年高考第一轮复习数学优选资料集合的概念与运算

1、第一章 集合与简易规律 网络体系总览 考点目标定位1. 懂得集合、子集、补集、交集、并集的概念；明白属于、包含、相等关系的意义 .2. 把握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简洁的集合 .3. 懂得规律联结词“ 或”握充要条件的意义 .“ 且” “ 非” 的含义；懂得四种命题及其相互关系；掌4. 学会运用数形结合、分类争论的思想方法分析和解决有关集合的问题,形成良好的思维品质 . 复习方略指南本章内容在高考中以考查空集与全集的概念,元素与集合、集合与集合之间的关系,集合的交、并、补运算为重点,以上内容又以集合的运算为重点考查内容 .规律联结词与充要条件这部分,以充要条件为重点考查内容 .

2、本章内容概念性强,考题大都为简洁的挑选题,因此复习中应留意：1. 复习集合,可以从两个方面入手,一方面是集合的概念之间的区分与联系,另一方面是对集合学问的应用 .2. 主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系,弄清有关的术语和符号,特殊是对集合中的元素的属性要分清晰 .3. 要留意规律联结词“ 或”“ 且” “ 非” 与集合中的“ 并”“ 交” “ 补” 是相关的,二者相互对比可加深对双方的熟识和懂得 .4. 复习规律学问时,要抓住宅学的几个学问点,通过解决一些简洁的问题达到懂得、把握规律学问的目的 .5. 集合多与函数、方程、不等式有关,要留意学问的融会贯穿 .1.1 集合的概念与运算 学

3、问梳理1. 集合的有关概念2. 元素与集合、集合与集合之间的关系（ 1）元素与集合： “ ” 或“” .（ 2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系 .3. 集合的运算（ 1）交集：由全部属于集合 A且属于集合 B的元素所组成的集合,叫做集合 A与 B的交集,记为 AB,即 AB=x| xA且 xB.（ 2）并集：由全部属于集合 A或属于集合 B的元素所组成的集合,叫做集合 A与集合 B的并集,记为 AB,即 AB=x| xA或 xB.（ 3）补集：一般地,设 S是一个集合, A 是 S的一个子集（即 A S）,由 S中所有不属于 A的元素组成的集合,叫做子集 A 在全集 S中的补集（或余

4、集）,记为 S A,即 S A=x| x S且 x A. 点击双基1. （2022 年全国, 1）已知集合M= x| x2 4 ,N= x| x2 2x 3 0 ,就集合 M N等于A. x| x 2 B. x| x3 C. x| 1 x 2 D. x|2 x 3解析： M= x| x 24= x| 2x2 ,N=x| x合数轴, M N= x| 1x 2.答案： C22x30= x| 1x3 ,结2. （2022 年北京西城区抽样测试题）已知集合 A=xR| x52 ,B=1 ,2,3,4 ,就（RA） B等于A.1 ,2, 3,4 B.2 ,3,4C.3 ,4 D.4解析：RA= xR|

5、x52 ,而 52 （ 3, 4）,（RA） B=4.答案： D3. （2022 年天津, 1）设集合 P=1 ,2,3,4, 5,6 ,Q= x R|2 x6 ,那么以下结论正确选项A. P Q=P B. PQ QC. P Q=Q D.PQ P解析： P Q=2 ,3, 4,5,6 , P Q P.答案： D4. 设 U是全集,非空集合P、Q满意 P Q U,如求含 P、 Q的一个集合运算表达式,使运算结果为空集,就这个运算表达式可以是 _.解析：构造满意条件的集合,实例论证 .U= 1,2, 3, P= 1,Q=1, 2,就（UQ）=3,（UP） =2 , 3 ,易见（UQ） P= .答案

6、：（UQ） P5. 已知集合 A 0,1,Bx xA,x *,C xx A,就 A、B、C之间的关系是 _.解析：用列举法表示出B1,C,1,0,A,易见其关系 . 这里 A、B、C 是不同层次的集合, C以 A的子集为元素,同一层次的集合可有包含关系,不同层次的集合之间只能是从属关系 .答案： B A,AC,B C 典例剖析【例 1】 （2022 年北京, 8）函数 f （x）= x x P , 其中 P、 M为实数集 Rx x M ,的两个非空子集,又规定 f （P）= y| y=f （x）,x P ,f （M）= y| y=f （ x）,x M.给出以下四个判定,其中正确判定有如 P M

