天津市中考数学试题研究二次函数综合题题库

1、天津市2019年中考数学试题研究二次函数综合题题库天津市2019年中考数学试题研究二次函数综合题题库14/14天津市2019年中考数学试题研究二次函数综合题题库二次函数综合题已知抛物线C：yax2bxc与x轴交于A、B(A在B的左侧)两点，与y轴交于点D(0，且极点为E(1，4).()求抛物线C的剖析式；()将抛物线C经过某种平移后获取抛物线，极点变为(1，k)(k4)，设平移后DCE的对应点为D，且OD2.求抛物线C的剖析式；点Q在抛物线C的对称轴上，若ADAQ，求点Q的坐标.解：()设抛物线C的剖析式为ya(x1)24，代入D(0，3)，得a43，解得a1，抛物线C的剖析式为y(x1)24

2、，即yx22x3；()E(1，4)，E(1，k)(k4)，抛物线向下平移了(4k)个单位长度，D(0，34k)，即D(0,k1)，OD2，|k1|2，解得k3或k=1，抛物线C的剖析式为y(x1)23或y(x1)21，即yx22x2或yx22x2；OD2，D(0，2)或D(0，2)令y0，则有x22x30，解得x1或x3，点A的坐标为(1，0)设点Q坐标为(1，m)AD2(0+1)2(20)25，2222AQ(11)(0m)m4，2m45，解得m1.Q点坐标为(1，1)或(1，1)2.已知二次函数yx2bxc与x轴交于A、B两点()若A(2，0)，B(3，0)，求二次函数的剖析式；2()若b(

3、3m1)，c2m2m(其中m1)11二次函数与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1x2)两点，且12x13x21，试求m的取值范围；当1x3时，二次函数的最小值是1，求m的值解：()把(2，0)，(3，0)代入yx2bxc，AB得42bc0b1，解得，93bc0c6二次函数的剖析式为yx2x6；22()令y0，则x(3m1)x2m2m0，224(222，b4ac(3m1)m2m)(m+1)13m1（m1）2x2m1，31（1）22m，x221112x13x21，121231，整理得9m3，1，m13；m311，当x1时，二次函数有最小值1，此时1m1，若对称轴x2代入(1，1)得：1(

4、31)2221，mmm化简得22530，mm3解得m1或m2(舍去)；317若对称轴xm3，当x3时，二次函数有最小值1，此时m3，2代入(3，1)得：93(3m1)22m2m1，化简得2211130，mm解得1117或1117(舍去)；m4m4若对称轴13m13，当x3m1时，二次函数有最小值1，此时17，22m33m1代入(，1)，2（3m1）2（3m1）22得2m2m1，422化简得m2m30，解得m1或m3，(均舍去)1117综上所述，m的值为或1.43.已知抛物线yax2bxc的对称轴为直线x1，该抛物线与x轴的两个交点分别为点A和B，与y轴的交点为C(0，3)，其中A(1，0)()

5、求点B的坐标；()若抛物线上存在一点P，使得POC的面积是BOC的面积的2倍，求点P的坐标；()点M是线段BC上一点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点D，求线段MD长度的最大值解：()抛物线yax2bxc的对称轴为直线x1，A(1，0)，点B的坐标为(3，0)；()将点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入抛物线yax2c中，bxa0a1bc得9a3bc0，解得b2，c3c3抛物线的剖析式为yx22x3，19S22SPOC2SBOC9.1设点P的横坐标为xP，则3|xp|9，解得xP6.2点P的坐标为(6，21)或(6，45)；()点B(3，0)，C(0，3)，直线BC的剖析式为yx3

6、.设点M(a，a3)，则点D(a，a22a3)22329MDa3(a2a3)a3a(a2)4，39当时，线段长的最大值为.24抛物线y1x2bxc(b，c为常数)与y轴订交于点C，经过点C作直线CDx轴，交抛2物线于点D，将直线CD向上平移t个单位长度，交抛物线于点A、B(A在B的左侧)，直线AB与抛物线的对称轴交于点E.()当b2，c1时，求抛物线极点P的坐标；()若90，求t的值；ACB()在()的条件下，当以点，E为极点的四边形为平行四边形时，求b的值ACD1212解：()当b2，c1时，y2x2x12(x2)1，抛物线的极点P的坐标为(2，1)；()如解图，连接AC，BC，CE，ACB

