2021-2022学年北京汇文中学中学部高三数学文测试题含解析

1、2021-2022学年北京汇文中学中学部高三数学文测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线与圆：相交于A，B两点（O为坐标原点），则“”是“”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：A2. 当x1时，不等式x+a恒成立，则实数a的取值范围是A(,2B2,+)C3,+)D(,3 参考答案：D3. 已知函数f（x）是偶函数，当x0时，则在（2，0）上，下列函数中与f（x）的单调性相同的是（）Ay=x2+1By=|x+1|Cy=e|x|D参考答案：C【考点】奇偶性与单调

2、性的综合；函数奇偶性的判断【分析】先判断函数f（x）的单调性和奇偶性，然后进行判断比较即可【解答】解：f（x）是偶函数，当x0时，当x0时函数f（x）为增函数，则在（2，0）上f（x）为减函数，A在（2，0）上y=x2+1为增函数，不满足条件By=|x+1|在（，1）上是减函数，在（2，0）上不单调，不满足条件Cf（x）在（2，0）上是单调递减函数，满足条件D当x0时，f（x）=x3+1是增函数，不满足条件故选：C4. 函数的定义域为（ ）A（0，+）B0，+C（1，+）D1，+）参考答案：A略5. 若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则（ ） A B C D参考答案：A6

3、. 如右图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()参考答案：D7. 已知A、B是两个不同的点，是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则，；，；，；，其中真命题为（ ）A B C D参考答案：B8. 某地流行一种游戏，如图一是一长方形纸盒，高为 ，宽为 ，纸盒底部是一个“心形”图案，如图二所示，“心形”图案是由上边界 （虚线 上方部分）与下边界 （虚线 下方部分）围成，曲线 是函数 的图象，曲线 是函数 的图象，游戏者只需向纸盒内随机投掷一颗瓜子，若瓜子落在“心形”图案内部即可获奖，则一次游戏获奖的概率为

4、（ ）A B C. D 参考答案：C9. 在中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（ ） A B C D参考答案：D略10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），以平面zOy为正视图的投影面，画该四面体的三视图，给出下列4个投影图形：则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A和B和C和D和参考答案：D考点：简单空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：好处几何体的直观图，然后判断三视图即可解答：解：由题意画出直观图如图，则正视图为，俯视图为，故选：D点评：本题考查三视图

5、与直观图的关系，考查空间想象能力二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个袋中装有1红，2白和2黑共5个小球，这5个小球除颜色外其它都相同，现从袋中任取2个球，则至少取到1个白球的概率为参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】记1个红球为A，2个白球为B1，B2，2个黑球为C1，C2，从中任取2个，利用列举法能求出至少取到1个白球的概率【解答】解：记1个红球为A，2个白球为B1，B2，2个黑球为C1，C2，从中任取2个的基本事件有10个，分别为：（A，B1），（A，B2），（A，C1），（A，C2），（B1，B2），（B1，C1），（B1，C2）

6、，（B2，C1），（B2，C2），（C1，C2），其中至少取到1个白球的基本事件有7个，故至少取到1个白球的概率为：p=故答案为：12. i + i2 + i3+ i2012= .参考答案：013. 已知= 。参考答案：2由得，所以。14. 设是定义在R上的周期为2的函数，当时，则 参考答案：1周期为2, 15. 在的展开式中，的系数是和的系数的等差中项，若实数，那么 。参考答案：16. 已知函数，则_参考答案：817. 设等差数列an的公差d0，前n项和为Sn，已知3是a2与a9的等比中项，S10=20，则d=参考答案：2【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列通项公式、等比中项定义、等

7、差数列前n项和公式，列出方程组，由此能求出公差d【解答】解：等差数列an的公差d0，前n项和为Sn，3是a2与a9的等比中项，S10=20，解得a1=11，d=2故答案为：2【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分14分）已知数列(1)求出；(2)猜想前项和并证明。参考答案：解：（1）由已知，得 （2）由（1）可归纳猜想得 证明： 略19. 如图，在三棱锥PABC中，ABC是边长为2的正三角形，PCA=90，E，H分别为AP，AC的中

8、点，AP=4，BE=（）求证：AC平面BEH；（）求直线PA与平面ABC所成角的正弦值参考答案：考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（）证明：BHAC，EHAC，即可证明AC平面BEH；（）取BH得中点G，连接AG，证明EAG为PA与平面ABC所成的角，即可求直线PA与平面ABC所成角的正弦值解答：（）证明：因为ABC是边长为2的正三角形，所以BHAC又因为E，H分别为AP，AC的中点，得EHPC，因为PCA=90，所以EHAC故AC平面BEH（）解：取BH得中点G，连接AG因为EH=BH=BE=，所以EGBH又因为AC平面BEH，所以

9、EGAC，所以EG平面ABC所以EAG为PA与平面ABC所成的角在直角三角形EAG中，AE=2，EG=，所以sinEAG=所以PA与平面ABC所成的角的正弦值为点评：本题考查线面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确利用线面垂直的判定定理是关键20. 已知点O为的外心，角A、B、C的对边分别是、，且满足（）证明：； 来源:（）求的值参考答案：同理；所以。8分（）15分21. 已知等差数列an，满足a3=7，a5+a7=26（）求数列an的通项an；（）令bn=（nN*），求数列bn的前n项和Sn参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（）利用等差中项及a5+a

10、7=26可知a6=13、，通过an=a3+（n3）d计算即得结论；（）通过（1）裂项可知，进而并项相加即得结论【解答】解：（）设an的首项为a1，公差为d，a5+a7=26a6=13，an=a3+（n3）d=2n+1；（）由（1）可知，22. 某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组75，80），第二组80，85），第三组85，90），第四组90，95），第五组95，100，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60（）请在图中补全频率分布直方图；（）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，求甲同学面试成功的概率；若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有名学生被考官B面试，求的分布列和数学期望参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；频率分布直方图【分析】（）由第四组的人数能求出总人数，由此能补全频率分布直方图（）设事件A=甲同学面试成功，由此利用独立事件概率公式能求出甲同学面试成功的概率由题意得，