高等数学偏导数第七节方向导数题库精编

1、090701】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求Z22Xy,在点2，2沿单位圆X2y21外法线方向的方向导数。试题答案及评分标准】coscos、:22（4分）ZZ11xyz2、辽所以-2（10分）n22090702】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求Z3x2y在点1,1沿单位圆X2y22外法线方向的方向导数。试题答案及评分标准】coscos（4分）所吒5coscos（4分）所吒5迈T（10分）090703】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数zxln1y）在点1,沿曲线2x2竽1

2、切线（指向x增大方向）向量的方向导数。【试题答案及评分标准】4x24x2tan2y（1,1）12coscos1-v5寸5（4分）所以一Z所以一Zln1y）cosxcos1y（1,1）ln21）（10分）ln21）（10分）090704】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】ex【试题内容】求函数ex【试题内容】求函数z山丁在0,点沿曲线yex切线正向（指向x增大方向）的方向导数。【试题答案及评分标准】tanyex1x0 x0ztanyex1x0 x0zx(0.1)zy(0,1)coscos(4分)2y1y2(0,1)所以一z1222(i)寻oa22(10分)090705】【

3、计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数zX2lnarctay在1,1点沿a方向的方向导数，其中a为曲线yx2在1,点的切向量，方向为x增大的方向。【试题答案及评分标准】212tany1cos枣亍cos5(4分)z2x2上112x(1，D(1,1)yd,1)arctany1y2(1,1)z21222(2)所以aV5V5(10分)【090706】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数zyex在1,e点沿曲线yex切线正向（x增大方向）的方向导数。试题答案及评分标准】tanyexex1x11ecos,cosJ1e2(4分)Le

4、2zzexe1x(1，e)(1,e)y(1,e)z1e所以e10（10分）a1e21e2090707】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】设zcosx【试题内容】设zcosxy,l为曲线y1sir2x在x0处的切向量（指向z大方向），求（0,1）。【试题答案及评分标准】tany2cos2x2x0 x01tany2cos2x2x0 x012cos韦V5cos勇(4分)1zx(0,1)y(cosx)y(sinx)(0,1)zy(0,1)(cosx)yln(cox)(0,1)(10分)090708】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容

5、】求zarctaxy在点h1沿曲线2x2y23外法线方向的方向导数。试题答案及评分标准】切线斜率tany2x2(1,1)y(1，d1法线斜率tan221所以cos75sin(4分)zy1x(1,1)1(xy)2(1,1)2zx1y(1,1)1(xy)2(1,1)2z121131所以222J5(10分)090709】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数zX22y在口点沿a方向的方向导数，其中a为曲线00 x2y22x在1,1点的内法线向量【试题答案及评分标准】切线斜率tanx10(1,1)内法线向量n00,1cos0cos1(4分)(1,1)(1,1)2x

6、切线斜率tanx10(1,1)内法线向量n00,1cos0cos1(4分)(1,1)(1,1)2x2y(1,1)ln2|1(1,1)2ln2z所以一n【090710】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】2ln2(1)2ln2(10分)【试题内容】求函数z好sinx在点沿a方向的方向导数，其中a为曲线x2sint,ycos2t在七6处的切向量（指向七增大的方向）。试题答案及评分标准】tan2sir21tan2costcossin(4cossin(4分)COSX2Jysinx(12)(12)12pysinx(12)z所以一a（10分）2S21090711】【计算题】【较易0.

7、3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】xy2dt【试题内容】求函数z盯在点（1,-1）处沿a1,1方向的方向导数。1t4试题答案及评分标准】zy21X(1,1)1X4y8(1,1)2zzy21X(1,1)1X4y8(1,1)2z2xy1y(1,1)1X4y8(1,1)(5分)1cosz所以一a1(1)7213122(10分)【090712】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【090712】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数uarctanr,r*x2yz2在点（i,i,）处沿a向的方向导数。【试题答案及评分标准】1,0,1方101

8、coscosJ2cos72(3分)u1X1X(1,1,1)1r2r(1,1,1)4亞u1y1y(1,1,1)1r2r(1,1,1)4書u1z1(6分)z(1,1,1)1r2r(1,1,1)4罷u111a7200(10分)090713】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数usinr,r、X2yz2在点（l,2,-2处沿a1,11,方向的方向导数。【试题答案及评分标准】方向导数。【试题答案及评分标准】173coscoscosuX1cosrcos3X(1，2,2)r(1,2,2)3uy2cosrcos3y2,2)r(1,2,2)3(3分)cos33（6分）co