7、=,就 f （ P） f （M）= 如 PM,就 f （ P） f （M）如 PM=R,就 f （ P） f （M）=R 如 PM R,就 f （P） f （M） RA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个剖析：由题意知函数 f （P）、f （M）的图象如下图所示 .设 P= x2,+）,M=（, x1, | x 2| | x1| , f （ P）=f （x2）, +）,f（ M） =f （x1）,+）,就 P M= .而 f（P）f （M）=f（x1）,+）,故错误 . 同理可知正确 . 设 P= x1,+）,M=（, x2, | x2| | x1| ,就 PM=R.f （P）= f

8、（x1）, +）,f （M）=f （x2）,+）,f （P） f （M）=f （x1）, +） R,故错误 . 同理可知正确 .答案： B【例 2】 已知 A= x| x33x22x0 ,B= x| x2axb0 且 A B=x|0 x2 ,AB xx 2,求 a、b 的值 .解： A=x| 2x 1 或 x 0 ,设 B=x1,x2,由 AB=（0,2知 x22,且 1x10,由 AB=（ 2,+）知 2x1 1. 由知 x1 1,x22, a（ x1x2） 1,b x1x2 2.评述：此题应熟识集合的交与并的涵义,娴熟把握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法 .深化拓展（ 2022 年上

9、海, 19）记函数 f （x）=2x3的定义域为 A,g（x）=x1lg （ x a1）（2ax）（a1）的定义域为 B.（ 1）求 A；（ 2）如 B A,求实数 a 的取值范畴 .提示：（1）由 2x 30,得 x 10,x 1 x 1 x 1 或 x1,即 A=（, 1） 1, +） .（ 2）由（ xa1）（2ax） 0,得（ xa1）（x2a） 0. a 1, a+12a. B=（2a,a+1） . B A, 2a1 或 a+1 1,即 a1 或 a 2.2而 a1,1 a1 或 a 2.2故当 B A时,实数 a 的取值范畴是（,21 , 1）.2【例 3】 （ 2022 年湖北,

10、 10）设集合 P= m| 1m0 ,Q= m R| mx 2+4mx4 0 对任意实数 x 恒成立 ,就以下关系中成立的是A. P Q B. Q P C.P=Q D.P Q=Q剖析： Q= mR| mx 2+4mx40 对任意实数 x 恒成立 ,对 m分类： m=0 时, 4 0 恒成立； m 0 时,需 =（ 4m）24 m （ 4） 0,解得 m0.综合知 m 0, Q= m R| m0.答案： A评述：此题简洁忽视对m=0 的争论,应引起大家足够的重视.【例 4】 已知集合 A=（x,y）| x 2+mxy+2=0,B= （x,y） | x y+1=0, 0 x2 ,假如 AB,求实数

11、 m的取值范畴 .剖析：假如目光总是停留在集合这一狭窄的学问范畴内,此题的思维方法是很难找到的 . 事实上,集合符号在此题中只起了一种“ 化妆品” 的作用,它的实际背景是“ 抛物线 x 2+mxy+2=0 与线段 xy+1=0（0 x2）有公共点,求实数m的取值 .范畴”. 这种数学符号与数学语言的互译,是考生必需具备的一种数学素养解：由x2ymxy 02x0,2,得x10 x2+（m1）x+1=0. A B,方程在区间0,2上至少有一个实数解.第一,由 =（m1）24 0,得 m 3 或 m 1.当 m3 时,由 x1+x2=（ m1） 0 及 x1x2=1 知,方程只有负根,不符合要 求；

12、当 m 1 时,由 x1+x2=（m1） 0 及 x1x2=1 0 知,方程有两个互为倒数 的正根 . 故必有一根在区间（0,1内,从而方程至少有一个根在区间0,2内.综上所述,所求 m的取值范畴是（,1.评述：上述解法应用了数形结合的思想 . 假如留意到抛物线 x 2+mx y+2=0 与线段 x y+1=0（ 0 x2）的公共点在线段上,此题也可以利用公共点内分线段 的比 的取值范畴建立关于 m的不等式来解 .深化拓展设 mR,A= （x,y）| y=3 x+m, B=（x, y）| x=cos , y=sin ,0 2 ,且 AB= （cos1,sin 1）,（cos2,sin 2） （

