石大线代4课件

1、 一些概念线性变换、矩阵、实（复）矩阵、同型矩阵； n阶方阵、行矩阵、列矩阵；零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、数量矩阵。 一些结论线性变换与矩阵是一一对应的。前次课内容回顾矩阵相等矩阵的加法、数乘。引言 设有两个线性变换则称此线性变换为前两线性变换的乘积。三、矩阵与矩阵相乘则可得 到 的变换。其中的矩阵分别为： 自然地，我们也把乘积变换的矩阵 C 称为前面两个变换的矩阵A与B的乘积。即：注意：矩阵A、B、C的行、列数间的关系。由此，引出矩阵乘积的定义如下：并把此乘积记作 C=AB 注意矩阵的行数、列数要求：即；只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两 个矩阵才能相乘。(C=AB为11的矩阵，D

2、=BA为33的矩阵)例（教材P42习题4（1）（2）思考 设 A 为13矩阵，B 为31矩阵，问 C=AB 与 D=BA 的阶数分别如何？计算可见，在本例中 ABBA。注：矩阵乘法一般不满足交换律和消去律。解如果 XY=0一定能推出 X=0 或 Y=0则称这种运算“ ” 满足消去律。例（教材P37例4）求矩阵 的乘积 AB 及 BA 。注 此式用数学归纳法易证，这里略。 下面解释式子的直观意义。 （*）式左端矩阵所对应的线性变换为例（教材P38例6）求证得到点 表示将平面上的点，沿逆时针方向旋转角(*）式右端矩阵所对应的线性变换表示将平面上的点，沿逆时针方向旋转 n角得到点 故 * 式意义为:

3、 接连 n 次沿逆时针方向旋转角，相当 于一次沿逆时针方向旋转 角。定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵， 叫做 A的转置，记作四、矩阵的转置答: 思考:设有矩阵 满足 , 问:矩阵A,B有什么关系?如证 设A是任一个n 阶方阵，则证毕2.(P43第11题(1)(2) 证明：任何一个 n 阶方阵都可表示 为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。补充例题证 注意到 XTX 是一个数，而 XXT 是 n 阶方阵。证毕3. (P40例 8) 设列矩阵 满足 E为 n 阶单位矩阵， 证明 H 是对称矩阵， 且所以 H 是对称阵。又设 A，B为 n 阶方阵，为数，则有：( (1),(2)是显然的

4、，(3)的证明可见P40，课内略。)五、方阵的行列式 记作 定义 由 n 阶方阵 A的元素所构成的行列式(各元素的位 置不变），叫做方阵 A的行列式。利用方阵的行列式，就可以讨论伴随矩阵及其性质。称为方阵A的伴随矩阵。请注意伴随矩阵的构造。定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所构 成的如下方阵注：易知 2.2 逆 阵 引言 逆阵是矩阵理论中的一个重要内容。 前面我们知道线性变换与矩阵是一一对应的，且乘积矩阵对应于乘积变换，同样矩阵的逆也对应线性变换的逆。为了给出逆阵的定义，我们先介绍线性变换的逆变换。记其系数矩阵为A，又记则（7）可记为 Y=AX （8） 设给定一个由 到 的线性变换，通常称

5、线性变换（9）为线性变换（7）的逆变换。用矩阵记法，(9)可记为（记系数矩阵为B）， X=BY （10）下面我们分析互逆变换中矩阵之间的关系。由克莱姆法则知，当 时，从（7）可得：由（9）式: Y=AX 和（10）式: X=BY，立得由线性变换与矩阵间的一一对应性，知应有 AB=BA= E ，定义 对于 n 阶方阵 A ，如果有一个n 阶方阵 B，使 AB=BA= E , 则说方阵 A 是可逆的，并称方阵 B为 A 的逆阵。A的逆阵常记为 。这便是A, B应满足的关系,由此给出：注 1 定义提供了验证B是A的逆阵的方法。注 2 若 A 可逆，则 A 的逆阵是唯一的。故因为例如故 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C。 事实上，若B，C都是A的逆阵，则有 AB=BA=E AC=CA=E 定理1,2 方阵 A可逆的充要条件是 ， 且在 A 可逆时，有证例 求2 阶方阵的逆阵。解结论：A可逆的充要条件是A为非奇异的。当 时，常称A是非奇异的，因此证注 本推论的意义是，当要验证 时，只需验证 AB=E 与 BA=E 二者中之一即可。 推论 对方阵A、B ,若 AB=E (或 BA=E )则 。 方阵的