9、s33（6分）（10分）cosrz（1,2,2）r（1,2,2）cos33j3【090714】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数rJx2y2Z2在点M。叫叫匕）处沿M到坐标原点0方向M0O的方向导数。【试题答案及评分标准】MO0 x,0y0,z0 xyzcos0-coscos0-（3分）rrr000其中rJx2y2z2000rxryrz0-（7分）xM0rym0rzM0r000rx2y2z2所以一0-00-1（10分）ar20090715】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数uxyz在点（1,2,-）处沿a1,2

10、,2方向的方向导数。试题答案及评分标准】122cos3cos3cos3（3分）u1yzxyz1x（1,2,1）（1,2,1）2uxyzlnxzyz10y（1,2,1）（1,2,1）uxyzlnxyzlny0（7分）z（1,2,1）（1,2,1）u111所以a236（10分）090716】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数uy（x2z3）在点（2,1,1处沿该点向径方向的方向导数。试题答案及评分标准】yy(3,4,1)(X2y2)3/2(3,4,1)125r2,1,1，cos2cos1761cos(3分)v6u2xy4X(2,1,1)(2,1,1)u(X

11、2Z3)|5y(2,1,1)(2,1,1)u3yz23(6分)z(2,1,1)(2,1,1)u21116所以r45cv22uyzxlnzl0X(1,2,1)i(1,2,1)uzx1y(1,2,1)(1,2,1)uyXzX12(6分)z(1,2,1)(1,2,1)u321所以2(),(10分)a2242222090718】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】3,2,1方向的方向导数。3,2,1方向的方向导数。处沿a【试题内容】求函数U在点（处沿a；X2y232coscos714uxzX(3,4,1)(X2y2)3/2(3,4,1)uyz试题答案及评分标准】(3分)31254

12、u11(6分)z(3,4,1)Jx2y21(3,4,1)5u3343L(4)1251412521126所以a7145,(10分)12514090719】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】0,1,2方向的方向导数。【试题内容】求函数uzex2y2在点（0,1,2）处沿0,1,2方向的方向导数。试题答案及评分标准】所以cos0ux(0,1，2)uy(0,1,2)uz(0,1,2)(4e)cos2xzex2所以cos0ux(0,1，2)uy(0,1,2)uz(0,1,2)(4e)cos2xzex2y20(0,1,2)2yzex2y2(0,1,2)ex2y2(0,1,2)4e2

13、?5(3分)(6分)(10分)090720】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数uX2y2【试题内容】求函数uX2y2z2xy在点（i,i,2处沿a口，2方向的方向导数。试题答案及评分标准】1cosJ6cos1761cosJ6cos176cos276(3分)u(2xy)1x(1,1,2)(1,1,2)u(2yx)1y(1,1,2)(1,1,2)u2z4(6分)z(1,1,2)(1,1,2)u114210所以!fr(10分)a【090721】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数uexy在点P0（1,0,1）处沿樓方向

14、的方向导数，其中P的坐标为（2，1，1）。试题答案及评分标准】pP011,1,0,cos11COSJ2cos0（4分）Uyzexyz0 xP0PoUXZ&yz1ypoPouxyexyz0（7分）zpoPou1所以72（10分）【090722】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数uX2y22z2在点P0（l,1,1）处沿P0O方向的方向导数,其中0为坐标原点。【试题答案及评分标准】【试题内容】求函数Uxyz2【试题内容】求函数Uxyz2在点p0（1，2-1）处沿pp方向的方向导数，其中011,1,1,1p00coscoscosv3（3分）u2x2uQ2y2

15、xp0p0yp0p0up04zp04（6分）zu21118所以l73473（10分）090723】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】P1（2,1,3）试题答案及评分标准】pp011,3,4,cos1,cosJ26upp011,3,4,cos1,cosJ26uuyz22xp入0p0yp0u2xyz4zP0P03,cos26XZ21P04厨（3分）（6分）u所以一l2亠u所以一l2亠1726V26（4）咅17726(10分)ar【试题内容】求函数u市在点090724ar【试题内容】求函数u市在点z3平行P0（1，2，2）处沿rz3平行rx,y,z,a为常向量，r0OP。【试

