函数的奇偶性及周期性 高考数学专题复习要点及习题解答

1、函数的奇偶性及周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期小题体验1(2015北京高考)下列函数

2、中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x| Dy2x答案：B2若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(8)f(14)_.答案：13(教材习题改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x0时，f(x)_.答案：x(1x)1判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)或f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)或f(x0)f(x0)3分段函数奇偶性判定时，误用函

3、数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性小题纠偏1已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()Aeq f(1,3) B.eq f(1,3)C.eq f(1,2) Deq f(1,2)解析：选Bf(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，aeq f(1,3).又f(x)f(x)，b0，abeq f(1,3).2设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时， f(x)eq blcrc (avs4alco1(4x22，1x0，,x， 0 x0，,x2x，x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x

4、0) 越变越明变式1若母题中条件变为“f(x2)eq f(1,fx)”，求函数f(x)的最小正周期解：对任意xR，都有f(x2)eq f(1,fx)，f(x4)f(x22)eq f(1,fx2)eq f(1,f(1,fx)f(x)，f(x)的最小正周期为4.变式2若母题条件改为：定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.求f(1)f(2)f(3)f(2 015)的值解：f(x6)f(x)，T6.当3x1时，f(x)(x2)2；当1x0时，f(x)x2x1，则当x0时，f(x)_.解析：f(x)是定义在R上的偶函数，当x0.由已知f(

5、x)(x)2(x)1x2x1f(x)，f(x)x2x1.答案：x2x12设函数f(x)eq f(x1xa,x)为奇函数，则a_.解析：f(x)eq f(x1xa,x)为奇函数，f(1)f(1)0，即eq f(111a,1)eq f(111a,1)0，a1.答案：1角度二：单调性与奇偶性结合3(2015昆明统考)下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(，0)上单调递增的函数是()Af(x)x2Bf(x)2|x|Cf(x)log2eq f(1,|x|) Df(x)sin x解析：选C函数f(x)x2是偶函数，但在区间(，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)2|x|是偶函数，但在区间(，0)上单调

6、递减，不合题意；函数f(x)log2eq f(1,|x|)是偶函数，且在区间(，0)上单调递增，符合题意；函数f(x)sin x是奇函数，不合题意4(2015刑台摸底考试)已知定义在(1,1)上的奇函数f(x)，其导函数为f(x)1cos x，如果f(1a)f(1a2)0，则f(x)是定义在(1,1)上的奇函数、增函数不等式f(1a)f(1a2)0等价于f(1a2)f(1a)f(a1)，则11a2a11，由此解得1aeq r(2).角度三：周期性与奇偶性结合5已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)eq f(2a3,a1)，则实数a的取值范围为()A(1,4) B(

7、2,0)C(1,0) D(1,2)解：选Af(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)eq f(2a3,a1)，eq f(2a3,a1)1，即eq f(a4,a1)0，解得1a4.角度四：单调性、奇偶性与周期性结合6已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析：选D因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(2

8、5)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)0时，f(x)eq r(x)1，则当x0时，f(x)eq r(x)1，当x0，f(x)f(x)(eq r(x)1)，即x0时，f(x)(eq r(x)1)eq r(x)1.答案：eq r(x)1二保高考，全练题型做到高考达标1下列函数中，与函数y3|x|的奇偶性相同，且在(，0)上单调性也相同的是()Ay

9、eq f(1,x)Bylog2|x|Cy1x2 Dyx31解析：选C函数y3|x|为偶函数，在(，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C符合要求2已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)f(x)g(x)，则 “f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选B一方面，若f(x)，g(x)均为偶函数，则f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)

10、是偶函数；另一方面，若h(x)是偶函数，但f(x)，g(x)不一定均为偶函数，事实上，若f(x)，g(x)均为奇函数，h(x)也是偶函数，因此，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的充分不必要条件3(2016广东省阳东一中、广雅中学高三联考)已知函数f(x)是定义在(，)上的奇函数，若对于任意的实数x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时f(x)log2(x1)，则f(2 013)f(2 014)的值为()A1 B2C2 D1解析：选A因为f(x)是奇函数，且周期为2，所以f(2 013)f(2 014)f(2 013)f(2 014)f(1)f(0)又当x0,2)时，

11、f(x)log2(x1)，所以f(2 013)f(2 014)101.4定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0,1上是增函数，则有()Af eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)Bf eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)Cf eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)f eq blc(rc)(avs4a

12、lco1(f(3,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)Df eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)解析：选B由题设知f(x)f(x2)f(2x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称又函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在0,1上是增函数，故f(x)在1,0上也是增函数，综上函数f(x)在1,1上是增函数，在1,3上是减函数又f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)f eq blc(rc)(a

13、vs4alco1(2f(3,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，所以f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)0的x的集合为_解析：由奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)0，得函数yf(x)在(，0)上递增，且f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)0，f(x)0时，xeq f(1,2)或eq f(1,2)x0的x的集合为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(1,2)xf(1,

14、2).答案：eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(1,2)xf(1,2)7已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x，则f(1)，g(0)，g(1)之间的大小关系是_解析：在f(x)g(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x中，用x替换x，得f(x)g(x)2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此得f(x)g(x)2x.联立方程组解得f(x)eq f(2x2x,2)，g(x)eq

15、 f(2x2x,2)，于是f(1)eq f(3,4)，g(0)1，g(1)eq f(5,4)，故f(1)g(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)8设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0 x1时，f(x)2x1，则f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)f(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)_.解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1)f eq blc(rc)

16、(avs4alco1(f(3,2)f(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(0)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(0)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1)f(0)2eq f(1,2)1211201eq r(2

17、).答案：eq r(2)9设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0 x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.解：(1)由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)从而可知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0 x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示设当4x4时，f(x)的图象与x轴围

18、成的图形面积为S，则S4SOAB4eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)21)4.10已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(x22x，x0，,0，x0，,x2mx，x0)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x1，,a21，)所以1a3，故实数a的取值范围是(1,3三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016河南模拟)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x0，)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2) D(2,1)解析：选D设x0，则x0.x0)，f(x)eq blcrc (avs4alco1(x3，x0，,ln1x，x0.)其图象如图所示由图象知，函数f(x)在R上是增函数f(2x2)f(x)，2x2x，即2x1.所以实数x的取值范围是(2,1)2函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4