7、90，AEEB，1CE2AB，1由2x2bxcct，解得xbb22t，22A(bb2t，ct)，B(bb2t，ct)，E(b，ct)，C(0，c)，CEb2t2.b2t2b22t.解得t2或t0(舍去)，t2；第4题解图()由题意得CDAE，A(bb22t，ct)，E(b，ct)，且点A在点E的左侧，AEb22t.C(0，c)，D(2b，c)，CD|2b|，b22t|2b|，3b22t，t2，23b3.5.已知抛物线y2bx(0)经过点(1，4)，(4，5)axcaaa()证明：抛物线与x轴有两个不同样的交点；()设抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若ACB90，求a的值；()若点D和

8、点E的坐标分别为(0，4)，(4，4)抛物线与线段DE恰有一个公共点，求a的取值范围()证明：把点(1，4a)，(4，5a)代入yax2bxc，abc4ab2a得，解得，16a4bc5ac3a抛物线的剖析式为yax22ax3a，b2-4ac(2a)24a(3a)4a212a216a20，抛物线与x轴有两个不同样的交点；()解：令ax22ax3a0，解得x11，x23，设A，B两点的坐标分别为(1，0)，B(3，0)，令x0，则y3a，点C的坐标为(0，3a)，222ACB90，ACBCAB，222222222(1)2AC(1)(3a)19a，BC3(3a)99a，AB316，22319a99a

9、16，解得a3.a的值为33；()解：由()知，抛物线与x轴的交点为(1，0)，(3，0)，抛物线关于直线x1对称，a的正负不确定，需分类谈论；当a0时，如解图，将x0代入抛物线剖析式得y3a，抛物线与线段DE恰有一个公共点，43a4，解得a3，将x4代入抛物线剖析式得y5a，45a4，解得a，5a4，5当a0时，如解图，将x0代入抛物线剖析式得y3a，抛物线与线段DE恰有一个公共点，43a4，解得a，将x4代入抛物线剖析式得y5a，45a4，解得a，4a3；当抛物线的极点在线段DE上时，则极点为(1，4)，如解图，将点(1，4)代入抛物线得4a2a3a，解得a1.44综上所述，a或5a或3a

10、1.第5题解图已知抛物线yax2bxc经过A(0，2)，B(2，2)两点()求a，b满足的关系式；1()当a2时，y值为正整数，求满足条件的x值；()若a0，线段AB下方的抛物线上有一点D，求DAB的面积最大时，D点的横坐标解：()将A(0，2)，B(2，2)代入抛物线yax2bxc中，c2得，4a2bc24a2b22，整理得2ab2，即a，b满足的关系式为2ab2；()由()知，c2，b2a2，1a2，b1，12125抛物线剖析式为y2xx22(x1)2，y值为正数，1252(x1)20，(x1)250，51x51，y值为整数，15即2(x1)22为整数，(x1)2是奇数，综上所述，满足条件

11、的x值为2或0；()由()知，c2，b2a2，抛物线的剖析式为yax2(2a2)x2，A(0，2)，B(2，2)，直线AB的剖析式为y2x2，点D在线段AB下方的抛物线上，2设点D（m，am(2a2)m2），如解图，过点D作y轴的平行线DE交AB于点E，E(m，2m2)，DE2m2am2(2a2)m2a(m1)2a，1SDAB2DE(xBxA)a(m1)2a，a0，a0，当m1时，DAB的面积最大，此时D点的横坐标为1.第6题解图7.一次函数3的图象与二次函数yax24c的图象交于、B两点(其中点A在y4xaxA点B的左侧)，与这个二次函数图象的对称轴交于点C.()求点C的坐标；(II)设二次

12、函数图象的极点为D.若点D与点C关于x轴对称，且ACD的面积等于3，求此二次函数的剖析式；若CDAC，且ACD的面积等于10，求此二次函数的剖析式解：()yax24axca(x2)24ac，二次函数图象的对称轴为直线x2.3当x2时，y4x2，3C(2，2)；()点D与点C关于x轴对称，3D(2，2)，CD3.31设A(m，4m)(m2)，由SACD3，得23(2m)3，解得m0，A(0，0).将(0，0)、(2，3)代入yax24c中，AD2axc03，解得a3得8.4ac2c0323此二次函数的剖析式为y8x2x；3设A(m，4m)(m2)，如解图，过点A作AECD于E，第7题解图则AE2

