专题01 单调性的几个等价命题-2023年高考数学核心压轴题（新高考地区专用）

1、专题01 单调性的几个等价命题【方法点拨】函数f(x)为定义域在上的增函数对任意，当时,都有；对任意，当时,都有函数f(x)kx为上的增函数说明：含有地位同等的两个变量x1 , x 2 或,等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）.【典型题示例】例1 （2022江苏南通海安12月考8）已知f(x)x22ax1，对任意x1、x21，)且x1x2，恒有x2f(x1)x1f(x2)a(x1x2)成立，则实数a的取值范围是（ ）A. (，2B. (，3C. (，72D. (0，7【答案】A【分

2、析】由已知条件可得函数g(x)=f(x)x+ax【解析】由x2f(x1所以f(因为x1,x所以函数g(x)=f(x)所以g(x所以x2+1-a0在1,+所以a2所以实数a的取值范围是(-故选：A例2 已知函数，在其图象上任取两个不同的点、，总能使得，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据结合，可得出，可知函数在上为增函数，可得出，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.【解析】由以及，所以，构造函数，则，所以，函数在上为增函数，由于，则对任意的恒成立，由，可得，当时，则，当且仅当时，等号成立，所以，因此实数的取值范围是.故选：B.例3 已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过(0,

3、1)点，对任意，当时,都有，则不等式)的解集为( )A.(In2, +)B.(-,ln2)C.(In 2,1)D.(0, ln 2)【答案】D【分析】移项通分，按结构相同、同一变量分成一组的原则，将化为令，故在R上单增，且可化为即，所以，解之得所以不等式)的解集为(0, ln 2).点评：f(x)在单增（减）对任意，当时，都有 ；结构联想，当题目中出现，应移项通分转化为，即F(x)=f(x)ax在单增.例4 已知函数，对于任意，当时，不等式 恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】同构后不等式两边具有结构的一致性，构造新函数，直接转化为函数的单调性.【解析】不等式可变形为，即，当，且恒成

4、立，所以函数在上单调递减.令则在上恒成立，即在上恒成立. 设，则.因为当时，所以函数在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为.例5 已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则，的大小关系为A.B.C.D.【答案】D【解析】构造函数，则因为是定义在上的奇函数，故为定义域是 的偶函数又对任意两个不相等的正数都有，即，故在上为减函数.综上, 为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减.又，且所以，即,故答案为：D.【巩固训练】1. 已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D2.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD3.若对x1，x2(

5、m，)，且x1x2，都有eq f(x1ln x2x2ln x1,x2x1)1，则m的最小值是()注：(e为自然对数的底数，即e2.718 28)A.eq f(1,e) Be C1 D.eq f(3,e)4.已知函数，对任意的，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD5.已知是定义在上的奇函数，且，当，且时，成立，若对任意的恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A B C D6.设函数是定义在上的奇函数，若对任意两个不相等的正数都有，则不等式的解集为_.7.已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是 8.已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）A7B8C9D11【答

6、案与提示】1. 【答案】B【解析】因为函数对任意，都有成立，所以函数在定义域内单调递减，所以.故选B.2. 【答案】A【分析】令，由可知在上单调递增，从而可得在上恒成立；通过分离变量可得，令，利用导数可求得，从而可得，解不等式求得结果.【解析】由且得：令，可知在上单调递增在上恒成立，即：令，则时，单调递减；时，单调递增 ，解得：本题正确选项：点评：本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型.3

7、.【答案】C【解析】由题意，当0mx1x2时，由eq f(x1ln x2x2ln x1,x2x1)1，等价于x1ln x2x2ln x1x2x1，即x1ln x2x1x2ln x1x2，故x1(ln x21)x2(ln x11)，故eq f(ln x21,x2)eq f(ln x11,x1)，令f(x)eq f(ln x1,x)，则f(x2)x1m0，故f(x)在(m，)上单调递减，又由f(x)eq f(ln x,x2)，令f(x)1，故f(x)在(1，)上单调递减，故m1.4. 【答案】B【解析】因为，不妨设，则可化为，即设则恒成立，即对任意的，且时恒成立，即对任意的，且时恒成立所以在R上单

8、增故在R上恒成立所以，故所以实数的取值范围是， 选B5. 【答案】B【解析】令，则，成立，则为单调增函数，若对任意的恒成立，则，即，即都有，令，则，故选B6.【答案】【解析】构造函数,则因为是定义在上的奇函数,故为定义域是 的偶函数,又对任意两个不相等的正数都有,即,故在上为减函数.又,故.综上, 为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减.且.故即.根据函数性质解得，故答案为：.7.【答案】，【解析】设，则，令，在上单调递减，时，的取值范围是，故答案为：，8.【答案】C【分析】等价于，令，分别求，的导数，判断函数的单调性，可求得有最大值，有最小值，根据题意，即求，代入为，等价于，令，即求的最大的正整数.对求导求单调性，可知单调递减，代入数值计算即可求出结果.【解析】由题干条件可知：等价于，令，则 ， ，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值.令，则，当时，此题无解，所以，则，当，当，所以在上单调递减，在上单调