结构动力学课件3

1、1/71第3章 单自由度体系 3.7单自由度体系对周期荷载的反应 2/713.7 单自由度体系对周期荷载的反应 依靠的基础： 依靠已得到的单自由度体系对简谐荷载反应分析结果。 在获得简谐荷载作用的结果后，就可以方便地分析单自由度体系对任意周期性荷载的反应，简谐荷载是一种最简单、最具代表性的周期荷载。 任意周期性荷载均可以分解成简谐荷载的代数和。具体实施方法： 利用Fourier级数展开法。 将任意的周期荷载p(t)展开成Fourier级数，把任意周期性荷载表示成一系列简谐荷载的叠加，对每一简谐荷载作用下结构的反应可以容易得到其稳态解，再求和，得到结构在任意周期性荷载作用下的反应。限制条件： 结

2、构体系是线弹性的。可使用叠加原理。3/713.7 单自由度体系对周期荷载的反应 设任意的周期荷载p(t)，将其展开成Fourier级数， Tp荷载的周期4/713.7 单自由度体系对周期荷载的反应 当用Fourier级数展开法时，隐含假设周期函数是从-开始到+。初始条件(t=-)的影响到t=0时已完全消失，仅需计算稳态解，即特解。对应于每一简谐荷载项作用，体系的反应为：5/713.7 单自由度体系对周期荷载的反应 任意周期荷载作用下结构总的稳态反应为： 6/71利用复数Fourier级数得到复数形式的解用复数Fourier级数将周期荷载展开， 先计算单位复荷载eijt作用下，体系稳态反应的复幅

3、值，设：总的稳态反应为:H(i)复频反应函数，也称为频响函数，传递函数。7/71结构动力学 3.8 单自由度体系 对任意荷载的反应8/71在实际工程中，很多动力荷载既不是简谐荷载，也不是周期性荷载，而是随时间任意变化的荷载，需要采用更通用的方法来研究任意荷载作用下体系的动力反应问题。下面介绍二种动力反应问题的分析方法： 时域分析方法Duhamel积分法； 频域分析方法Fourier变换法。这两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题。根据Duhamel积分法将简要介绍地震动作用下结构的反应，并简单介绍地震反应谱的概念。同时，也将介绍阶跃荷载作用和冲击荷载作用下结构动力反应的特点。9/713.8

4、.1 时域分析方法Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数 单位脉冲：作用时间很短，冲量等于1的荷载。 单位脉冲反应函数：单位脉冲作用下体系动力反应时程10/713.8.1 时域分析方法Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数 在 t= 时刻的一个单位脉冲作用在单自由体系上，使结构的质点获得一个单位冲量，在脉冲结束后，质点获得一个初速度：当0时 ：由于脉冲作用时间很短，0，质点的位移为零 ：11/713.8.1 时域分析方法Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数 无阻尼体系的单位脉冲反应函数为：有阻尼体系的单位脉冲反应函数为：12/713.8.1 时域分析方法Duhamel积分 1、单位脉冲

5、反应函数 单位脉冲及单位脉冲反应函数 13/713.8.1 Duhamel积分 2、对任意荷载的反应 将作用于结构体系的外荷载p()离散成一系列脉冲。先计算其中任一脉冲p()d 的动力反应：在任意时间t结构的反应，等于t以前所有脉冲作用下反应的和：14/713.8.1 时域分析方法Duhamel积分 无阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式 ：阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式： 15/713.8.1 时域分析方法Duhamel积分 Duhamel（杜哈曼）积分给出的解是一个由动力荷载引起的相应于零初始条件的特解。如果初始条件不为零，则需要再叠加上由非零初始条件引起的自由振动，其解的形

6、式已在前面给出。例如，对于无阻尼体系，当存在非零初始条件时，问题的完整解为：16/713.8.1 Duhamel积分 杜哈曼积分法给出了计算线性SDOF体系在任意荷载作用下动力反应的一般解，适用于线弹性体系。因为使用了叠加原理，因此它限于弹性范围而不能用于非线性分析。如果荷载p(t)是简单的函数，则可以得到封闭解（closed-form）。如果p(t)是一个很复杂的函数，也可以通过数值积分得到问题的解。但从实际应用上看，采用数值积分时，其计算效率不高，因为对于计算任一个时间点t的反应，积分都要从0积到t，而实际要计算一时间点系列，可能要几百到几千个点。这时可采用效率更高的数值解法时域逐步积分方

7、法，这将在以后介绍。17/713.8.1 时域分析方法Duhamel积分 虽然在实际的计算中并不常用Duhamel积分法，但它给出了以积分形式表示的体系运动的解析表达式，在分析任意荷载作用下体系动力反应的理论研究中得到广泛应用。当外荷载可以用解析函数表示时，采用Duhamel积分方法有时更容易获得体系动力反应的解析解。例如，获得共振时无阻尼体系的特解。 18/713.8.2 频域分析方法Fourier变换法 Fourier变换的定义为：速度和加速度的Fourier变换为： 19/713.8.2 频域分析方法Fourier变换法 单自由度体系时域运动方程： 对时域运动方程两边同时进行Fourie

