初一数学秋季讲义 第12讲 直线的相交

1、知识互联网 知识互联网题型一：两线四角题型一：两线四角思路导航思路导航平面内两条直线的位置关系：平行与相交平行直线： 定义：在同一平面内，永不相交的两条线称为平行线相交直线： 定义：如果直线与直线只有一个公共点，则称直线与直线相 交，为交点，其中一条是另一条的相交线相交线的性质：两直线相交只有一个交点对顶角： 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角如图中，和，和是对顶角对顶角的一个重要性质是：对顶角相等邻补角： 两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角如图中

2、，和，和，和，和互为邻补角注意： 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定互为邻补角例题精讲例题精讲如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是_，的对顶角是 .若，则_，_，_和，典题精练典题精练 如图1，直线两两相交，求的度数 如图2，直线、交于点，且，求的度数 如图3，直线、交于点，求的对顶角和邻补角的度数 如图4，直线、交于，平分，求的度数 ，； 由对顶角相等可知，又，故从而由、互为邻补角可知，； 由对顶角相等可知，故由、互为邻补角可知，由对顶角相等可知，的对顶角； 由、互为邻补角可知，又，故，由对顶角相等可知，又平分，故，又因为,所以,从而可知，已知：如图所示，直线、交于点，求的

3、度数由对顶角相等可知，设，则，又，故，故题型二题型二：三线八角思路导航思路导航同位角： 两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（两个角分别在 两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁）叫做同位角如图所示，与，与，与，与都是同位角内错角： 两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，（即分别在第三条直线的两旁），这样的一对角叫做内错角如图中，与，与都是内错角同旁内角： 两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角如图中，与，与都是同旁内角例题精讲例题精讲下列图形中和是同位角的是（ ） ABCD（海淀区期末）B典题精练

4、典题精练 如图1，与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角与是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的 角（清华附中统练） 如图，图中与1成同位角的个数是（ ）A2B3C4 与是两条直线与被第三条直线所截构成的同位角；与是两条直线与被第三条直线所截构成的同位角；与是两条直线与被第三条直线所截构成的内错角；与是两条直线与被第三条直线所截构成的内错角；与是两条直线与被第三条直线所截构成的同旁内角；B【备选】找出图中用数字表示的角中，所有的同位角、内错角和同旁

5、内角，并指出它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的与是直线、被直线所截形成的同位角；与是直线、被直线所截形成的内错角；与是直线、被直线所截形成的同旁内角；与是直线、被直线所截形成的同旁内角；与是直线、被直线所截形成的同旁内角 如图1，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？ 如图2，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？ 如图3，找出图中用数字表示的各角中，哪些是同位角，内错角？哪些是同旁内角？ 图中，与是直线、被直线所截形成的同位角；与是直线、被直线所截成的内错角；与是直线、被直线所截成的同旁内角； 图中，与是直线、被直线所截形成的内

6、错角； 图中，与是直线、被直线所截形成的同位角.三线八角的判定技巧：两条直线被第三条直线所截，所形成的三线八角中，究其实质，可简单概括为“、”型“”型是找同位角的方法，即：如图，和就是一对同位角，现改变“”的方向，如图 等，各个图中与依然是同位角“”型是找内错角的方法，如图， 和就是一对内错角，改变“”的方向后，各个图中和还是内错角，如等“”型是找同旁内角的方法，如图，和就是一对同旁内角，改变“”的方向后，如 等，各个图中，和还是同旁内角（仅作教学参考）题型三题型三：垂直的定义与表示思路导航思路导航垂线：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条是另一条直线的垂线，它们的交点为垂足如

7、图所示，可以记作“于”性质1：在同一平面内，过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；简单说成：垂线段最短点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离例题精讲例题精讲如图，直线与相交于，求和的度数 ，（垂直定义）（对顶角相等），（垂直定义）典题精练典题精练 如图1，已知，垂足为，则点到直线的距离为线段 的 长；线段的长为点 到直线 的距离 如图2，在直角三角形中，则 如图，点P是直线外的一点，点A、B、C在直线上，且，垂足是B，PAPC，则下列不正确的

