2022版高考数学一轮复习第5章数列5.1数列的概念与表示学案理

1、2021版高考数学一轮复习第5章数列5.1数列的概念与表示学案理PAGE PAGE 365.1数列的概念与表示知识梳理3数列an的an与Sn的关系(1)数列的前n项和：Sna1a2an.特别提醒：若当n2时求出的an也适合n1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示诊断自测1概念思辨(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点()(4)如果数列an的前n项和为Sn，则对nN*，都有an1Sn1Sn.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A5P31T2)已知

2、数列an的通项公式为an912n，则在下列各数中，不是an的项的是()A21 B33 C152 D153答案C解析代n值进行验证，n1时，A满足；n2时，B满足；n12时，D满足故选C.(2)(必修A5P33T4)在数列an中，a12，an1aneq f(1,nn1)，则数列a5_.答案eq f(14,5)解析a12，a22eq f(1,2)eq f(5,2)，a3eq f(5,2)eq f(1,6)eq f(8,3)，a4eq f(8,3)eq f(1,12)eq f(33,12)，a5eq f(33,12)eq f(1,20)eq f(14,5).3小题热身(1)(2017石家庄模拟)数列

3、an：1，eq f(5,8)，eq f(7,15)，eq f(9,24)，的一个通项公式是()Aan(1)n1eq f(2n1,n2n)(nN*)Ban(1)n1eq f(2n1,n33n)(nN*)Can(1)n1eq f(2n1,n22n)(nN*)Dan(1)n1eq f(2n1,n22n)(nN*)答案D解析由分子3,5,7,9归纳为2n1，由分母3,8,15,24归纳为n(n2)，奇数项为正，偶数项为负故选D.(2)已知数列an满足：a1a21，an1eq f(a1a2a3an2,4)(n3，nN*)，则a6_.答案eq f(3,16)解析由题意可得a31eq f(a1,4)eq f

4、(3,4)，a41eq f(a1a2,4)1eq f(1,2)eq f(1,2)，a61eq f(a1a2a3a4,4)1eq f(13,16)eq f(3,16).题型1知数列前几项求通项公式eq o(sup7(),sdo5(典例)根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)1,0，eq f(1,3)，0，eq f(1,5)，0，eq f(1,7)，0，；(4)eq f(3,2)，1，eq f(7,10)，eq f(9,17)，.注意项的正负号，分子、分母分开进行不完全归纳解(1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表

5、示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)(2)将数列变形为eq f(8,9)(10.1)，eq f(8,9)(10.01)，eq f(8,9)(10.001)，aneq f(8,9)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,10n).(3)把数列改写成eq f(1,1)，eq f(0,2)，eq f(1,3)，eq f(0,4)，eq f(1,5)，eq f(0,6)，eq f(1,7)，eq f(0,8)，分母依次为1,2,3，而分子1,0,1,0，周期性出现，因此数列的通项可表示为aneq f(11n1,2n)或a

6、neq f(blc|rc|(avs4alco1(sinf(n,2),n).(4)将数列统一为eq f(3,2)，eq f(5,5)，eq f(7,10)，eq f(9,17)，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，所以可得它的一个通项公式为aneq f(2n1,n21).方法技巧由数列的前几项求数列通项公式的策略1对数列的前几项进行归纳、联想，具体如下：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、

7、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系如典例(4)2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整如典例(1)冲关针对训练(2017青岛模拟)数列1,3,6,10,15，的一个通项公式是()Aann2(n1) Bann21Caneq f(nn1,2) Daneq f(nn1,2)答案C解析代入进行验证可得选项C成立故选C.题型2数列的周期性eq o(sup7(),sdo5(典例)在数列an中，a11，a25，an2an1an(nN*)(1)求a2018

8、; (2)求S100.本题采用累加法解(1)由a11，a25，an2an1an(nN*)可得该数列为1,5,4，1，5，4,1,5,4，.由此可得a2018a33662a25.(2)anan1an2，an1an2an3，a3a2a1这n1个式子相加得：anan1a3an1a1，Snan1a2(nN*且n2)，S100a99a2a1663a2a3a29.方法技巧数列的周期性是数列的性质之一，其解法往往是依题意列出数列的前若干项，从而发现规律找到周期冲关针对训练(2018大兴一中模拟)数列an满足an1eq blcrc (avs4alco1(2an，0anf(1,2)，,2an1，f(1,2)an

9、1，)a1eq f(3,5)，则数列的第2018项为_答案eq f(1,5)解析a1eq f(3,5)，a22a11eq f(1,5).a32a2eq f(2,5).a42a3eq f(4,5).a52a41eq f(3,5)，a62a51eq f(1,5)，.该数列周期为T4.a2018a2eq f(1,5).题型3由an与Sn的关系求通项公式eq o(sup7(),sdo5(典例)(2017河南八校一联)在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an_.转化法Snan.答案2n1解析依题意得Sn12an11，Sn2an1，两式相减得Sn1Sn2an12an，即an12