8、r正变换，得单自由度体系频域运动方程：20/713.8.2 频域分析方法Fourier变换法 单自由度体系运动的频域解为： H(i)复频反应函数，i是用来表示函数是一复数。 再利用Fourier逆变换，即得到体系的位移解： 21/713.8.2 频域分析方法Fourier变换法 频域分析方法的基本计算步骤： 1对外荷载p(t)作Fourier变换, 得到荷载的Fourier谱P()：2根据外荷载的Fourier谱P()和复频反应函数H(i)，得到结构反应的频域解Fourier谱U()： U()=H(i)P()3应用Fourier逆变换，由频域解U()得到时域解u(t)： 22/713.8.2

9、频域分析方法Fourier变换法 离散Fourier变换 （DFT）在用频域法分析中涉及到两次Fourier变换，均为无穷域积分，特别是Fourier逆变换，被积函数是复数，有时涉及复杂的围道积分。当外荷载是复杂的时间函数(如地震动)时，用解析型的Fourier变换几乎是不可能的，实际计算中大量采用的是离散Fourier变换。23/71离散Fourier变换（DFT） 对连续变化的函数用等步长离散（数值采样） 时域离散化： 频域离散化：24/71离散Fourier变换（DFT） 将离散化的值代入Fourier正变换公式，并应用梯形积分公式得： 将离散化的谱值代入Fourier逆变换公式，并应用

10、梯形积分公式得： 25/71离散Fourier变换（DFT）以上公式即是求结构反应的离散Fourier变换方法DFT如果取N=2m，再利用简谐函数周期性的特点，可以得到快速Fourier变换FFT，应用FFT可以大大加快分析速度和减少工作量。离散Fourier变换需要N2次乘法运算，而快速Fourier变换 可把乘法运算次数减少到大约5Nlog2N。若N1000，则FFT可以把乘法运算由百万次减少到50000次左右。N越大，FFT算法的效率越明显。 26/71离散Fourier变换（DFT）应用离散Fourier变换时应注意事项:1. 离散Fourier变换将非周期时间函数周期化2. 由于第1

11、点原因，对p(t)要加足够多的0点增大持续时间Tp，以保证在所计算的时间段0, Tp内，体系的位移能衰减到03. 频谱上限频率fNyquest=1/2t，Nyquest=2fNyquest4. 频谱的分辨率为f=1/Tp，即=2/Tp5. 频谱的下限f1=1/Tp27/71离散Fourier变换（DFT）2. 由于离散Fourier变换将非周期时间函数周期化，使得外荷载变成周期性荷载，如下图所示，原荷载的持续时间Tp 变成周期性荷载的周期。28/71离散Fourier变换（DFT）2. 结构的动力反应也被周期化，对此要加足够多的0点以增大持续时间Tp，保证在所计算的时间段0, Tp内，结构的位

12、移能衰减到0。29/71离散Fourier变换（DFT）Fourier变换，特别是快速Fourier变换在信号分析和处理中得到广泛应用，目前已有标准的Fourier变换和快速Fourier变换程序可用。但作为一种微分方程的解法，在用于求解结构的运动方程时，为获得可靠的结构动力反应分析结果，仍需要对这一分析方法的特点有全面的了解和掌握。 30/71 3.9结构地震反应分析的反应谱法 31/71在学习了结构动力反应分析方法后，就可以对结构地震反应问题开展计算分析。当地震动较小时，结构反应处于线弹性范围，可以采用Duhamel积分，或FFT+复频反应函数的方法获得地震作用下结构的反应。根据得到的结构

13、最大变形，最大内力进行抗震设计。当地震动较强时，结构反应可能进入塑性，这时可以采用时域逐步积分法进行求解分析。本节仅限于介绍线弹性地震反应问题。 将采用Duhamel积分法介绍地震反应谱的概念。32/71 典型地震动 加速度时程地震作用的特点：地震动过程非常复杂，随时间不规则、快速变化。 33/713.9 结构地震反应分析的反应谱法地震加速度时程的特点为：第1阶段，振幅快速增长；第2阶段，相对稳定；第3阶段，振荡衰减。 典型地震动加速度时程34/713.9 结构地震反应分析的反应谱法地震作用下结构运动方程为：其中u=u(t)为相对位移，g(t)为地震动加速度时程。地震等效荷载为peq(t)=-

14、mg(t)，应用Duhamel积分，得到地震作用下结构的位移为： 其中 有阻尼体系自振频率。35/713.9 结构地震反应分析的反应谱法地震作用下结构相对位移时程，观察以上方程可以发现，对一给定地震动ug，结构的地震反应仅与结构的阻尼比和结构的自振频率n有关，换句话，对于不同的结构（大小尺寸不同），当其结构阻尼比和自振频率相同时，对同一个地震的反应完全相同。 36/713.9 结构地震反应分析的反应谱法当阻尼比较小时，结构反应计算公式可简化为： 在实际工程中，对结构的绝对加速度(t)+g(t)感兴趣它可根据结构位移的解式直接得到（对上式两次微分）：对比以上两式可以发现以上公式仅对于小阻尼时才成

