2022版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程学案理

1、2021版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程学案理PAGE PAGE 3381直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理1直线的斜率(1)当90时，tan表示直线l的斜率，用k表示，即ktan.当90时，直线l的斜率k不存在(2)斜率公式给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为 keq f(y2y1,x2x1).2直线方程的五种形式诊断自测1概念思辨(1)直线的斜率为tan，则其倾斜角为.()(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(3)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()

2、(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P109A组T2)如果AC0，且BC0，在y轴上的截距eq f(C,B)0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限故选C.(2)(必修A2P95T3)倾斜角为150，在y轴上的截距为3的直线方程为_答案yeq f(r(3),3)x3解析由直线的倾斜角为150，知该直线的斜率为ktan150eq f(r(3),3)，依据直线的斜截式方程ykxb，得yeq f(r(3),3)x3.3小题热身(1)(2017贵州

3、模拟)已知直线l经过点P(2,5)，且斜率为eq f(3,4)，则直线l的方程为()A3x4y140 B3x4y140C4x3y140 D4x3y140答案A解析由点斜式方程知直线l的方程为y5eq f(3,4)(x2)，即3x4y140.故选A.(2)已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A1 B1C2或1 D2或1答案D解析当a0时，直线方程为y20，不满足题意，所以a0，所以在x轴上的截距为eq f(2a,a)，在y轴上的截距为2a，则由2aeq f(2a,a)，得a2或a1.故选D.题型1直线的倾斜角与斜率eq o(sup7(),sdo5(典例)直线l过点P(

4、1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq r(3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_数形结合，由斜率公式求得kPA，kPB.答案(，eq r(3)1，)解析如图，kAPeq f(10,21)1，kBPeq f(r(3)0,01)eq r(3)，k(，eq r(3)1，)方法技巧求直线倾斜角与斜率问题的求解策略1求直线倾斜角或斜率的取值范围时，常借助正切函数ytanx在0，)上的单调性求解，这里特别要注意，当eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)时，斜率k0，)；当eq f(,2)时，斜率不存在；当eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)时，斜率k

5、(，0)2先画出满足条件的图形，找到直线所过的点，然后求定点与端点决定的直线的斜率见典例冲关针对训练已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1,1)和Q(2，2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是_答案eq f(2,3)meq f(1,2)解析如图所示，直线l：xmym0过定点A(0，1)，当m0时，kQAeq f(3,2)，kPA2，kleq f(1,m)，eq f(1,m)2或eq f(1,m)eq f(3,2)，解得0meq f(1,2)或eq f(2,3)m0；当m0时，直线l的方程为x0，与线段PQ有交点实数m的取值范围为eq f(2,3)meq f(1,2).题

6、型2直线方程的求法eq o(sup7(),sdo5(典例)求适合下列条件的直线的方程：(1)在y轴上的截距为5，倾斜角的正弦值是eq f(3,5)；(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)经过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍根据已知条件代入相应公式，分别为斜截式、截距式、点斜式解(1)设直线的倾斜角为，则sineq f(3,5).coseq f(4,5)，直线的斜率ktaneq f(3,4).又直线在y轴上的截距是5，由斜截式得直线方程为yeq f(3,4)x5.即3x4y200或3x4y200.(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0,

7、0)和(3,2)l的方程为yeq f(2,3)x，即2x3y0.若a0，则设l的方程为eq f(x,a)eq f(y,a)1.l过点P(3,2)，eq f(3,a)eq f(2,a)1.a5，l的方程为xy50.综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.(3)设直线y3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.tan3，tan2eq f(2tan,1tan2)eq f(3,4).又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3eq f(3,4)(x1)，即3x4y150.方法技巧给定条件求直线方程的思路1求直线方程常用的两种方法(1)直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如本例(1)、(3

8、)求直线方程，则直接利用斜截式即可(2)待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可必要时要注意分类讨论，如本例(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解2设直线方程的常用技巧(1)已知直线纵截距b时，常设其方程为ykxb或yb.(2)已知直线横截距a时，常设其方程为xmya.(3)已知直线过点(x0，y0)，且k存在时，常设yy0k(xx0)冲关针对训练根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为eq f(r(10),10)；(2)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜

9、式设倾斜角为，则sineq f(r(10),10)(0)，从而coseq f(3r(10),10)，则ktaneq f(1,3)，故所求直线方程为yeq f(1,3)(x4)，即x3y40或x3y40.(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x50，满足题意当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点线距离公式，得eq f(|105k|,r(k21)5，解得keq f(3,4)，故所求直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或3x4y250.题型3直线方程的综合应用角度1由直线方程求参数问题eq o(sup7(),sdo5(典例)(2018泰

10、安模拟)已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a0，b0)，则eq f(2,a)eq f(1,b)1.又eq f(2,a)eq f(1,b)2eq r(f(2,ab)eq f(1,2)ab4，当且仅当eq f(2,a)eq f(1,b)eq f(1,2)，即a4，b2时，AOB面积Seq f(1,2)ab有最小值为4.此时，直线l的方程是eq f(x,4)eq f(y,2)1，即x2y40.(2)设所求直线l的方程为y1k(x2)则可得Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(2k1,k)，0)，B(0,12k)(k0，b0)设直线l的方程为eq f(x,a)eq

11、f(y,b)1，则eq f(1,a)eq f(1,b)1，所以|OA|OB|ab(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)2eq f(a,b)eq f(b,a)22eq r(f(a,b)f(b,a)4，当且仅当“ab2”时取等号，此时直线l的方程为xy20.(2)设直线l的斜率为k，则k0，cos0，sincoseq f(3r(5),5)，由解得eq blcrc (avs4alco1(sinf(2r(5),5)，,cosf(r(5),5)，)tan2，即l的斜率为2，故选D.3(2018江西南昌模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线yeq r(2x2)相交于

