信号处理课件3-2dtftdfs

1、13.3 序列的傅里叶变换（DTFT） 非周期序列的频谱 1.定义 可从 z 变换引出序列的傅里叶变换，也可直接给出定义。序列 x(n)的 z 变换为 由s-z平面的映射关系z= e sT可知，s平面的虚轴对应于z平面上的单位圆。 如果X(z)在单位圆上是收敛的，则把单位圆上的z变换定义为序列的傅立叶变换X(e j)，表示为22. 物理意义连续信号的傅里叶变换是 比较两式，有许多相仿之处：3 e j t e jn ：前者是连续信号不同频率的复指数分量；后者是序列在不同频率的复指数分量。 ：前者是模拟角频率；后者是数字角频率。 x(t) x(n)：x(t)连续时间信号在时域的表示，可分解为一系列

2、不同频率的复指数分量的叠加，分量的复振幅为X()；x(n)是离散时间信号在时域的表示，可分解为不同数字角频率分量的叠加，分量的复振幅为X(e j)。 X( ) X(e j) ：X( )是连续信号的频谱密度，是频谱的概念；X(e j)是序列的傅里叶变换，与X( )在连续信号傅里叶变换的表达式中一样起着相同的作用，可以看作是序列的频谱。4 X(e j )是 的复函数 X(e j ) =X(e j ) e j() = ReX(e j ) + jImX(e j ) X(e j )称为幅度谱， ()称为相位谱， X(e j )表示序列x(n)的频域特性，称为序列的频谱。 序列的傅里叶变换也称为离散时间傅

3、里叶变换（DTFT-Discrete Time Fourier Transform），通常用以下符号表示对x(n)取傅里叶变换或逆变换。5 3. 特点 因为e j 是以2为周期的周期函数，而X(e j )是e j的函数，所以X(e j )也是以2为周期的连续周期函数。 4. 序列傅里叶变换的存在条件 因为序列的傅里叶变换是单位圆上的z变换，所以它要存在，序列的z变换在单位圆上必须收敛，即也就是存在条件：序列必须绝对可和。6 例3-2 若x(n) = R5(n) = u(n) u(n 5) ，求此序列的傅里叶变换X(e j) 。 解： X(e j) = DTFT x(n) 7 X(e j)0 2

4、/5 4/5 6/5 8/5 2-2 ()0 0 1 2 3 4 1nx5(n)8 例3-3 若离散时间系统的理想低通滤波器频率特性如图示，求它的傅里叶逆变换h(n)。解： h(n) = IDTFT H(e j) 1H(e j)c=/4cn0h(n)93.4 离散傅里叶级数(DFS)Discrete Fourier Series 已讨论三种类型信号的变换（1）连续非周期信号 时域连续，频域连续；（2）连续周期信号 时域连续(周期)，频域离散（3）非周期序列 时域离散，频域连续(周期)（4）周期序列 ? 从以上三种信号在时域和频域上的对称性中总结出某些规律，定性地推断出离散周期序列频谱的基本特点

5、，然后定量描述。3.4.1 傅里叶变换在时域和频域中的对称规律（1）非周期连续时间信号的频谱 连续时间与连续频谱10（2）周期信号的频谱 连续时间与离散频率 当连续时间信号为周期函数时，其傅里叶变换具有离散特性，呈冲激序列。时域上的周期化将产生频谱的离散化。（3）序列的频谱 离散时间与连续频率 非周期性的离散时间函数的傅里叶变换呈周期性的连续函数。DTFT就是这种情况。时域上的离散化将产生频谱的周期化。11t xa(t) txp(t)Xp()n xa(n) nxp(n)X()Xa()X(ej)12（4）离散时间与离散频率 离散的周期时间函数可以用周期信号的冲激抽样来描述，也可以用周期序列来描述

6、，它们的频谱根据冲激抽样信号的频谱与序列频谱表示，这两个频谱根据在数值上相等，仅是频率坐标及其比例尺不同而已。 离散的周期时间函数的频谱的特点是：周期离散谱 各种信号在时、频域上关于离散性和周期性对称性的一般规律： 在某一域（时、频域）中是连续的，相应地在另一个域（频、时域）是非周期的。 在某一域（时、频域）中是离散的，相应地在另一个域（频、时域）是周期的。133.4.2 离散傅里叶级数 公式推导的出发点：把离散周期信号看成是对离散信号进行周期化的结果。由于时间函数也呈周期性，故级数取和应限制在一个周期之内，设抽样间隔为T，一个周期T1内抽样点数为N，则有T1 = N T离散时间函数的时间间隔T与频率函数的重复周期s之间满足s = 2 /T，而离散频率函数的间隔1与时间函数周期T1的关系是1 = 2 /T1。14 离散傅里叶级数DFS15 将上式两边乘以 ，再进行求和运算，得下面推导由反变换公式推出正变换公式：改变求和顺序因此，有16 对上式的理解：1）认为是一个N点的有限长序列，它代表k = 0,1,2, , N-1个复指数