备战2022年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题16恒成立问题-参变分离法

1、备战2021年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题16恒成立问题参变分离法PAGE PAGE 40专题16 恒成立问题参变分离法【热点聚焦与扩展】无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.利用导数求解含参数的问题时，首先，要具备必要的基础知识(导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等);其次，要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等.1、参变分离：顾名思义，

2、就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.

3、例如：，等（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）（1）若的值域为 ，则只需要 ，则只需要，则只需要 ，则只需要，则只需要 ，则只需要，则只需要 ，则只需要（2）若的值域为 ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ，则只

4、需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要x/k-+w5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可.【经典例题】例1【2018年（衡水金卷调研卷）三】若存在x1e,e，不等式2xlnx+A. 1e+3e-2 B. 2+

5、e+3e【答案】A【解析】2xlnx+m2lnx+x+设hx=2lnx+x+hm故选A例2.【2018届河北省邯郸市高三1月】已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】最大值,因为当时 令 因此,由因为为偶函数,所以最大值为, ,选C.例3【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考评】已知在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】在上是增函数，在上恒成立故选例4【2018届湖南省张家界市高三三模】若函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，

6、不妨设，则，由时为减函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而此时函数为增函数，一减一增为减，故不合题意；同理由时为增函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而当时，函数为增函数，因此当时，同增为增，满足题意.故选D.例5.已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法解：，其中只需要，令 （导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函【名师点睛】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点

7、）等确定符号.例6【2018届山西省孝义市高三下学期一模】已知函数fx（1）讨论函数fx（2）当x1,+时，曲线y=fx【答案】（1）当a0时，函数fx在0,+上单调递增；当a0时，fx在0,-1a试题解析：（1）由fx=ax-a+lnx若a0，则fx0，函数若a0，则当0 x-1a时，fx综上，当a0时，函数fx在当a1时，x2-即证当x1时，a大于h又当x1时，0lnx综上所述，a1【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数afx恒成立(afxmax即可)或afx恒成立（a例7【2018届广东省肇庆市高三三模】已知函数

8、f(x)=m+（）讨论fx（）若m=4,kN* 【答案】（1）见解析;（2）6.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求导，再对m分类讨论，求函数f(x)的单调区间. (2) 先分离参数(x+1)(4+（2）由kx+10时，fxfx设ua=lnuau当aa2而xex0时，ln1+a综上可知，当a0时，f例9【2018届黑龙江省大庆市高三第二次检测】已知函数f( (I) 当a0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为fxmin0（3）若fxgx恒成立，可构造新函数例10【2018届山东天成高三第二次大联考】已知函数f(x)=（1）讨论函数g(x（2）若a=1，f(x)mg【

9、答案】(1)答案见解析；(2)-,2.解析；（1）g(x所以g讨论：当a0时，对x(-,0)或所以函数g(x)=x-当a0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为fxmin0 ，若fxf(4若函数f(x)sin xax为R上的减函数，则实数a的取值范围是_【答案】(，1【解析】因为f(x)=sinx+ax是R上的减函数，所以f(x)0恒成立，即f(x)=5【2018年（衡水金卷信息卷）三】已知函数fx=1（1）若曲线y=fx在点2,f2（2）当a0,1，x1,x2【答案】（1）函数fx的单调递增区间为2,+，单调递减区间为1,2；【解析】试题分析：(1)由题意点2，f2处

10、的切线方程为y=2x，求出a解析：（1）函数fx的定义域为xfx=x-f当x2-20，即x2时，当1x2时，f所以函数fx的单调递增区间为2,+，单调递减区间为（2）函数f=x则fx2-即fx设函数g=1由gx2gx1，得即x2也即3-2xa+x2因为3-2x0，可知a=0即x2x2由x2-2x即取值范围为4,+.6【2018届宁夏石嘴山市高三4月（一模）】已知函数fx=ex+（1）若函数fx在x=0处取得极值，求实数a的值；并求此时fx（2）若函数fx不存在零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）1e（2）-e【试题解析】解：（1）函数fx的定义域为R，ff0在-,0上fx0，fx单调递减，

11、在0,+上所以x=0时fx取极小值.所以fx在-2,0又f-2=1e2当x=-2时，fx在-2,1的最大值为（2）fx所以函数fx存在零点a5【答案】（1）a-2；（2）【解析】试题分析：（1）利用单调性的定义，根据函数y=f(x)在定义域上是减函数，可得不等式a-2x试题解析：（1）任取x1则有fx即a-2x1（2）2x-2x2-5x=2x-x=1时，函数取得最小值-3，即a8【2018届江苏省无锡市高三第一学期期末】已知函数f(x)=ex(3（1）求过点(2,0)和函数y=f（2）若对任意xR，有f(x)g（3）若存在唯一的整数x0，使得f(x0【答案】（1）y=x-2，y=9e83aex

12、(3x-2)x当x=2时，恒成立，故此时aR；当x(2,+)利用导数工具求得Fmin(x)=F(8（3）因为f(x)g当x(-,2)，原命题等价于aex(3x-2)x-2存在唯一的整数x0成立，利用导数工具求得a5当x0=0时，切线方程为当x0=83时（2）由题意，对任意xR有e当x(-,2)时，a令F(x)=ex(3x-2)xFmax(x)=当x=2时，恒成立，故此时a当x(2,+)时，a令F(x当x(-,2)，存在唯一的整数x0使得等价于aex(3因为F(83)=9e83最小，且F(3)=7e所以当a7e3时，没有整数成立，综上：a9【2018届河南省焦作市高三第四次模拟】已知.（）若，讨

13、论的单调性；（）当在处的切线与平行时，关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.【答案】（）在上单调递减，在上单调递增.（）.立，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到实数的取值范围 试题解析：（）因为，所以，当时， ，所以在上单调递减，当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.（）由（）得，由，得，不等式即，得在上恒成立.设，则.设，则，在区间上， ，则函数递增，所以，所以在区间上， ，函数递减.当时， ，而，所以，因为在上恒成立，所以.10【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】函数.(1)若函数在点处的切线与直线平行,求实数的值；(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范

14、围；(3)在(1)的条件下,求的最小值.【答案】(1) ；(2) ；(3)1.单调性，即可求出，从而可得实数的取值范围；（3）根据（1）的条件，利用导数研究函数的单调性，可推出恒成立，从而在上递增，结合零点存在性定理，即可求得的最小值.试题解析：（1）函数函数在点处的切线与直线平行 （2）由题意，需在恒成立，即在恒成立.令，则.又使得，此时时递减， 时递增点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.11【2018届江西省高三监测】已知

15、函数.（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；（2）若关于的方程， 有实数解，求整数的最大值.【答案】(1) ;(2)0.【解析】试题分析：（1）函数有两个极值点等价于有两个可变零点，即方程有两个不等的正实数根,（2）方程,即,记函数,，问题转化为直线与的交点情况.(2)方程,即,记函数,， , 令 , 单调递减, , 存在,使得,即, 当, 递增, , 递减,即, 故,整数的最大值为 12【2018届山东高三天成大联考第二次】已知函数f(x)=（1）讨论函数g(（2）若a=1，f(x)mg【答案】(1)答案见解析；(2)-,2.【解析】试题分析：（1）对函数求导研究函数的单调性，通过导函数的