初二数学秋季讲义 第12讲.函数初步 教师版

1、知识互联网 知识互联网题型一：常量、变量、函数题型一：常量、变量、函数思路导航思路导航定 义示 例 剖 析常量、变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终保持不变的量称为常量.函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说其中是自变量，是因变量，是的函数如果当时，那么叫做当自变量的值为时的函数值.表示函数关系的式子叫做函数解析式.圆的面积与半径之间存在相应的关系：，是常量，随着的变化而变化，是自变量，是因变量，是的函数，当时，函数值；当时，函数值，这里等式为函数解析式总结示 例 剖 析函数自变量的取值范围，初中

2、阶段主要包括： 整式：一般为全体实数 根式：根指数为偶数时被开方数为非负数 分式: 分母不为零 实际问题：符合实际意义函数、自变量取值范围分别为：全体实数、例题精讲例题精讲判断下列所指的量之间是否是函数关系，若是，请写出函数关系式，并指出其中的自变量. 三角形的面积S与长为5的边上的高h之间. 某人坐公交车从甲站去往乙站，已知全程中各站票价均为0.4元，票价y元与经过的车站数x之间. 下图分别给出了变量与之间的对应关系，是的函数的图象是（ ）（人大附中期中） 是，自变量为高h. 是，自变量为车站数x. C，对于x的每个值，y都有唯一确定的值与之对应，由x与y之间的一对一的关系即可判断.本道例题

3、旨在加强学生对函数定义的理解.判断下列式子中是否是的函数，若是，请指出自变量的取值范围: ； ； ； ； ； ； ； . 不是，其余均是.其中： 为全体实数； ； 全体实数 ； ； 且； 全体实数.典题精练典题精练 三角形的周长是，三边长分别为，则以为自变量表示的函数关系式为_，自变量的取值范围是 . = 2 * GB2 矩形周长为30，则面积与一条边长之间的函数关系式为_，其中的取值范围是_. = 3 * GB2 一个小球由静止开始从一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2米，则小球的速度随时间变化的函数关系式为_；第秒时小球的速度为_. = 4 * GB2 某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户

4、按如下标准收费：若每月每户用水不超过立方米，按每立方米元收费；若超过立方米，则超过部分每立方米按元收费，某户居民五月份交水费（元）与用水量（立方米）（）之间的关系式为 ，若该月交水费元，则这个月的实际用水 立方米 ，； = 2 * GB2 ，. = 3 * GB2 ，5米/秒. = 4 * GB2 ,.题型二题型二：函数的图象思路导航思路导航函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.画函数图象的步骤：列表描点连线（平滑的曲线）函数解析式与其图象的关系： 满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函

5、数图象上； 函数图像上点的坐标满足函数解析式例题精讲例题精讲在同一平面直角坐标系中描点画出函数；的图象，并解决以下问题： 判断下列哪些点分别在函数的图象上：；. 观察两个函数的图象，当时，函数和函数中，是随着的增大而增大，还是随着的增大而减小？当时呢？ 列表略，图象如下，注意强调几点：自变量在定义域内取值；连线时按照横坐标由小到大的顺序用平滑曲线连接；由定义域判断图象是否有端点. 点A、B、E均不在两个图象上，点在上，点在上，点在和上； 当时，函数中，均随着的增大而增大，当时，函数中随的增大而增大，函数中随的增大而减小.典题精练典题精练某兴趣小组做实验，将一个装满水的啤酒瓶倒置（如图），并设法

6、使瓶里的水从瓶中匀速流出那么该倒置啤酒瓶内水面高度h随水流出的时间t变化的图象大致是（）（海淀期末练习）小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”.如果用纵轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ） A B C D水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水量与时间的关系如图1所示，出水口的出水量与时间关系如图2所示，某天0点到6点该水池的蓄水量与时间关系如图3所示，下列论断：0点到1点，打开2个进水口，关闭出水口；1点到3点，同时关闭2个进水口和1个出水口；3点到4点，

7、关闭2个进水口，打开出水口；5点到6点，同时打开2个进水口和1个出水口其中可能正确的论断是（）（人大附统练）A B C D某天，小明走路去学校，开始他以较慢的速度匀速前进，然后他越走越快走了一段时间，最后他以较快的速度匀速前进到达学校.小明走路的速度V（米/分钟）是时间t（分钟）的函数，能正确反映这一函数关系的大致图象是（ ）A B C D啤酒瓶内水面高度h随水流出的时间t变化的规律是先慢后快的两段，因为是匀速，所以表现在图象上为直线，故选A；C；由图中可以看出，一个进水管的速度为1；一个出水管的速度为2从0点到1点，蓄水量由5增加到6，如果打开2个进水管关闭出水口的话，就要增加2，所以不对，

8、排除A、B3点到4点，蓄水量由6变为5，关闭2个进水口，打开出水口的话就应该减少2不对故选DA，此题易错在将函数当做路程下面的图象反映的过程是：李明从家跑去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步回家，其中表示时间，表示李明离家的距离.请根据以上图象信息回答下列问题： 体育场离家多远？李明从家到体育场用了多长时间？ 体育场离文具店有多远？ 李明在文具店停留了多久？ 李明从文具店回家的平均速度是多少？ 2.5千米，15分钟 1千米； 20分钟； （千米/分）.已知两邻边不相等的长方形的周长为24cm，设相邻两边中，较短的一边长为ycm，较长的一边长为xcm求y关于x的函数解析式；求

