牛牛文库文档分享原积分为 牛牛文库文档分享例3.30 求积分解 做变换 则原积分为: 牛牛文库文档分享例3.30 求积分解 做变换 则原积分为:例3.31 求积分解 令由 知则所以 牛牛文库文档分享例3.31 求积分解 令由 同理可证 注 本题中的两个积分结果也是常用的积分基本公式. 牛牛文库文档分享同理可证 注 本题中的两个积分结果也是常用的积分例3.32 求积分解 令则 牛牛文库文档分享例3.32 求积分解 令则www.niuwk.c本节又建立了如下的一些积分公式: 牛牛文库文档分享本节又建立了如下的一些积分公式:www.niuwk(21)(22)(23) 牛牛文库文档分享(21)(22)(23) 牛牛文库例3.33 求积分解 令 所以原积分为故 牛牛文库文档分享例3.33 求积分解 令 注 对形如 的积分, 常用换元将积分化简单 牛牛文库文