15、立。 实际上，这一公式可以直接由运动方程得到。 37/713.9 结构地震反应分析的反应谱法在结构抗震设计时，人们往往仅需要知道结构反应的最大值， 记： 结构反应的最大相对位移Sd和最大绝对加速度Sa之间的关系：38/713.9 结构地震反应分析的反应谱法当阻尼比给定时，结构对任一地震的最大位移反应和最大绝对加速度反应仅由n决定，即 工程中一般习惯采用结构的自振周期Tn2/n代替圆频率，因而 如果改变结构的自振周期Tn就可以得到不同的Sd和Sa，最后可以得到以结构自振周期Tn为自变量的函数Sd和Sa。称：Sd(相对)位移反应谱, Sa(绝对)加速度反应谱。 39/71 El Centro地震波

16、 的 位移、速度、加速度反应谱曲线40/71反应谱曲线的计算及物理意义 41/713.9 结构地震反应分析的反应谱法反应谱的意义：在地震动作用下，不同周期结构地震反应的最大值。反应谱的计算要完成计算一系列具有不同自振周期的结构反应。地震反应谱在本质上反映的是地震动强度与频谱特性，它不反映具体的结构特性。一般给出的地震反应谱是绝对加速度反应谱Sa，利用Sd=Sa/n2即可得到位移反应谱，注意到n2=k/m，则Sd和Sa的关系可表达成：可见，当知道Sa后，用mSa计算等效的最大地震力，然后按静力方法可计算结构地震反应的最大值。对多自由度体系可以采用这样的方法完成地震作用下最大位移的计算（振型位移）

17、。 42/713.9 结构地震反应分析的反应谱法在地震工程的研究工作中，习惯采用归一化反应谱(Tn) 地震动力系数， 在建筑抗震设计规范中，给出以重力加速度g为单位的反应谱(Tn)地震影响系数，43/713.9 结构地震反应分析的反应谱法反应谱法是结构地震反应分析中的一个重要方法，利用抗震规范给出的平均反应谱可以计算工程场地结构地震反应最大值，很简单、方便。但以上介绍的反应谱法限于线弹性，为此人们也发展了非线性的反应谱，但通常是属于较粗略的估计。对非线性问题，当结构比较重要时，规范要求必须采用弹塑性时程分析方法补充计算，这时采用第5章将介绍的时域逐步积分法可以完成结构动力反应分析计算。 44/

18、71 3.10 阶跃荷载作用下 单自由度体系的反应 45/713.10 阶跃荷载作用下单自由度体系的反应 （Response to Step Forces） 1 理想阶跃荷载 46/713.10 阶跃荷载作用下单自由度体系的反应2 具有有限上升时间 的阶跃荷载用Duhamel积分法可得 ntr=2(tr/Tn) 47/713.10 阶跃荷载作用下单自由度体系的反应2 具有有限上升时间的阶跃荷载具有有限上升时间的阶跃荷载的反应谱 48/71 3.11 脉冲荷载作用下 单自由度体系的反应 49/713.11 脉冲荷载作用下单自由度体系的反应 （Response to Pulse Excitatio

19、ns） 冲击荷载是工程中常遇的荷载形式。例如，结构受爆炸冲击波的作用，结构动力试验中使用的锤击荷载等。冲击荷载可以表示为作用时间较短的脉冲。常用的形式有三种：矩形、半正弦、三角形荷载。由于荷载作用时间较短，在脉冲作用下，结构的最大反应可在很短的时间内达到，在此期间，结构的阻尼还来不及吸收较多的振动能量，因此，在计算冲击荷载引起的振动反应时，一般不考虑阻尼的影响。分析方法：分段求解：强迫振动阶段+自由振动阶段 直接用Duhamel积分50/71脉冲荷载反应 矩形脉冲荷载51/71脉冲荷载反应 矩形脉冲荷载反应52/71脉冲荷载反应 半正弦脉冲荷载53/71脉冲荷载反应 半正弦脉冲荷载反应54/7

20、1脉冲荷载反应 三角形脉冲荷载55/71脉冲荷载反应 三角形脉冲荷载反应56/71三种脉冲作为集中冲量作用时体系的反应对于矩形脉冲I = potd，半周期正弦脉冲I = (2/)potd，三角形脉冲I = potd/2，在集中冲量作用下体系的最大反应分别为57/71等幅值的三种脉冲作用下的冲击反应谱58/71等面积的三种脉冲作用下的冲击反应谱59/71第3章小结60/711、无阻尼自由振动无阻尼振动是一个简谐运动：建立了结构自振频率和自振周期的概念。61/712、有阻尼自由振动临界阻尼：体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。阻尼比：阻尼系数c和临界阻尼ccr的比值。 一般结构中的阻尼比：钢结构？钢筋混凝土结构？低阻尼体系的自由振动：是一个衰减的简谐运动。阻尼体系的自振频率和自振周期：？阻尼的量测：自由振动法；对数衰减率。62/713、自由振动过程中的能量无阻尼体系中的能量：自由振动过程中的总能量守恒，不随时间变化，等于初始时刻输入的能量。有阻尼体系中的能量：自由振动过程