9、自变量x的取值范围；当较短边长为4cm时，求较长边的长【解析】2（x+y）=24，y=12-x；6x12；当y=4时，y=12-x=4，解得：x=8cm【备注】此题难度不大，但是需要老师重点讲解自变量的取值范围，这是一个易错点，在初学函数时如果不注重对自变量取值范围的强调，对后面学习一、二次函数及反比例函数会有不利影响，容易造成学生失分。程度好的班级，教师可带领学生探讨下面的函数动态问题。【探究对象】探讨函数动态问题【探究目的】函数与几何结合的动态问题，是近年来中考题型中的“新宠”，这样的题以几何为背景，赋运动、函数于一体，集开放、探索于一身，考察学生观察图形及举一反三运用知识点的能力【探究1

10、】如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的路径运动一周设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（ C）分析：此题比较好理解，可以看出OP的长随P点从O到A逐渐变大，而P点弧AB上运动时OP为半径保持不变，P点从B到O过程中OP逐渐减少直至为0重点是老师可以引导学生关注临界点，过临界点后发生变化，为以后更复杂的题提供做题思路 【探究2】边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（ A）分析：此题与上题为同类型题目，有了上题的铺垫

11、，老师可以发现部分学生已经学会运用临界点（或临界状态）做题，此题正方形左右两条边作为临界边，小正方形完全进入大正方形内部时会运动一段时间，而这段时间阴影部分的面积是保持不变的，故选A【探究3】有一根直尺的短边长为2cm，长边长为10cm，还有一块锐角为45的直角三角形纸板，它的斜边长为12cm，如图(1)，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合将直尺沿AB方向平移，如图(2)，设平移的长为xcm(0 x 10)，直尺与三角形纸板重叠部分(图中阴影部分)的面积为Scm2（1）当时，S= ；当时，S= ；（2）当时，求S与x的函数关系式；（3）当时，求S与x的函数关系

12、式【解析】（1）当x=0时，阴影部分是等腰直角三角形，阴影部分的面积为S=2cm2； 当x=10时，直尺运动到最右边，阴影部分的面积为S=2cm2 当直尺继续移动时，首先先引导学生，重叠部分阴影部分面积还是不是一直保持为是一个等腰直角三角形，通过画图发现，阴影部分的图形是在不断变化的，其形状变化为：三角形梯形五边形梯形三角形，画出各图形如下：（2）当，如图1，DG=AD=x，AE=EF= x+2，S=2x+2（cm2）（3）当时，应分两种情况分类讨论：当时，如图2，DG=AD=x，EF=BE=12x2=10 x， 当时，如图3，BD=DG=12x，EF=BE=10 x，S=222x思维拓展训练

13、(选讲)思维拓展训练(选讲)已知函数的图象上有两点：，求式子的值将两点的坐标代入解析式中，得，原式“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到了终点用、分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事相吻合的是（ ） D.如图，点按的顺序在边长为1的正方形边上运动，是边上的中点，设点经过的路程为自变量，的面积为，则函数的大致图像是（ ）D.如图反映的过程是：小华从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家. 观察图象回答一下问题：小华家离菜地多远？小华从家到菜地用了多长时间？小华给菜地浇水

14、用了多长时间？菜地离玉米地多远？小华从菜地到玉米地用了多长时间？小华给玉米地锄草用了多长时间？玉米地离小华家多远？小华从玉米地回家的平均速度是多少？ 1.1km,15分； 10分； 0.9千米，12分； 18分； 2千米，0.08千米/分.复习巩固复习巩固知识模块一 常量、变量、函数 课后演练 在函数中，自变量的取值范围是（ ）A B. C. D. 在函数中，自变量的取值范围是_.下列四个图象中，不是表示某一函数图象的是（ ） A B C D A C.应有唯一值与对应.等腰三角形顶角与底角之间的函数关系式是 ，自变量的取值范围是 .汽车油箱中原有油100升，汽车每行驶50千米耗油10升，油箱剩

15、余油量（升）与汽车行驶路程（千米）之间的关系为_，自变量的取值范围是_，当函数值时，自变量. 在同一平面内，1条直线可以把平面分成2个部分，2条直线最多可以把平面分成4个部分，则3条直线最多可以把平面分成 个部分 若条直线最多可以把平面分成个部分，则与之间的关系式为_. ，. ，250. 7；，本题旨在提示学生，很多规律性结果都是其中项数的函数.知识模块二 函数的图象 课后演练 一/度为5km/h轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地设轮船从甲地出发后所用时间为t（h），航行的路程为s（km），则s与t的函数图象大致是（ ）ttsOAtsOBtsOCtsO

16、D 甲、乙两人准备在一段长为1200m的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100m处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离(m)与时间(s) C； C.一辆汽车和一辆摩托车分别从A,B两地去同一城市,它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示.则下列结论错误的是( )A.摩托车比汽车晚到1 h B. A,B两地的路程为20 kmC.摩托车的速度为45 km/h D.汽车的速度为60 km/hC.如图所示，该曲线是某一函数的完整图象，请根据图象求： 自变量的取值范围是_ 函数的对应值范围是_ 当时，函数的值

17、是_ 当时，的值是_ 当_时，的值最大当_时，的值最小 当的值_时，随的增大而增大.（人大附中测试题） ； ； 2 ； ； 1.5，； . 课后测课后测购买一些铅笔，单价为0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化，指出其中的常量、变量与自变量，写出函数解析式并画出图象. （清华附期中试题）变量为，自变量为x，常量为0.2，函数解析式为.图象略.正方形边长为3，若边长增加x，则面积增加y，求y随x变化的函数解析式，并求当时函数的值.化简得当时函数值分别为：. 说明：因有学生尚未学习乘法公式，解析式不化简也可以.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象大致为（ ） A. B. C. D.B.在权威圣圈面前1900年，著名教授普朗克和儿子在自己的花园里散步，他神情沮丧，很遗憾地对儿子说：“在权威圣圈面前1900年，著名教授普朗克和儿子在自己的