16、题答案及评分标准】axayazaa,a,a,uyzxyzJx2y2z2122r0COS,cos,cos,(4分)333uay2aZ2axyaxz8a2a2axxyzxyzxP0(X2y2Z2)3/2P027uax2az2yyaxyaxzyz5ay2ax4azyP0(X2y2Z2)3/2P027ua(y2x2)zaxzaxyyz5az2ax4ayzP0(X2y2Z2)3/2p27u所以8a2a2a)2(5a2a4a)r081xyzyxz2(5a2a4a)0(10分)zxy【090725】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】x1【试题内容】求函数uxy3yzzx在点（1,2,

17、0）处沿与直线一方向的方向导数。【试题答案及评分标准】213a2,1,3,cos亍0S,cos14应（4分）u(yz)2上(x3z)|1x(1,2,0)1(1,2,0)y(1,2,0)1(1,2,0)u(3yx)5z(1,2,0)(1,2,0)u213所以a2TH1J145=1418(10分)18090726】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】1法线方向的【试题内容】求函数uX2lny3z）在点（1,2,2）处沿平面1法线方向的方向导数。n5,1,1,cos537,cos11巨7,cos37(4分)uX(1,2,2)2xln(y3礼2,2)2ln8uyn5,1,1,co

18、s537,cos11巨7,cos37(4分)uX(1,2,2)2xln(y3礼2,2)2ln8uy(1,2,2)X2y3z(1,2,2)u3x23z(1,2,2)y3z(1,2,2)8u51131所以n2ln87278v;278?27去a。讪2）（10分）090727】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数UX2xy8xz在点（0,1,1）处沿平面3x5y4z1法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】n3,5,4,cos,cos521,cosv24意（4分）u(2xy8)7ux0 x(0,1,1)(0,1,1)y(0,1,1)(0,1,1)u1z(0,1

19、,1)u31417所以n07215罷(10分)090728】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】y【试题内容】求函数uzarctan在点(1,1,2)处沿平面3x2yz3法线方x向的方向导数。【试题答案及评分标准】n3,2,1n3,2,1,cos321,cos14,cos14(5)u所以n2u所以n2(2)1占1.14(10)uy1uX1X(1,1,2)X2y2(1,1,2)2y(1,1,2)X2y2(1,1,2)2uz(1,1,2)090729】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数zlnX2y2)在点M0(x0,y0)沿过该点的等

20、值线的外法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】等值线方程为x等值线方程为x2y2x0y；,外法线向量n宅阳。，所以Xy(5分)cos01,cos0J1VX20y20存2L0y20z2X2y2(10分)0cos0cosnX20y02X2y200X2y2、00【试题内容】求函数zex2y2【试题内容】求函数zex2y2在点M0(X0,y0)沿过该点的等值线外法线方向的方向导数。试题答案及评分标准】等值线方程为X2x20y02cosx0i等值线方程为X2x20y02cosx0iX2y2r00cosy0:y20(5分)ex02y022x0 x0I,;X2y200ex02y022y0y0;X2y20

21、02eX2eX02*y2(10分)090731】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】x2y2x2【试题内容】求函数z-孑在点（2,3）沿曲线巨2切线方向（指向x增大方向）与外法线方向的方向导数【试题答案及评分标准】2x2yy49090731】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】x2y2x2【试题内容】求函数z-孑在点（2,3）沿曲线巨2切线方向（指向x增大方向）与外法线方向的方向导数【试题答案及评分标准】2x2yy49(2,3)切向量a2,3cos1sin113法向量n3,2cos213sin(5分)2yx(2,3)2(2,3)(2,3)9(2,3)

22、z所以一av/13z313(10分)090732】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数ZX【试题内容】求函数ZX22y2在点（2,1）沿曲线x22y26外法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】法向量nx,2y2,2(2,1)coscos2(5)2xcos04ycos4、.：20(10)n090733】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数uxy2z3在点（1,1,1）处方向导数的最大值与最小值。试题答案及评分标准】(1,1,1)Uy2z3cos2xyz3cos3xy2z2cos(1,1,1)(4分)cos2cos

