（本科）线性代数第五章 线性变换ppt课件（全）

1、线性代数第五章 线性变换第五章 线性变换第一节 线性变换的基本概念一、集合之间的映射定义1设 M 和 N 是两个非空集合如果对于 M 中任意一个元素 x ， 按照某个对应法则 f ，总存在 N中一个确定的元素 y 与之对应， 则称这个对应法则 f 为从集合 M 到 N 的一个映射通常用英文小写字母 表示映射 特别地， 我们也将一个非空集合 M 到自身的映射称为上的一个变换如果映射 f 将 M 中的元素 x 对应到集合 N 中的元素 y ，则记或此时，称 y 为 x 在映射 f 下的像， f 下的原像如果 f 是从集合 M 到 N 的映射，像的全体所构成的集合，而称 x 为 y 在映射则将在 f

2、 下的称为映射 f 的像集，记为f (M)，即定义2 设 f 是从集合 M 到 N 的映射如果 f (M) = N，那么称 f 是从 M 到 N 的满映射，或简称为满射定义2 设 f 是从集合 M 到 N 的映射如果对于 N 中的每一个元素 y ，都存在 M 中元素 x ，则称 f 是一个满射 使得 y = f (x)，定义3 设 f 是从集合 M 到 N 的映射如果 M 中不同元素在 f 下的像也不同， 即只要 ，则称 f 是从集合 M 到 N 的单映射，或简称为单射 就有定义4 设 f 是从集合 M 到 N 的映射如果 f 既是满射也是单射， 即 f 满足 1） f (M) = N ；2）

3、对于任意的 ，只要 就有则称 f 是一个一一对应，例1设 M 是一个非空集合， 定义 M 到 M 的对应f ，满足则 f 是 M 到自身的一个映射， 我们称其为集合 M的单位映射，记为 或恒等映射，或者双射满足应 f ，则 f 是 到自身的映射，且 f 是一个单射但不是满射 例3 设 是实数域上的所有 n 阶方阵的集合 例2设 是全体整数的集合，定义 到 的对定义 到 的对应 f ，满足 则 f 是 到 的一个映射，且 f 是一个满射但不是单射 例4 设 a 是一个已知的正数， 是所有正实数的集合 定义 到 的对应，满足 则 f 不是一个映射因为，对于任意的 ， 定义5 设 f 和 g 都是从

4、集合 M 到 N 的映射， 如果对于任意的 ， 都有则称映射 f 与 g 相等，记为 f = g 定义6 设 f 是从集合 M 到 N 的一个映射， g 是从集合 N 到 P 的一个映射， 则对于 M 中的任意元素 x ，存在 P 中唯一确定的元素 与之对应， 这样得到一个 M 到 P 的映射， 记为 ， 映射称为 f 与 g 的乘积或复合映射， 将这个即 是集合 M 到 P 的映射，满足 显然，对于任意从集合 M 到 N 的映射 f ，都有 定义7 设 f 是从集合 M 到 N 的一个映射， 如果存使得 在 N 到 M 的一个映射 g， 则称 f 是一个可逆映射，并将映射 g 称为 f 的逆

5、映射定理1 设 f 是从集合 M 到 N 的一个映射，则 f 是可逆映射当且仅当 f 是一个一一对应 另外，映射的乘积还满足结合律二、线性变换的定义 定义8 设 V 是数域 F 上的一个线性空间 如果 V上的一个变换 ， 满足1）对于任意的 ，有 2）对于任意的 ， ，有 则称 为线性空间 V 上的一个线性变换，通常用希腊字母 表示 例5显然，V 上的单位映射 是一个线性变换，将称其为单位变换，记为 ，或者恒等变换，即定义 V 上的一个变换 0 ，使得显然，它是一个线性变换，称其为零变换设数 ，定义 V 上的一个变换 ，它即为单位变换；当 时，为零变换满足它也是一个线性变换，称其为数乘变换当

6、时，对于任意例6设是以数域 F 上的数作为系数的多项式的全体，按多项式的加法和数量乘法，构成 F 上的线性空间定义 的微商 ，满足 于是是 到自身的一个映射容易验证， 是上的一个线性变换例7在平面解析几何中，将坐标系绕原点 O 逆时针 旋转角 ，如果一个向量 在直角坐标系 下的坐标为 ,标 和 满足下面关系： 将其旋转之后对应的向量记为 ， 可以证明 构成 2 维空间 的一个线性变换 将向量 在坐标系 下的坐标记为 ， 那么坐三、线性变换的基本性质及运算则有设 是 V 上的一个线性变换性质1 ， 性质2 如果 是 的线性组合， 且组合系数是 ， 即 那么 是 的线性组合， 组合系数也是 ， 即