8、语句是（）A线段PB的长是点P到直线的距离BPA、PB、PC三条线段中，PB最短C线段AC的长是点A到直线PC的距离D线段PC的长是点C到直线PA的距离 ，；C已知：如下图、三点共线，为任意一条射线，平分，平分求证：、三点共线平分,平分, =又 两条平行直线被第三条直线所截，有几对同位角，几对内错角，几对同旁内角. 三条平行直线呢? 四条、五条呢? 你发现了什么规律？ 两条平行直线被第三条直线所截，有对同位角，对内错角，对同旁内角. 当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角；当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角；当有条平行线时，有对同位角，对内错角，对同旁内角. 当条线彼此

9、平行时，被直线所截，即，则共有(，)、(，)、(，)、(，)；(，)、(，)、(，)、共对平行线，每对平行线被所截，产生对同位角，对内错角，对同旁内角，则共有对同位角，对内错角，对同旁内角【铺垫】如下图，平行直线、与相交直线、相交，图中的同旁内角共有 对.图中有条线段，所以有对同旁内角思维拓展训练（选讲）思维拓展训练（选讲）训练1. 下列四个命题：如果两个角是对顶角，则这两个角相等如果两个角相等，则这两个角是对顶角如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角其中正确的命题有 ( )A1个 B2个 C3个 D4个B训练2. 用数码标出图中与是同位角的所有角如图所示

10、的同位角有，的两条边所在的直线是、，若把看成是第三条直线，则有：截直线及，得的同位角为；截直线及，得的同位角为；截直线及，得的同位角为；若把看成第三条直线，则有截直线及，得的同位角为；截直线及，得的同位角为；截直线及得的同位角为训练3. 若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有_对同旁内角.共有12条线段，有24对同旁内角训练4. 如图，为直线上的一点，、分别平分、，则图中互余的角有 对.根据题意可得：，所以互余的角有对：，复习巩固复习巩固题型一 两线四角 巩固练习 下列图中和是对顶角的有（ ） A1对 B0对C2对D3对 下列四个图中，与成邻补角的是（ ）A B C D如右图所示，直

11、线，相交于点，若，则 _，_.B；C；，已知：如图，、交于点，平分， 写出图中所有的对顶角、邻补角； 求 对顶角：与、与邻补角：与、与、与、 与、与、与 平分（已知），（角平分线的定义）（已知），（对顶角相等），如图，已知直线和相交于点，是直角，平分若，求的度数 是直角， 又 平分， ，题型二 三线八角 巩固练习如图，判断下列各对角的位置关系：与；与；与；与；与.与是同位角，与是内错角，与是对顶角，与是同旁内角，与是内错角题型三 垂直的定义与表示 巩固练习如图，直线、相交于点，是的平分线，若 ，判断把所分成的两个角的 大小关系并证明你的结论证明：是直线上一点，平分 ，已知：如图、共线，为任意一

12、条射线，平分,求证：平分.、共线，又平分，即平分第十三种品格：第十三种品格：公平对困难说谢谢 俗话说：“自古雄才多磨难，从来纨绔少伟男。”雄才们大多经过逆境的种种磨难，面对逆境，不怨天尤人，不自怜自叹；他们咬紧牙关，奋力抗争，以不屈不挠的精神，战胜逆境，成为强者。1850年8月21日，在巴尔扎克的葬礼上，雨果所致的悼词中有这样一句话：“在伟大的人物中间，巴尔扎克是最伟大的一个；在优秀的人物中间，巴尔扎克是最优秀的一个可叹啊！这个坚强的、永远不停止奋斗的哲学家、思想家、诗人、天才作家，却过着风风雨雨的生活，遭逢了任何时代一切伟人都遭逢过的恶斗和不幸。如今，他走了。他走出了纷扰和痛苦。”巴尔扎克的一生，命运坎坷。他幼年就缺乏母爱，母亲对他冷漠无情，他成为家里多余的人。巴尔扎克后来回忆这段生活时，曾愤愤地说：“我从来不知道什么叫母爱，我经历了人的命运中所遭受的最可怕的童年。”长大后，巴尔扎克立志要从事清苦的文学创作，当一个“文坛国王”。从1819年夏天开始，他就整天在一间阁楼里伏案写作。阁楼咫尺见方，简陋寒酸，夏天热气腾腾，冬天寒风嗖嗖。巴尔扎克没日没夜地不停地写着。在与书商打交道的过程中，巴尔扎克不断受骗，以致负债累累。为了躲债，他曾6次迁居。他对朋友说：“我经常为一点面包、蜡烛和纸张