中考数学满分之路（七）-抛物线与平行四边形、特殊的平行四边形

1、第 页中考数学满分之路（七） 抛物线与平行四边形、特殊的平行四边形一、抛物线与平行四边形1. 中点坐标公式在平面直角坐标系xOy中，点M为线段AB的中点，则. 2. 平行四边形的对角线互相平分；对角线互相平分的四边形是平行四边形.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABCD的对角线AC、BD相交于点M，则M的坐标可以表示为，也可以表示为.若四边形ABCD为平行四边形，则且；若且，则四边形ABCD为平行四边形.方法技巧 在具体的应用中，一般是已知（或）中的三个，根据上述等量关系求出剩下的那一个，再代入相应解析式中，可求出其坐标.1. 如图，抛物线经过点，两点，与y轴交于点C. 点D是抛物线上一个动点

2、，设点D的横坐标为m（）. 连接AC，BC，DB，DC.（1）求抛物线的函数表达式；（2）当BCD的面积等于AOC的面积的时，求m的值；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形. 若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上. 点D是OA的中点，连结CD，过D作，且，以点D为顶点的抛物线刚好经过E点. P为射线CB上一点，过点P作于点F.（1）求E点坐标及抛物线的表达式；（2）若点P从C出发，

3、沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，则当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与COD相似？（3）点Q为抛物线上一点，当点Q在直线PF上，且满足以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标. 备用图二、抛物线与矩形1. 有一个角为90的平行四边形是矩形.2. 垂直的处理方式之一斜率关系.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直. 即. （其中，都有斜率）一般地，或、中一个为值为0另一个不存在.3. 垂直的处理方式之二构造“K型”相似.例 如图，抛物线的解析式为，点，BDAB交抛物线于D，求

4、点D的坐标. 构造与坐标轴平行的直线，得BNDAMB，即，设NDt，BN3t，则，代入即可求解.3. 已知，如图，抛物线（）的顶点为，经过抛物线上的两点，的直线交抛物线的对称轴于点C.（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；（2）在抛物线上A，M两点之间的部分（不包含A，M两点），是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）上下平移直线AB，设平移后的直线与抛物线交于，两点（在左边，在右边），且与y轴交于点，若，求n的值. 备用图4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于两点，（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个

5、交点为D，且. （1）直接写出点A的坐标，并求出直线l的函数表达式（其中用含a的式子表示）； （2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若ACE的面积的最大值为，求a的值； （3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由. （备用图）三、抛物线与菱形.1. 邻边相等的平行四边形是菱形.2. 两点间的距离公式.在平面直角坐标系xOy中，则.3. 直线与抛物线相交于两点A，B，则AB？例 已知抛物线的解析式为，直线的解析式为，设直线与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长度. （用含k的代数式表示）解：设，则，联立，消去y并

6、整理得，5. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，一条抛物线经过点、点，并与轴交于另一点，抛物线的对称轴与抛物线的交点为点.（1）求抛物线的解析式；（2）在线段上是否存在一点，过点作轴的垂线交抛物线于点Q，直线PQ将ABD的面积分为的两部分，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点E从点A出发，沿线段AB由A向B运动，同时点F从点C出发，沿线段CA由点C向A运动，E、F的运动速度都是每秒1个单位长度，当F点到达A点时，E、F同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点M，使E、F运动过程中的某一时刻，以A、E、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标

7、；若不存在，请说明理由. 备用图6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点.过点的直线交抛物线于两点，点在轴的右侧. （1）求的值及点的坐标； （2）当直线将四边形分为面积比为的两部分时，求直线的函数表达式； （3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形?若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由. （备用图）四、抛物线与正方形1. 邻边相等的矩形是正方形. 有一个角为直角的菱形是正方形. 邻边相等且有一个角为直角的平行四边形是正方形.2. 正方形（等腰直角三角形）最

8、高效的处理方式构造“K型”全等例 如图，已知抛物线的解析式为（其中），抛物线与x轴负半轴的交点为A，与y轴交点为C，过点C作AC的垂线交抛物线于点D，连接AD，当ACD为等腰直角三角形时，a_.解：如图，易得CNDAMC，CNAM3a，DNCM1，代入抛物线解析式，得，三次方程不要求会解.用计算器解得其实数根约为0. 828528.3. 已知点，MA绕点M顺时针旋转90得到MB，MA绕点M逆时针旋转90得到MC，求点B与点C的坐标；点A与点M的相对位置改变时，点B与点C的坐标形式不变；注意顺时针和逆时针的区别. 7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点，对称

9、轴与x轴交于点H.（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线（）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G逆时针旋转90，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由. 备用图8. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与x轴相交于A，B两点，顶点为，设点是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180，得到新的抛物线. （1）求抛物线C的函数表达式； （2）若抛物线与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围； （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线上的对应点为，设M是C上的动点，N是上的动点，试探究四边形能否成为