初一数学春季讲义 第4讲-二元一次方程组 教师版

1、PAGE 10PAGE 14二元一次方程组的实际应用4二元一次方程组的实际应用满分晋级阶梯满分晋级阶梯方程7级方程7级二元一次方程组的实际应用方程8级分式方程方程9级一元二次方程认识初步寒假班第一讲秋季班第十讲春季班第四讲漫画释义 世纪画作漫画释义知识互联网 知识互联网编写思路：本讲主要还是训练学生寻找题目中等量关系的能力。当题目中涉及多个未知量及多个等量关系的时候，可以设多元，通过列方程组、解方程组解答。每个例题，涉及一个实际问题，让学生充分掌握和运用各类实际问题中量与量的关系列方程。题型一题型一：二元一次方程组的应用思路导航 思路导航解实际问题的一般步骤： 审题，分析题目中的已知和未知；

2、找等量关系（画图法或列表法等）； 设未知数列方程组； 求解方程组； 检验（包括代入原方程组检验和是否符合题意的检验）； 写出答案例题精讲 例题精讲、两地相距36千米，两人步行，甲从到，乙从到.两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行6小时，此时甲剩下的路程是乙剩下的路程的2倍，求两人的速度.【分析】设甲每小时行千米，乙每小时行千米，那么，其有关的等量关系可用下面的线段图表示（如图所示）设甲的速度是千米/时，乙的速度是千米/时，根据题意得 解方程组得.答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/典题精练 典题精练1工程问题某蔬菜公司收购某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每

3、天可以精 加工6吨或粗加工16吨。现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排天精加工，天粗加工. 为解决这个问题，所列方程组正确的是（ ）ABCD2012年8月中旬，某市受到14号台风的影响后，部分街道路面积水比较严重为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工若甲、乙两队合作需12天完成此工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工问甲、乙两队单独完成此工程各需多少天？设甲、乙两队每天排水量分别为m，则 解得甲：（天）； 乙：（天）另解：设甲、乙两队单独完成此工程各需天，则 解得答：甲队单独完成此工程需要

4、20天，乙队需要30天【点评】第一种方法虽然不是直接法但是好理解也容易求解，第二种方法直接设元但实际是分式方程，学生不太好求.教师可两种方法都介绍.2图形问题小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示根据图中的数据（单位：），解答下列问题： 写出用含、的代数式表示的地面总面积； 已知客厅面积比卫生间面积多，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？ ； 解得总费用为：元答：铺地砖的总费用为元2.如图所示，矩形的周长为，为的中点，以为圆心，长为半径画弧交于点以为圆心，长为半径画弧交于点设，当时，求，的值 根据题意可列方程组，解得3

5、利润问题甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50的利润定价，乙服装按40的利润定价在实际出售时，应顾客要求两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？设甲、乙服装的成本分别为元，元，根据题意可得 解得答：甲、乙两件服装的成本分别是300元和200元【点评】售价=成本+利润=成本（1+利润率），利润率=利润/成本4容积问题第一个容器内有水升，第二个容器有水升若将第二个容器内的水倒满第一个容器，第二个容器剩下的水正好是这个容器的容量的一半若将第一个容器内的水倒满第二个容器，第一个容器剩下的水正好是这个容器的容量的三分之一求两个容器的

6、容量设第一个容器的容量为升，第二个容器的容量为升则， 解得答：第一个容器的容量为升，第二个容器的容量为升5方案问题已知：用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物根据以上信息，解答下列问题： = 1 * GB2 辆型车和辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ = 2 * GB2 请你帮该物流公司设计租车方案； = 3 * GB2 若型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费 (2012年龙岩中考题) = 1 * GB2 设每辆型车、型车都装

7、满货物一次可以分别运货吨、吨，依题意列方程组得：，解方程组，得：辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨 = 2 * GB2 结合题意和 = 1 * GB2 得：，、都是正整数或或答：有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆 = 3 * GB2 型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次，方案一需租金：（元） 方案二需租金：（元） 方案三需租金：（元）最省钱的租车方案是方案三：型车辆，型车辆，最少租车费为元以下对图形问题进行拓展：【拓展1】在长为10m，宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个完全一样的小矩形花圃，其示意图如图

