2020-2021学年江西省新余一中、宜春一中高二联考 数学试题（含解析）

1、试卷第 =page 2 2页，总 =sectionpages 4 4页第 第 页2020-2021学年江西省新余一中、宜春一中高二联考数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】先解不等式得，再根据集合交集运算即可得答案.【详解】解：解不等式得，所以，故.故选：B.【点睛】本题考查集合交集运算，一元二次不等式求解，是基础题.2 i是虚数单位，若abi(a，bR)，则lg(ab)的值是（ ）A2B1C0D【答案】C【解析】根据复数的除法运算以及复数相等求出，由对数的运算即可求解.【详解】因为abi，所以，所以lg(ab)lg 10.故选：C.【点睛】本题考查了复数的除法运算以

2、及复数相等，属于基础题.3对于大于或等于2的正整数幂运算有如下分解方式：，根据以上规律，若，的分解式中的最小正整数为21，则（ ）A9B10C11D12【答案】C【解析】分析：根据m2=1+3+5+11，p3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、p，即可求得m+p的值详解：m2=1+3+5+11=6=36，m=6，23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，p3的分解中最小的数是21，p3=53，p=5m+p=6+5=11 故答案为11，选C.点睛：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、p的值是解题的关键4方程表

3、示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）A3m0B3m2C3m4D1m3【答案】A【解析】由题意知，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选A.5如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为ABCD【答案】C【解析】试题分析：由三角形面积为，所以阴影部分面积为，所求概率为【考点】定积分及几何概型概率6已知函数的图象在点处的切线与直线平行,若数列的前项和为,则的值为( )ABCD【答案】D【解析】由已知得,函数的图象在点处的切线的斜率为，故,所以，此时直线与直线不重合, 满足题意,则,所以，所以，故选D.7如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点

4、，是的中点，则直线，的位置关系是（ ）A平行B相交C异面垂直D异面不垂直【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，写出与的坐标，即可判断位置关系.【详解】建立空间直角坐标系，如图所示.设正方体的棱长为2，则，.，直线，的位置关系是异面垂直. 故选: C【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明直线与直线之间的位置关系，属于基础题.8在中，以为焦点，经过点的椭圆与双曲线的离心率分别为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】分别设椭圆与双曲线的标准方程为，设焦距为，分析得到，化简即得解.【详解】分别设椭圆与双曲线的标准方程为，设焦距为，则，.点在椭圆上，即.又点在双曲线上，即，得，则.故选：A【点睛】本题主要

5、考查椭圆和双曲线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9在等比数列中， ，则能使不等式成立的最大正整数是（ ）A5B6C7D8【答案】C【解析】在等比数列中， 根据，时， ；时， ，再结合求解.【详解】在等比数列中， ，公比，时， ；时， .，又当时， ，使不等式成立的的最大值为.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及数列与不等式，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.10已知定义在上的函数满足恒成立（其中为函数的导函数），对于任意实数，下列不等式一定正确的是（ ）ABCD【答案】D【解析】 由题意，定义在上的函数满足恒成立，即设函数，则，所以函数为单调递增函数，不

6、妨设，则，且，即，故选D 点睛：本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中根据条件构造新函数，求得新函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解答本题关键，着重考查了导数四则运算的逆用和分析问题、解答问题的能力，试题综合性较强，难度较大11已知点，曲线，直线）与曲线交于，两点，若周长的最小值为，则的值为（）ABCD【答案】B【解析】曲线是由两抛物线和构成，设与轴交点为，抛物线的焦点为，则由对称性可知的周长为，当三点共线时取最小值，由此能求出的值【详解】解：由题意得曲线是由两抛物线和构成， 设与轴交点为，抛物线的焦点为，则由对称性可知的周长为当三点共线时取最小值， ，解得 故选B【点睛】

7、本题考查利用抛物线定义对折线段和最值求解的转化，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是中档题12已知函数在处的导数相等，则不等式恒成立时的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题得.由函数在，处的导数相等，得，由恒成立，得恒成立，然后构造函数，利用导数求函数的最小值即可【详解】由题得.由函数在，处的导数相等，得.恒成立，恒成立.令，则.当时，；当时，.在上单调递减，在上单调递增，.故选：C.【点睛】此题考查不等式恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，属于中档题二、填空题13已知直线与抛物线相切，则【答案】【解析】设出切点坐标，对求导，利用切点在抛物线上，切点在切线上

8、，导数的几何意义列方程求的值.【详解】解：直线与抛物线相切，切点为由已知，则有，解得.故答案为：14记Sn为等差数列an的前n项和，则_.【答案】4.【解析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.【详解】因，所以，即，所以【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算渗透了数学运算素养使用转化思想得出答案15已知三棱锥的各顶点均在一个半径为的球面上，球心在上， 平面，则三棱锥与球的体积之比为_.【答案】【解析】先确定，可得的面积，从而可求三棱锥的体积，计算球的体积，即可得出结论.【详解】如图:因为球心在上，所以，所以 ，因为平面，所以.而 ，因此.故答案为：【点睛】本题主

