医药高等数学第五章课件

1、第五章积分学不定积分定积分定积分 2022/9/141第一节一、定积分问题的由来二、定积分的定义定积分的概念 2022/9/1421. 曲边梯形的面积曲边梯形是以及两直线所围成的图形.求其面积 A .和连续曲线由坐标轴轴一、定积分问题的由来abxy0或者，看成由曲线段与其到 x 轴的投影所围成的图形.2022/9/1432022/9/1441) 分割.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点用直线曲边梯形分成 n 个小曲边梯形.2) 近似.在第i 个小曲边梯形上,作以为底 ,为高的小矩形,得解决步骤 :任取将大的每个小曲边梯形的面积记作每个小曲边梯形的面积,可用小矩形面积近似.得每个小区

2、间 长度记作2022/9/1454) 精确.令当每个都很小时，精确值3) 求和.近似值（大曲边梯形的近似值）2022/9/146设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤:1) 分割.将它分成在每一个小段上物体2) 近似.得每小段位移的近似值已知速度n 个小段经过的路程为中任意加在个分点，2. 变速直线运动的路程物体在每一小段 上近似认为是匀速运动用 近似作为每小段的速度，任取2022/9/1473) 求和.4) 精确 .令当时，取极限2022/9/148曲边梯形的面积 变速运动的路程 解决问题的方法步骤相同 :“分割 , 近似 , 求和 , 精确 ” 所求量极限结构式

3、相同: 特殊乘积和式的极限2022/9/149二、定积分的定义 ( P-89 )用分点任取称此极限值为在区间上的定积分,即此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .记作设函数在上连续，将任意分成n个小区间，令小区间长在每个小区间上作和式的极限存在, 则 上述和式只要时 , 2022/9/1410积分上限积分下限被积函数积分变量积分和 定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,与如何分割与积分变量用什么字母也无关 .即 定积分是极限值 .被积表达式区间 和的选取无关. 是惟一确定，有限的数值.2022/9/1411定积分的几何意义:定积分等于曲边梯形面积定积分等于曲边梯形面积的负值各曲边梯形面

4、积的代数和若若2022/9/1412曲线段和其到 x 轴的投影所围成的图形.曲边梯形：曲边梯形的面积：xy0ab2022/9/1413xy0ab2022/9/1414例1. 计算定积分解:将 0,1 n 等分, 取分点为2022/9/1415第二节定积分的性质 2022/9/1416定积分的性质(设所列定积分都存在)( k 为常数)2022/9/1417( K 为常数)2022/9/14184. 定积分的区间可加性区间 a , b 任意位置加一个分点c ，都有ababccabc2022/9/1419比如，加两个分点 c，d推广区间 a , b 任意位置加多个个分点，有类似的结论ab2022/9

5、/1420推论则(2) 在对称区间 上 连续且为奇函数，(1) 在对称区间 上 连续且为偶函数，则2022/9/14215. 若在 a , b 上则 6. 设则或2022/9/1422则至少存在使得7. 积分中值定理上连续，若函数在闭区间一点2022/9/1423证明:由性质6 可知因此定理得证.由介值定理,则至少上连续，因为函数在闭区间由最值定理，可知 在 上存在最大值 M 和最小值 m .设区间不妨设.也上连续，因为函数在使得上两点使存在一点一个数2022/9/1424说明: 可把故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理对因2022/9/1425一、积分上限函数二、牛顿 莱布尼兹公

6、式 第三节定积分的计算三、定积分的换元积分和分部积分 2022/9/1426问题： 变速运动中, 求物体在内经过的位移？若知道位移关于时间的函数则若知道速度关于时间的函数则故这里？上述结论能否推广到一般的函数？其中2022/9/1427一、积分上限函数1. 积分上限函数的定义定积分的值 随着 积分上限 的变化而变化（取定 被积函数和积分下限） 积分上限函数2022/9/1428证:有若函数在上连续，即积分中值定理设的积分上限函数为则2. 积分上限函数的导数2022/9/1429证:积分上限函数故因此得记作定理1.则若得即二、牛顿莱布尼茨公式2022/9/1430例2. 计算解:例3. 计算正弦

7、曲线的面积 . 解:2022/9/1431三、定积分的换元法和分部积分法 1、定积分的换元法 是单调可导函数 , 且具有原函数 ,则有换元公式定理 . 设2022/9/14322、定积分的分部积分法 定理. 设在上有连续的导数， 则2022/9/1433例4. 计算解: 令则原式 =2022/9/1434例5. 计算解:原式 =2022/9/1435变限积分的求导2022/9/1436假设有原函数数字，导数为0数字，导数为0数字，导数为02022/9/1437假设有原函数2022/9/1438解:原式例4. 求2022/9/1439第四节定积分的应用一 、微元法二 、定积分在几何上的应用三 、

8、定积分在物理上的应用2022/9/1440分割, 近似, 求和, 精确定积分定义2022/9/1441第一步 利用“分割,近似” 求出微小量的近似值第二步 利用“求和,精确” 求出整体量的精确值这种分析方法成为微元法 (或元素分析法)元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片等一、微元法先取微元在微元上得要计算2022/9/1442（1） 直角坐标系情形设曲线与直线及 x 轴所则围曲边梯形面积为 A，求 A二、定积分在几何上的应用1、平面图形的面积先取微元解：得2022/9/1443取微元取微元D左右型上下型y0 xabDdcyx02022/9/1444在第一象限所围图形的面积