13、1 2）,求 m的取值范畴 .提示：依据题意,直线y=3 x+m与圆 x 2+y2=1（ x 1）交于两点,12| m|321 且 0 3 1+m. 2m2 且 m3 .答案： 2m2 且 m3 . 闯关训练夯实基础1. 集合 A= （x,y） | x+y=0 ,B= （x,y） | x y=2 ,就 A B是A. （1, 1）x,11.B.x11yC. （ 1, 1） D.1 , 1解析：xy0 xy2y答案： C2.（ 2022 年上海, 3）设集合 A=5 ,log2（ a+3） ,集合 B= a,b. 如 AB=2 ,就 AB=_.解析： AB=2 , log2（a+3）=2. a=1

14、. b=2. A=5 ,2 ,B=1 , 2. A B=1 ,2,5.答案： 1 ,2,53. 设A=x|1 x 2 , B= x| x a , 如AB , 就a 的 取 值 范 围 是_.解析： A B说明 A是 B的真子集,利用数轴（如下图）可知 a1.答案： a 14. 已 知 集 合 A=x R| ax 2+2x+1=0, a R 只 有 一 个 元 素 , 就 a 的 值 为_.解析：如 a=0,就 x=1 . 2如 a 0, =44a=0,得 a=1.答案： a=0 或 a=15. （2022 年全国,理 6）设 A、B、I 均为非空集合,且满意 A B I ,就以下各式中错误的是

15、A. （IA） B=I B. （IA）（IB）=IC. A（IB） = D.（IA）（IB）= IB解析一： A、B、I 满意 A B I ,先画出文氏图,依据文氏图可判定出 A、C、D都是正确的 .解析二：设非空集合 A、B、I 分别为 A=1 ,B=1 ,2 ,I =1 ,2,3 且满意 ABI .依据设出的三个特殊的集合A、B、I 可判定出 A、C、D都是正确的 .答案： B6. （2022年春季北京, 15）记函数 f （x）=log2（2x3）的定义域为集合 M,函数g（x）= x3 x1的定义域为集合N. 求：（ 1）集合 M、N；（ 2）集合 MN、MN.解：（ 1）M=x|2

16、x30= x| x3 ；2N=x| （x3）（x1） 0= x| x3 或 x1.（ 2） MN=x| x3 ；MN= x| x1 或 x3 . 2培育才能7. 已知 A= xR| x 2+2x+p=0 且 A x R| x0=,求实数 p 的取值范畴 .解： A xR| x 0=,（ 1）如 A=,就 =44p0,得 p1；（ 2）如 A,就 A=x| x 0 ,即方程 x 2+2x+p=0 的根都小于或等于 0.设两根为 x1、x2,就x44p2,0,0 p1.x 1x 2p0 x 1.02综上所述, p0.8. 已知 P= （x,y）| （x+2）2+（y 3）2 4 ,Q=（ x,y）

17、| （x+1）2+（ym）21 ,且 PQ=Q,求 m的取值范畴 .4解：点集 P表示平面上以 O1（ 2,3）为圆心, 2 为半径的圆所围成的区域（包括圆周）；点集 Q表示平面上以 O2（ 1,m）为圆心,1 为半径的圆的内部 . 要使 P2 QQ,应使 O2 内含或内切于O1. 故有 O1O22（ R1 R2）2,即（ 12）2（ m3）2（ 21 ）2. 解得 35 m35 .2 2 2评述：此题选题目的是：熟识用集合语言表述几何问题,利用数形结合方法解题 .探究创新9. 如 B=x| x 23x+20 ,是否存在实数 B=A？请说明你的理由 .a,使 A= x| x 2（ a+a 2）

18、 x+a 30 且 A解： B= x|1 x2 ,如存在实数 a,使 A B=A,就 A=x| （xa）（xa 2） 0.（ 1）如 a=a 2,即 a=0 或 a=1 时,此时 A= x| （xa）2 0=,满意 AB=A, a=0 或 a=1.（ 2）如 a 2 a,即 a1 或 a0 时,A= x|0 xa 2,要使 AB=A,就a2121aa2 , 1a2 .a 2（ 3）如 a 2 a,即 0 a1 时, A= x| a x a 2 ,要使 AB=A,就a 2 1 1a2, a.综上所述,当 1a2 或 a=0 时满意 AB=A,即存在实数 a,使 A= x| x 2（a+a 2）x+a 30 且 AB=A成立 . 思悟小结1. 对于集合问题,要第一确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形）,然后确定