9、要考查了三棱锥、球的体积计算公式，属于中档题.16已知函数，给出以下命题:若函数不存在单调递减区间，则实数b的取值范围是;过点且与曲线相切的直线有三条;方程的所有实数的和为16.其中真命题的序号是_.【答案】【解析】求出函数导数，由题意可知无解，根据二次函数的性质可得的范围，即可判断是否正确； 设出切点，根据斜率可得，再将代入，解方程求得切点的横坐标，即可判断是否正确； 由对称性可知，函数与的图象都关于点成中心对称，作出函数与函数的图像，再由图象观察它们共有4个交点，根据对称性，即可求出它们的横坐标值和，即可判断是否正确【详解】因为，所以，若函数不存在单调递减区间，所以无解则，解得，所以错误;

10、设过点的直线与曲线相切于点，则有()，又点在曲线上，所以，将代入()，得，解得或或，所以过点且与曲线相切的直线有三条，正确;又所以的图象关于点成中心对称，且函数的图象也关于点成中心对称，又函数的导数为，令解得或，所以递增区间为和；令可得，所以递减区间为 即时取得极大值，时取得极小值，作出函数与函数的图像，由图象可得的图象与的图像友4个交点，它们关于对称，则它们的横坐标和为，故错误.综上所述，真命题的序号为.故答案为：.【点睛】本题考查三次函数的图象的运用，考查函数的导数的运用：求切线方程和单调区间以及极值，考查函数的对称性以及运用，考查运算能力，属于中档题和易错题三、解答题17已知函数.（1）

11、当时，解不等式；（2）若的解集为 ，求证: .【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）分三类情况讨论即可得答案；（2）由得，再根据题意得，最后用基本不等式求解即可.【详解】（1）当时，不等式为，或或，不等式的解集为.（2），即，解得，而的解集是，解得，所以，.当且仅当时等号成立.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式，利用基本不等式证明不等式，是中档题.18已知的内角、的对边分别为、，满足.有三个条件：；.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先求出角，进而可得出，则中有且只有一

12、个正确，正确，然后分正确和正确两种情况讨论，结合三角形的面积公式和余弦定理可求得的值；（2）计算出和，计算出，可得出，进而可求得的面积.【详解】（1）因为，所以，得，为钝角，与矛盾，故中仅有一个正确，正确.显然，得.当正确时，由，得（无解）；当正确时，由于，得；（2）如图，因为，则，则，.【点睛】本题考查解三角形综合应用，涉及三角形面积公式和余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.19随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200

13、名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：分组频数（单位：名）使用“余额宝”使用“财富通”使用“京东小金库”80使用其他理财产品120合计1200已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多200名.（1）求频数分布表中的值；（2）已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为，“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为，求的分布列及数学期望.注：平均

14、年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.【答案】（1）；（2）分布列见解析，660元.【解析】（1）由题意可得，从而可求出的值；（2）由题意可得所有可能的取值为500（元），700（元），900（元），然后分别求出其对应的概率，即可列出其分布列，求出其数学期望【详解】（1）据题意，得，所以. （2）据，得这被抽取的5人中使用“余额宝”的有3人，使用“财富通”的有2人.10000元使用“余额宝”的利息为（元）.10000元使用“财富通”的利息为（元）.所有可能的取值为500（元），700（元），900（元）.，.所以的分

15、布列为：500700900（元）.【点睛】此题考查频数分布表，考查分层抽样，考查离散型随机变量的分布列，属于中档题20如图，在四棱锥中，、分别为棱、的中点，.（1）证明：平面平面；（2）若二面角的大小为45，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明，得到答案.（2）以与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，面的法向量记为，面的法向量为，根据夹角得到，平面的法向量，计算得到答案.【详解】（1）因为点为的中点，所以四边形为平行四边形，即.因为、分别为棱、的中点，.，所以平面平面.（2）如图所示因为，与为相交直线，所以平面，不妨设，则.以与

16、垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，从而，面的法向量记为，则，可得，令，则，又面的法向量为，二面角的大小为45.，解得，所以，所以，设平面的法向量为，则，可得：.令，则，.所以.设直线与平面所成角为，则.【点睛】本题考查了面面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在斜率为的直线与椭圆相交于,两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析【解析】（1）根据椭圆定义求出，即可求出椭圆的标准方程；（2）假设满足条件的直线存在，与椭圆方程联立，求出直线满足的条件，根据已知条件在线段的垂直平分线上，结合直线的斜率公式，推导出直线不存在.【详解】（1）因为椭圆的左右焦点分别为，所以.由椭圆定义可得,解得,所以所以椭圆的标准方程为（2）假设存在满足条件的直线，设直线的方程为，由得，即，解得设，则,由于，设线段的中点为，则，所以又，所以，解得.当时，不满足.所以不存在满足条件的直线.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力.