8、所示求小矩形花圃的长和宽设小矩形的长为xm，宽为ycm，由题意得： 解得答：小矩形的长为4m，宽为2m【拓展2】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图左方式放置，再交换两木块的位置，按图右方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）A37 cm B74 cm C75 cm D【分析】本题的相等关系有：桌高+长方体的长-长方体的宽=80 cm.桌高+长方体的宽-长方体的长=70 cm.设桌子高度为，木块的长为，宽为，由题意可知，即. 故选C.【拓展3】扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积设这种药品包装盒的宽为cm，

9、高为cm，则长为（）cm根据题意得解得，故长为9cm，宽为5cm，高为2cm，所以体积V=952=90（cm3）答：这种药品包装盒的体积为90cm3题型二：题型二：不定方程求解思路导航 思路导航不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是解往往有无穷个，不能唯一确定 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当已知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论例题精讲 例题精讲方程的整数解有 组，正整数解都有哪些？ 方程的整数解有无数组. 、为正整数得 解不等

10、式组得 故只能等于. 典题精练 典题精练方程的解有 组；正整数解有 组，分别为 . 已知关于的方程的解为负整数，求的值 无数组，4组、为正整数得，故只能等于， 、45或当时，解方程得，因为为负整数，所以或，得对应的值为，代入得 真题赏析真题赏析 已知为正整数，关于，的二元一次方程组有整数解，求的值 （丰台十二中检测题） 法一：两式相加得, 可为：2或7当时，当时，（舍）所以 法二：解方程组得，若为正整数，则应该是和的公约数，推得，所以【变式】已知方程组有非负整数解，求正整数的值两式相加得，. 故正整数可为1,3,7 代入可得，故 所以.【总结】对于一元一次方程和二元一次方程（组）中出现的整数根

11、问题：（1）解决一元一次方程的方法首先是要表示出未知数，如果是整数根，只需要分子是分母的约数，有时需要考虑符号问题；例，若解是整数，则，解得；若解是正整数，则，从而解得.（2）解决二元一次方程的整数解问题，基本方法是先根据题意得到关于其中一个未知数的不等式组，从而解得它的取值范围，再依次代入检验另一个未知数是否符合整数根；（3）解决二元一次方程组的整数根问题，常用方法是：通过消元，将问题转化为解不定方程；视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示；利用整体思想方法求解. 一宾馆有两人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅游团人准备同时租用这三种客房共间，如果每个房间都住满，那

12、么共有多少种租房方案？设租二人间间，三人间间，四人间间，则，得，均为正整数，有，；，故有两种租房方案.复习巩固复习巩固题型一 二元一次方程组的应用 巩固练习为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？（2）若

13、6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费 （2011娄底中考）设“基本电价”为元/千瓦时，“提高电价”为元/千瓦时，根据题意，得 解得答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时（元）答：预计小张家6月份上缴的电费为98元小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）设上月萝卜的单价是

14、元/斤，排骨的单价元/斤，根据题意得：解得：这天萝卜的单价是（1+50%）x=（1+50%）2=3，这天排骨的单价是（1+20%）y=（1+20%）15=18答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤.如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为28cm，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm设演员的身高为cm，高跷的长度为cm，求的值 依题意得方程组：，解得： 的值为168，的值为84.题型二 不定方程求解 巩固练习取哪些正整数值，方程组的解都是正整数？解方程组得，由解是正整数得，即已知关于、的方程组的解为正整数，则的整数值是多

15、少？由方程得将方程代入方程中得，方程组的解为正整数，是正整数，即必须是的正约数，又的正约数有：，可求出的值为第十四种品格：第十四种品格：信念同样的圣诞夜1944年的圣诞夜，两个迷了路的美国大兵拖着一个受了伤的兄弟在风雪中敲响了德国西南边境亚尔丁森林中的一栋小木屋的门，他的主人，一个善良的德国女人，轻轻地拉开了门上的插销。家的温暖在一瞬间拥抱了三个又冷又饿的美国大兵。女主人开始有条不紊的准备着圣诞晚餐，没有丝毫的慌乱与不安，没有丝毫的警惕与敌意。因为她相信自己的直觉：他们只是战场上的敌人，而不是生活中的坏人。正在这时候，门又一次被敲响了。站在满心欢喜的女主人面前的，不是来送礼物和祝福的圣诞老人，而是四个同样疲惫不堪的德国士兵。女主人同样用西方人特有的方式告诉她的同胞，这里有几个特殊的客人。今夜，在这栋弥漫着圣诞气息的小木屋里，要么发生一场屠杀，要么一起享用一顿可口的晚餐。在女主