专题4-4-导数大题（恒成立问题1）-高三数学一轮复习精讲精练

1、专题4.4导数大题（恒成立问题1）1已知函数（）判断函数在上的零点个数，并说明理由；（）当，时，求实数的取值范围解：解法一：由题意得，当时，易得函数单调递增，而，故，当，时，；当时，而，函数在上无零点；（3分）当时，函数在上单调递增，而，函数在上有1个零点综上所述，函数在上有1个零点（6分）解法二：由，得，则在同一直角坐标系中，作出和的图象，由图象易知函数在上只有一个零点（6分）令，则，（8分）令，在，上恒成立，则为增函数，即为增函数当，即时，在，上为增函数，即在，上恒成立；（10分）当，即时，使，当，为增函数；当为减函数，与在，上恒成立相矛盾，不成立综上所述，实数的取值范围是，（12分）2已

2、知函数，（1）当，时，求证：；（2）当时，若，求实数的取值范围解：（1）证明：由得，当时，在上递减，当时，在上递增，（1），由于，则在，上递减，故，当且仅当，时取等号，综上，；（2）令，由于，所以时，令，当时，在上递减，则，此时，不合题意；当时，令，解得，则在上递减，则，故当时，不合题意；当时，在上递增，则，即，符合题意综上，实数的取值范围为，3已知函数（1）当，时，恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，对任意的，恒成立，求整数的最小值解：（1）依题意，对任意，均成立，即对任意，均成立，令，则，易知当时，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递增，又，当时，恒成立，即恒成立，即实数的取值范围为

3、，；（2）由（1）知，当，时，恒成立，即恒成立，当，时，恒成立，而为上的奇函数，所以要使当时，对任意的，恒成立，只需当时，对任意的，恒成立即可，即当时，对任意的，恒成立即可，若，则可取，此时始终有，不合题意，故，若当时满足题意，即对，都有成立，当时，显然成立；当时，符合题意；当时，符合题意综上，整数的最小值为14已知函数（1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若的两个极值点为，且，不等式恒成立，求实数的取值范围解：（1）当时，因为（1），所以所求切线方程为，即（2）因为，所以，是方程的两个正根令，则，解得因为，所以由，可得因为，所以，即恒成立令，因为，所以，则，整理得令，则所以在，上单

4、调递减，所以由，解得，故的取值范围是5已知函数（1）若，讨论的单调性；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的值解：（1）因为，当时，当时，可得，单调递增；当时，可得，单调递减，综上所述，在上单调递减，在上单调递增（4分）（2）由（1）知当时，恒成立，此时单调递增，的值域为，不符合题意；（6分）当时，则，也不符合题意；（7分）当时，令得，即，令，（8分）则，所以在单调递增设存在使得，两边同时取对数可得：，则时，；当时，所以当时，故只需即可，（10分）令（a），则，由（a）可得：，由（a）可得：，所以（a）在上单调递增，在上单调递减，故（a）（1），所以（a），又因为（a），所以（a），由以上证明可知（1），所以故满足条件的实数的值为1（12分）6已知函数（1）若有两个零点，求的取值范围；（2）设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围解：（1）令，则，当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，；当时，所以当，即，有两个零点，有两个零点时，的范围是（2）对任意的，不等式恒成立，在上恒成立，令，则，令，则，在上为增