12、A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为()A150 B135 C120 D105答案A解析由yeq r(2x2)得x2y22(y0)，它表示以原点O为圆心，eq r(2)为半径的圆的一部分，如图所示由题意知直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l的方程为yk(x2)，则圆心到此直线的距离deq f(|2k|,r(1k2)，弦长|AB|2eq r(2blc(rc)(avs4alco1(f(|2k|,r(1k2)2)2eq r(f(22k2,1k2)，所以SAOBeq f(1,2)eq f(|2k|,r(1k2)2eq r(f(22k2,1k2)eq f(2k2

13、22k2,21k2)1，当且仅当(2k)222k2，即k2eq f(1,3)时等号成立，结合图可知keq f(r(3),3)eq blc(rc)(avs4alco1(kf(r(3),3)舍去)，故所求直线l的倾斜角为150.故选A.4(2014四川高考)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_答案5解析易知A(0,0)，B(1,3)，且PAPB，|PA|2|PB|2|AB|210，|PA|PB|eq f(|PA|2|PB|2,2)5(当且仅当|PA|PB|eq r(5)时取“”) 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018朝

14、阳模拟)直线xeq r(3)y10的倾斜角为()A.eq f(,6) B.eq f(,3) C.eq f(2,3) D.eq f(5,6)答案D解析直线斜率为eq f(r(3),3)，即taneq f(r(3),3)，00，b0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A1 B2 C4 D8答案C解析直线axbyab(a0，b0)过点(1,1)，abab，即eq f(1,a)eq f(1,b)1，ab(ab)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(1,b)2eq f(b,a)eq f(a,b)22eq r(f(b,a)f(a,b)4，当且仅当ab2时上式

15、等号成立直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.故选C.9(2017烟台期末)直线mxeq f(n,2)y10在y轴上的截距是1，且它的倾斜角是直线eq r(3)xy3eq r(3)0的倾斜角的2倍，则()Ameq r(3)，n2 Bmeq r(3)，n2Cmeq r(3)，n2 Dmeq r(3)，n2答案A解析根据题意，设直线mxeq f(n,2)y10为直线l，另一直线的方程为eq r(3)xy3eq r(3)0，变形可得yeq r(3)(x3)，其斜率keq r(3)，则其倾斜角为60，而直线l的倾斜角是直线eq r(3)xy3eq r(3)0的倾斜角的2倍，则直线l的倾斜角为120

16、，且斜率ktan120eq r(3)，又由l在y轴上的截距是1，则其方程为yeq r(3)x1；又由其一般式方程为mxeq f(n,2)y10，分析可得meq r(3)，n2.故选A.10若点(m，n)在直线4x3y100上，则m2n2的最小值是()A2 B2eq r(2) C4 D2eq r(3)答案C解析因为点(m，n)在直线4x3y100上，所以4m3n欲求m2n2的最小值可先求eq r(m02n02)的最小值而eq r(m02n02)表示4m3n100上的点(m，n)到原点的距离，如图当过原点和点(m，n)的直线与直线4m3n100垂直时，原点到点(m，n故m2n2的最小值为4.故选C

17、.二、填空题11已知P(3,2)，Q(3,4)及直线axy30.若沿eq o(PQ,sup6()的方向延长线段PQ与直线有交点(不含Q点)，则a的取值范围是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,3)，f(1,3)解析直线l：axy30是过点A(0，3)的直线系，斜率为参变数a，易知PQ，QA，l的斜率分别为：kPQeq f(1,3)，kAQeq f(7,3)，kla.若l与PQ延长线相交，由图可知kPQklkAQ，解得eq f(7,3)aeq f(1,3).12(2018石家庄期末)一直线过点A(3,4)，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是_答案x3y90或y4x16

18、解析设横截距为a，则纵截距为12a，直线方程为eq f(x,a)eq f(y,12a)1，把A(3,4)代入，得eq f(3,a)eq f(4,12a)1，解得a4，a9.a9时，直线方程为eq f(x,9)eq f(y,3)1，整理可得x3y90.a4时，直线方程为eq f(x,4)eq f(y,16)1，整理可得4xy160.综上所述，此直线方程是x3y90或4xy160.13过直线l：yx上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为_答案x2y20或x2解析若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x2，直线m，直线l和x轴围成的三角形面积为2，符合

19、题意；若直线m的斜率k0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；若直线m的斜率k0，设其方程为y2k(x2)，令y0，得x2eq f(2,k)，依题意有eq f(1,2)eq blc|rc|(avs4alco1(2f(2,k)22，即eq blc|rc|(avs4alco1(1f(1,k)1，解得keq f(1,2)，所以直线m的方程为y2eq f(1,2)(x2)，即x2y20.综上知，直线m的方程为x2y20或x2.14在下列叙述中：若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为ktan；若直线斜率k1，则它的倾斜角为135；已知点A(1，3)，B(1,3)，则直线AB的倾斜角为90；若直线过点(1,2

20、)，且它的倾斜角为45，则这条直线必过点(3,4)；若直线斜率为eq f(3,4)，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点其中正确的命题是_(填序号)答案解析当90时，斜率k不存在，故错误；倾斜角的正切值为1时，倾斜角为135，故正确；直线AB与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90，故正确；直线过定点(1,2)，斜率为1，又eq f(42,31)1，故直线必过点(3,4)，故正确；斜率为eq f(3,4)的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故错误三、解答题15设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，a2，方程即为3xy0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.eq f(a2,a1)a2，即a11.a0，方程即为xy20.综上，l的方程为3xy0或xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，eq blcrc (avs4alco1(a10，,a20)或eq blcrc (av