数学思想篇：二、方程思想

1、第3页 共3页数学思想篇：二、方程思想【思想指导】在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。【范例讲析】：1方程思想在几何中的应用1.1基于几何定理的数量关系，利用方程解决所研究几何图形的数量关系中学数学几何中的许多定理都蕴含了图形数量上的相等关系，例如常见勾股定理、垂径定理等。在很多情况下，若能根据这些定理反映的数量关系，合理设出未知数并建立方程，可以从容解决问题。例1.如图1，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知=8, =10 ，求DE的长。例2.

2、如图2，已知点E在直角ABC的斜边上，以为直径的与直角边相切于点。（1）求证：平分；（2）若=2，=4，求的半径1.2对三角函数所体现的数量关系，借助方程思想解直角三角形例3如图3，某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为 米.2方程思想在代数中的应用2.1整式与方程思想在中学数学中，我们要接触许许多多的定义、性质、规律等理论性知识，那么这些知识往往本身就直接或间接的体现着方程关系，如：单项式与同类二次根式的定义、不同类型的方程

3、的定义、非负数的性质等。例4若与的和仍是一个单项式，则m与n的值分别是（ ）（A）1，2 （B）2，1 （C）1，1 （D）1，3例5已知，可分解因式为，其中均为整数，则求 。2.2用方程思想解决实际问题例6小林准备如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形。 （1）要使这两个正方形的面积之和等于58，小林该怎么剪？（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48.”他的说法对吗？请说明理由。2.3方程思想与函数的结合方程与函数本身就有必然的联系，函数本身就可以看成一个方程，因此方程与函数有着相同的思路和解题方法，都是通过建立相等关系，求出未知数的值，

4、因此函数问题的关键就是找出相等关系，建立变量之间的等量关系求解，要求对变量所涉及的相关知识要比较熟练，这是轻松求解函数问题的必要基础。下面举两例说明方程思想在函数综合题里给我们带来意想不到的惊喜.例7.如图4，已知抛物线与x轴交于A(1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于C(0，2)，连接(1) 求抛物线解析式；(2) BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；(3) 若点P在抛物线的对称轴上，且CPBCAB，求出所有满足条件的P点坐标【优化训练】1.如图，AB为O的直径，点C在O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与O的另一个交点为E，连接AC，CE （1）求证：B=D； （2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长2 2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30和45，试确定生命所在点C的深度 3.如图，抛物线与轴交于点、两点，其顶点为点,连接（1）求点的坐标及抛物线的解析式；（2）动点分别从两点同时出发，均以每秒1个单