13、m，CE33m，242223325(2)()(2)，ACAECEm24m4m5CDAC，CD4(2m).ACD15210，解得m2或m6(舍去)，m2.由S10得24(2m)3A(2，)，CD5.27若a0，则点D在点C下方，D(2，)，2337)得12ac2由A(2，)、D(2，2，274ac21解得a8，c31y8x2x3.113若a0，则点D在点C上方，D(2，2)，12ac33132由(2，)、(2，)得，13224ac21a2解得，9c2y1x22x9.22综上，二次函数的剖析式为y1213或y1229.8x2x2xx28.已知二次函数22yx(2m2)xm2m3(m是常数)的图象与

14、x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)()若是二次函数的图象经过原点求m的值；若m0，点C是一次函数yxb(b0)图象上的一点，且ACB90，求b的取值范围；()当3x2时，函数的最大值为5，求m的值解：()二次函数的图象经过原点，2m2m30，解得m11，m23.m0，m1.把m1代入yx2(2m2)xm22m3中，得：yx24x，当yx24x0时，解得x10，x24，AB4.以AB为直径作P，依照直径所对的圆周角为直角，可知：当一次函数yxb(b0)的图象与圆订交时，可得ACB90.如解图，一次函数yxb(b0)的图象与P相切于点C，与y轴交于点E，与x轴交于点F，连接PC，易得PCF90

15、.第8题解图当x0时，yxbb，点E(0，b).当yxb0时，xb，点F(b，0)，AEAFb，又PCF90，PCF为等腰直角三角形，PF2PC22，bAF222，b的取值范围为0b222；22()yx(2m2)xm2m3(xm1)24，抛物线的对称轴为直线x1m，当1-3+2，即1.5时，依照二次函数的对称性及增减性，当x2时，函数最大2值为5，(2m1)245，解得：m2或m4(舍去)；当1-3+2，即1.5时，依照二次函数的对称性及增减性，当x3时，函数最m2m大值为5，(3m1)245，解得：m1或m7(舍去)综上所述，m2或m1.已知抛物线ya(xh)22(a，h是常数，a0)，与x

16、轴交于点A，B，与y轴交于点C，点M为抛物线的极点()若点A(1，0)，B(5，0)，求抛物线的剖析式；()若点A(1，0)，且ABM是直角三角形，求抛物线的剖析式；()若抛物线与直线yx6订交于M、D两点，当CDx轴时，求抛物线的剖析式解：()抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(5，0)，5hh(1)，h2.把A(1，0)代入ya(x2)22，有a(12)220，2解得a9，22抛物线的剖析式为y(x2)2；9()抛物线与x轴交于A、B两点，极点M在直线y2上，如解图.a0.由a(xh)220，得xh2a.|AB|(h2a)(h2a)22a.设对称轴xh交x轴于点H，则MH2.ABM是等腰直

17、角三角形，AB2MH，212a4，解得a2，把A(1，0)代入y1(xh)22，2得1(1h)220，2解得11，23，hh1212抛物线的剖析式为y2(x1)2或y2(x3)2；第9题解图()如解图，点M(h，2)在直线yx6上，2h6，解得h4.ya(x4)22ax28ax16a2，C(0，16a2)，由x6ax28ax16a2，即ax2(8a1)x16a40.解得x8a1118a2aa2a121把x4a代入yx6，得1ya2，11D(4a，a2)CDx轴，点C与点D关于直线xh4对称，116a2a2，1a，1当a4时，点C与点D重合，不合题意，故舍去，1a4，12抛物线的剖析式为y4(x

18、4)2.第9题解图10.已知抛物线yx2bxc与直线ykxm交于A(1，3)，B(4，0)两点，点P是抛物线上A、B之间(不与点A、B重合)的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C、D.()求抛物线与直线AB的剖析式；()当点C为线段AB的中点时，求PC的长；()设点E的坐标为(s，t)，以点P，C，D，E为极点的四边形为矩形时，用含有t的式子表示s，并求出s的取值范围解：()点A(1，3)，B(4，0)在抛物线上，1bc3b4，解得，164bc0c0抛物线的剖析式为yx24x.点A(1，3)，B(4，0)在直线ykxm上，km3k1，解得，4km0m4直线的剖析式为yx4；AB5323()依照题意，点C的坐标为(2，2)，且PCx轴，x4x2，1010解得x22(舍去)或x22，