9、. 解: 由解得两个交点取微元例1. 计算两条抛物线视为上下型2022/9/1445也可视为左右型取微元2022/9/1446例2. 计算抛物线与直线解: 由解得交点所围图形的面积 . 取微元左右型2022/9/1447若 视为上下型2022/9/1448xy02022/9/1449例3. 求椭圆解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有当 a = b 时得圆面积公式2022/9/1450求由曲线和围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取微元则所求曲边扇形的面积为极坐标下曲线方程在连续.0（2） 极坐标系情形2022/9/1451极坐标系Ar0yxxy点 A直角坐标系2022/9/1452对应

10、从 0 变例4. 计算阿基米德螺线解:到 2 所围图形面积 . 2022/9/14532、旋转体的体积 不封闭曲线段 绕坐标轴 旋转而成的图形的体积. 封闭图形 绕坐标轴 旋转而成的图形的体积. 2022/9/1454旋转一周围成的立体图形.它的体积为V.当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,则旋转体是由连续曲线段则取薄片视为圆柱体绕 x 轴（1）不封闭曲线段 旋转2022/9/1455所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解: 椭球看成由曲线段则绕 x 轴旋转而成例5. 计算由椭圆（偶函数，由对称性） 2022/9/1456特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体

11、的体积绕 y 轴旋转而成的椭球体的体积. 绕 x 轴旋转而成的椭球体的体积. 2022/9/1457绕坐标轴（x 、y 轴)上半圆为下半圆为旋转而成的立体图形的体积 V.例6.试求圆绕 x 轴：绕 y 轴：（2）封闭图形 旋转2022/9/14582022/9/1459设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 .在微元上所作的功为因此变力F(x) 在区间 上所作的功为三、定积分在物理上的应用1、 变力沿直线所作的功没有坐标系的先做坐标系取微元解：2022/9/1460求物体由s=0 到 s=L 时克服阻力所做的功 . 解:为a，若介质的

12、阻力与速度的平方成正比，比例系数为k, 一个物体由静止开始做匀加速直线运动，加速度例7.2022/9/1461装满的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图.取微元微元表示的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功为故所求功为设水的密度为一圆锥形容器高为2 m, 底半径为3m, 问：要把容器中例8.对微元作功时，移动距离一定可求微元视为圆柱体2022/9/1462将该容器倒置时，将其装满的水全部吸出需作多少功 ?与上题一样吗？为什么？ 2022/9/1463面积为 A 的平板设液体密度为 深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时,所受压力问题就需用积分解决 .平板

13、一侧所受的压力为2、液体的静压力02022/9/1464微元视为矩形微元上各点的压强相同 的液体 , 求桶的一个底面所受到的静压力. 解: 建立坐标系如图.由底面所在半圆的方程微元上受到的 静压力为底面所受的静压力为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 取微元得则例9.2022/9/1465二、无界函数的广义积分第五节一、无限区间上的广义积分广义积分和函数三、函数2022/9/1466常义积分积分区间有限被积函数有界推广广义积分（反常积分）2022/9/1467存在 ,记作这时称广义积分收敛 ;若该极限不存在,就称广义积分发散或不存在 .如果极限则称此极限为函数f (x) 在无限区间

14、上的广义积分, 一、无限区间上的广义积分上连续，在无限区间定义1. 设函数上在无限区间1. 连续函数2022/9/1468则定义上连续，在区间若函数( c 为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 , 就称发散 .上连续，在区间若函数则定义上在无限区间2. 连续函数上在无限区间3. 连续函数2022/9/1469例1. 计算广义积分解:思考: 发散 原式=2022/9/1470二、无界函数的广义积分存在 ,这时称广义积分收敛 ;如果该极限不存在,就称广义积分发散 .若极限为无界函数 f (x) 在 a , b 上的广义积分, 记作则称此极限定义2. 设函数上连续，在区间无界点 b 常称为瑕点.

15、上，在右端点 b 处无界1. 闭区间2022/9/1471则定义若函数上连续，在区间点 a 为瑕点.上，在左端点 a 处无界2. 闭区间点 c ( )为瑕点上，3. 闭区间只要有一个极限不存在 , 就称发散 .2022/9/1472例2. 计算广义积分解: 显然瑕点为 a , 所以原式2022/9/1473下述解法是否正确: , 积分收敛例3. 讨论广义积分的收敛性 . 解:所以广义积分发散 .其中（x = 0 为瑕点）2022/9/1474三、 函数欧拉函数（P-170 例13）2022/9/1475作 业 (P-108)5(2)6(2)(3)7(11)(12)10(2)11(1)(3)(7

16、)12(2)13(3)(4)161819202123(3)(7)2022/9/1476牛顿(1642 1727)伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版).他还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .2022/9/1477莱布尼兹(1646 1716)德国数学家, 哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人 , 他在学艺杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 ,