离散数学 教案 集合论-基本概念部分(2)课件

1、第三章 集 合 3.3 集合的基本运算律 1交换律：AB=BA，AB=BA结合律：(AB)C=A(BC) (AB) C=A(B C) 分配律：A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)等幂律：AA=A，AA=A 同一律：A=A，AU=A 零一律：A=，AU=U 2补余律：AA=，AA=U 吸收律：A(AB)=A A(AB)=A 德.摩根律：(AB)=AB (AB)=AB 双重否定律：(A)=A A-B=AB 以上定律均可用集合相等的定义或已知运算律相互来证明。3证明（德摩根律）：（AB）=ABx (AB) xAB xAxB xAxB xAB (AB)AB(2) xAB xAxB

2、 xAxB xAB x (AB) AB (AB) 由(1)(2)得: (AB)= AB 4证明吸收律：A(AB)=A证明：A(AB) =(A)(AB)（同一律） =A(B) （分配律） =A （零一律） =A （同一律）5例2. 已知AB=AC，AB=AC，求证B=C证明：B=B(AB) (吸收律) =B(AC) (已知代入) =(BA)(BC) (分配律) =(AC)(BC) (已知代入) =(AB)C (分配律) =(AC)C (已知代入) = C (吸收律) 证毕。7例3. 求证：(AB)C=A(BC)的充要条件是 CA。证明：(充分性) CA AC=A (AB)C=(AC)(BC) (

3、分配律) =A(BC) (已知代入)(必要性) xC x(AB)C (AB)C=A(BC)xA(BC) xA CA。 8关于对称差的一些性质: 交换律：AB=BA A B=B A结合律：(AB)C=A(BC) (AB)C=A (BC)对的分配律：A(BC)=(AB)(AC)对的分配律： A(B C)=(AB) (AC) 同一律： A=A 零律： AA= A A=UA(AB)=B （A(AB)=(AA)B=B=B ）10关于幂运算，具有以下性质： AB (A) (B) (A) (B) (AB) (AB)= (A) (B) （留作习题）11第三章 集 合 3.4 有限集合的计数 12性质4推广：A

4、BC=A+B+C-AB-AC-BC+ABC 一般地成立以下公式：14上述公式也可表示为：15例 求1到500之间能被2，3，7任一数整除的整数个数。解：设1到500间分别能被2，3，7整除的整数集合为A，B，C，则有：A=500/2=250； B=500/3=166；C=500/7=75；AB=500/(2*3)=83；AC=500/(2*7)=35; BC=500/(3*7=23；ABC =500/(2*3*7)=11ABC=A+B+C-AB-BC-AC+ABC=250+166+71-83-35=23+11=357 17例 某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和

5、排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球，而6个会打网球的人都会打另外一种球(指篮球或排球)，求不会打这三种球的人数。解 设会打排球、网球、篮球的学生集合分别为A，B和C，则有 |S|=25； |A|=12； |B|=6； |C|=14； |AC|=6； |BC|=5； |ABC|=2； 现在求|A B|:18因为会打网球的人都会打另一种，即篮球或排球，而其中会打篮球的有5人，那么另一个人肯定会打排球但不会打篮球。再加上会打三种球的2人，共有3人会打排球和网球。即|A B|=3。于是，有：19第三章 集 合 3.5 集合的笛卡尔乘积 20一、二重组（序偶）定义 由两个元素x和y(允许x=

6、y)按一定的顺序排列成的二元组叫做一个二重组(也称序偶)，记作。其中是x称为二重组的第一个分量，y是它的第二个分量。平面直角坐标系中点的坐标就是二重组。 例如：， 都代表坐标系中不同的点。 21一般说来二重组具有以下特点： 1. 二重组中的元素是有次序的。当xy时，。2. 两个二重组相等，即=的充分必要条件是x=u且y=v。22例如： 空间直角坐标系中点的坐标都是有序3重组。 n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n重组。24二、笛卡尔乘积（叉积）定义 设A，B为集合，所有以A中元素为第一元素，B中元素为第二元素所构成二重组为元素的集合叫做集合A和B的笛卡儿乘积（叉积）。记作AB 。表示为 ：例如， ， 则，不难证明，如果A中有m个元素，B中有n个元素，则AB和BA中都有mn个元素。 25显然：(AB)C A(BC)，这条性质说明笛卡儿积运算不满足结合律。 4. 笛卡儿积运算对或运算满足分配律，即 27证明： 设 是A(BC)的任一元素，那么所以，28例1 设A=1，2，求(A) A解 (A) A例2 设A，B，C，D为任意集合，判断以下等式是否成立，说明为什么？（1）（2） 29解：(1)成立。因为对任一，如果 30解：(2)不成立。举一反例如下： 若B=C=，则有 31三、n阶笛卡儿乘积 定义 设A1，A2，An是集合(n2)，它们的n阶笛卡儿积记作A1A2A