7、 性质3 如果 线性相关， 也线性相关 那么也就是说线性变换将线性相关的向量组仍然变成线性相关的向量组 1. 乘法 设 是 V 上的两个线性变换 定义 和 的乘积 为 直接验证， 也是一个线性变换 线性变换的乘积也满足结合律， 即但是，线性变换的乘积不满足交换律均有 对于任意的线性变换 ，2. 加法 设 是 V 上的两个线性变换 定义 和 的和 为 也是 V 上的一个线性变换 均有 对于任意的线性变换 ，我们也可以定义 的负变换 为 显然， 线性变换的加法满足： 3. 数量乘法 设 是 V 上的一个线性变换， 定义 和 k 的数量乘积 为 直接验证， 也是一个线性变换 线性变换的数量乘法满足：

8、例8 设 是一个 n 阶方阵 定义 n 维向量空间 的一个变换 ，满足显然， 是 上的一个线性变换 特别，当 A 是一个可逆矩阵时， 可逆的线性变换， 是一个并且 的逆变换为 如果 V 上的一个线性变换 ，的映射是可逆映射，作为 V 到 V则称 为可逆的， 即存在 V 上的一个映射 ，使得 将称为的逆变换， 记作 第二节 线性变换的矩阵表示一、线性变换的矩阵表示定理2 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 向量是 V 的一组基 如果是 V 中任意的 n 个向量，那么存在 V 上唯一的线性变换 ，使得 定义9 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 向量是 V 的一组基， 是 V 上的一个线性

9、变换 如果基向量 在 下的像 被基 的线性表出关系为 记 那么（7）式可以写成矩阵形式 （7）其中 （8）称（8）式的矩阵 A 为 在基 下的矩阵表示提示 在基 下的矩阵表示 A 是（5-7）式右端的系数矩阵的转置； 矩阵 A 的第 j 列就是向量 在基 下的坐标向量 例9 设 是所有次数小于 3 的多项式的全体 按照多项式的加法和数量乘法， 是数域 F 上的一个 3 维线性空间， 是这个空间的一组基 多项式的微商运算 在这组基 下的矩阵表示为 例10 在上一节的例 7 里，我们在平面解析几何中， 定义了将平面绕原点 O 逆时针旋转 角的线性变换 取定 中的基 则容易验证 在这组基下的矩阵即为

10、例11 在空间 中， 取定一个直角坐标系 对于 中的任意一个向量 ， 令显然 是 的一个线性变换 关于基的矩阵表示为 定理3 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 的一组基 向量定义集合 到 的一个对应 ， 对任意的 满足： 如果 A 是 在基 下的矩阵表示， 那么 是 到 的一个一一对应 是线性空间 V 上所有线性变换的集合；是数域 F 上所有 n 阶方阵的集合定理4 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 线性变换在 V 的一组基 下的矩阵表示为 A 如果向量 在 下的坐标向量为 那么 在 下的坐标向量 定理5 设 V 是数域 F 上的一个 n 维线性空间， 中定义的 到 的一一

11、对应 是定理 3向是 V 中取定的一组基， 量那么，对于任意 ， ，有1） ；2） ；3） ；4）如果 是可逆的线性变换， 那么 为可逆矩阵， 且二、相似矩阵 例12 对于数域 F 上的线性空间 ， 得直接验证可也是 的一组基 多项式的微商运算 在这组基下的矩阵表示为 线性变换在两组不同的基下的矩阵是不同 定义10 设 A, B 是两个 n 阶方阵 如果存在一个 n阶可逆矩阵 P ， 使得则称 A 与 B 相似，或者说 B 是 A 的相似矩阵通常将 A 与 B 相似记作 矩阵之间的相似关系满足如下性质： 2）对称性：如果 ，那么 ；3）传递性：如果 ， ，那么 ，1）自反性： ；其中 A, B, C 均为 n 阶方阵定理6 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 向量和 是 V 的两组基 基 到基 的过渡矩阵为 P ， 如果 在这两组基下的矩阵表示分别为 A, B， 那么 即 换句话说，同一