23、(4分)1,2,3l0cos,cos,cos则lgl0|g|cos，其中为g与10的夹角。当10吝123时:取最大值回田；当10当10+123时+取最小值lglvl4o（10分）090734】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数Uxyz在点（1,-2,2）处方向导数的最大值与最小值。【试题内容】求函数uzX22y【试题内容】求函数uzX22y2在点（1，2，1）处沿与直线3xz5xy4z2平行试题答案及评分标准】uIyzcosxzcosxyeos（1,2,2）4cos2cos2eos（4分）设g4,2,210eos,eos,eosu则rg10geos，其

24、中为g与10的夹角。所以当1012V6，11时，-彳取最大值，|g|2心6；当1012L611时，-+取最小值|g|2再。（10分）6090735】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】的向量a方向的方向导数【试题答案及评分标准】a18,3coscos83coscos83而cos而（5分）2x(1,2,1)(1,2,1)(1,2,1)4y(1,2,1)(1,2,1)(1,2,1)(2)(69丄)8皂1丄叮7474,74*74（10分）090736】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数UX23y2z【试题内容】求函数UX23y2z2在点

25、（1，0，x1）处沿与直线yy1z1平行的向量a方向的方向导数。【试题答案及评分标准】11,1coscoscos(5分)2coscoscoscos(5分)2cos3cos4cos(10分)090737】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数zx2【试题内容】求函数zx2y2在点p0（3,33）处沿曲线4(1cos）在点p0处切线方向的的方向导数。【试题答案及评分标准】tancosdy4sin(1cos)cosdx(3,3*3)4sincos(1tancosdy4sin(1cos)cosdx(3,3*3)4sincos(1cos)(sin)1cos03(5分

26、)X(3,3*3)2x-6(3,33)y(3,3V，3)2y6翻(333)(10分)(10分)l090738】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数zxy在点（1,）处沿曲线2cos在该点处切线方向的方向导数。试题答案及评分标准】dy八tan0dx(1，Dcos1cos0(5分)z1l(10分)【090739】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求由X3y3Z33xyz20确定的隐函数在点（1,1,1）处沿x轴反向的方向导数【试题答案及评分标准】zX2yz0（5分）xd，1，1)z2xyd,1,1)zz0（10分）lx(1

27、,1,1)090740】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求由x3y3z33axyz0确定的隐函数zz（x,y）在点（0,4）处沿a7,9方向的方向导数。【试题答案及评分标准】解：当x=0,y=-4,得z=4（2分）zX2ayzax(0,4)z2axy(0.4)z(0,4)y2axz1（6分）yz2axy(0.4)7cos,cosJ1309v130z7a9a.v/130【090741】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求由ezxyze确定的隐函数zz（x,y）在点（0,1）处沿a3,5方向的方向导数。【试题答案及评分标准】

28、解：当x00,y01时,z01（2分）021021(0.1)yzezxy(0.1)(0.1)xz(0.1)yzezxy(0.1)(0.1)xzezxy(0.1)6分）cos3cossin占43（10分）090742】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】试题内容】求由z33xyza3（a0）确定的隐函数zz（x,y）在点（试题内容】求由z33xyza3试题答案及评分标准】解：0,y0时，z02分）(0.0)yzZ2xy(0.0)xz(0.0)Z2xy(0.0)8分）上0a090743解：0,y0时，z02分）(0.0)yzZ2xy(0.0)xz(0.0)Z2xy(0.0)8

29、分）上0a090743】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】10分）Yxey2t20试题答案及评分标准】【试题内容】求函数zdt在点（0,0）处沿al，2方向的方向导数。ey2ex2cos(0,0)(0,0)(2yey21(0,0)xet2dt)0(0,0)6分）sin1答：（10分）5090744】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】函数Zxy2在点（1,2）沿a1,方向的方向导数是10分10分【试题答案及评分标准】丐2090745】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】函数Zxsiny在点（2,空）沿a

30、2,1方向的方向导数是【试题答案及评分标准】上斗10【试题答案及评分标准】上斗10分090746】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】函数zlnx专）在点（1,3）沿a1,1方向的方向导数是10分10分【试题答案及评分标准】：52090747】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】函数f（x,y）xy汐2y2在点（3,4）沿a4,3方向的方向导数是。10分10分【试题答案及评分标准】-5090748】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】函数zxy在点（1,2）沿a1,方向的方向导数是一一。【试题答案及评分标准】*210分090749】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】xey【试题内容】函数z在点（2,1）沿a1,2方向的方向导数是一一。y23e【试题答案及评分标准】韦10分090750】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】函数zlnxlny）在点（e,