10、an.又S12a11a1，因此a1所以数列an是以a11为首项，2为公比的等比数列，an2n1.条件探究将本典例条件变为“an2SnSn10(n2，nN*)，a1eq f(1,2)”，则an的通项公式为_答案aneq blcrc (avs4alco1(f(1,2)n1，,f(1,2nn1)n2，nN*)解析当n2，nN*时，anSnSn1，SnSn12SnSn10，易知SnSn10，所以eq f(1,Sn)eq f(1,Sn1)2.又S1a1eq f(1,2)，eq f(1,S1)2，数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,Sn)是以2为首项，公差为2的等差数列eq f(1,Sn)2

11、(n1)22n.Sneq f(1,2n).当n2，nN*时，an2SnSn12eq f(1,2n)eq f(1,2n1)eq f(1,2nn1).aneq blcrc (avs4alco1(f(1,2)n1，,f(1,2nn1)n2，nN*.)方法技巧1已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写如条件探究2Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同

12、要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解如典例冲关针对训练设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式解(1)令n1时，T12S11.T1S1a1，a12a11.a1(2)当n2时，Tn12Sn1(n1)2，则SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22(SnSn1)2n12an2n1.当n1时，a1S11也满足上式，Sn2an2n1(n1)当n2时，Sn12an12(n1)1，两式相减，得

13、an2an2an12，an2an12(n2)an22(an12)(n2)a1230，数列an2是以3为首项，公比为2的等比数列an232n1，an32n12.当n1时也满足a11，an32n12.题型4由递推关系求通项公式角度1形如an1anf(n)，求an(多维探究)eq o(sup7(),sdo5(典例)(2015江苏高考)设数列an满足a11，且an1ann1(nN*)，求an.累加法(或凑配法)解由题意可得，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123neq f(nn1,2).条件探究将本典例条件“an1ann1”变为“an1an2n”，其他条件不变，则an的通项公式为_答案2

14、n1解析由题意知an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n221eq f(12n,12)2n1.角度2形如an1anf(n)，求aneq o(sup7(),sdo5(典例)已知数列an满足a1eq f(2,3)，an1eq f(n,n2)an，则通项公式an_.累乘法答案eq f(4,3nn1)解析由已知得eq f(an1,an)eq f(n,n2)，分别令n1,2,3，(n1)，代入上式得n1个等式累乘，即eq f(a2,a1)eq f(a3,a2)eq f(a4,a3)eq f(an,an1)eq f(1,3)eq f(2,4)eq f(3,5)eq f(

15、4,6)eq f(n2,n)eq f(n1,n1)，所以eq f(an,a1)eq f(2,nn1)，aneq f(4,3nn1).又因为a1eq f(2,3)也满足该式，所以aneq f(4,3nn1).角度3形如an1panq，求an(多维探究)eq o(sup7(),sdo5(典例)已知数列an中，a11，an12an3，则通项公式an_.待定系数法、转化法、构造法答案2n13解析递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12antt3.故递推公式为an132(an3)，令bnan3，则b1a134，且eq f(bn1,bn)eq f(an13,an3)2.所以bn是以

16、b14为首项，2为公比的等比数列，则bn42n12n1，所以an2n13.条件探究1将典例条件“a11，an12an3”变为“a11，an12an43n1”，求an解原递推式可化为an13n2(an3n1)比较系数得4，式即an143n2(an43n1)则数列an43n1是一个等比数列，其首项a143115，公比是2.an43n152 n1.即an43n152n1.条件探究2将典例条件“a11，an12an3”变为“a11，a22，当nN*，an25an16an”，求an.解an25an16an可化为an2an1(5)(an1an)比较系数得3或2，不妨取2.代入可得an22an13(an12

17、an)则an12an是一个等比数列，首项a22a1an12an43n1.利用上题结果有an43n152n1.当3时结果相同条件探究3将典例条件“a11，an12an3”变为“a11，an1eq f(2an,an2)”，求an.解两边同取倒数得eq f(1,an1)eq f(an2,2an)eq f(1,an)eq f(1,2).故eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是以1为首项，eq f(1,2)为公差的等差数列，eq f(1,an)eq f(n1,2)，aneq f(2,n1).方法技巧已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法(1)形如an1anf(n)，常用累乘法(2)

18、形如an1anf(n)，常用累加法(3)形如an1band(其中b，d为常数，b0,1)的数列，常用构造法(4)形如an1eq f(pan,qanr)(p，q，r是常数)的数列，将其变形为eq f(1,an1)eq f(r,p)eq f(1,an)eq f(q,p).若pr，则eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是等差数列，且公差为eq f(q,p)，可用公式求通项；若pr，则采用(3)的方法来求以上几种为常见的命题方式，下边再列举一些偶有命题形式的几种，以供参考：(5)形如an2pan1qan(p，q是常数，且pq1)的数列，构造等比数列，将其变形为an2an1(q)(an1

19、an)，则anan1(n2，nN*)是等比数列，且公比为q，可以求得anan1f(n)，然后用累加法求得通项(6)形如a12a23a3nanf(由a12a23a3nanf(n得a12a23a3(n1)an1f(n再由可得an.(7)形如an1anf(n)的数列，可将原递推关系改写成an2an1f(n1)，两式相减即得an2anf(n1)f(n)，然后按奇偶分类讨论即可(8)形如anan1f(n)的数列，可将原递推关系改写成an2an1f(n1)，两式作商可得eq f(an2,an)eq f(fn1,fn)，然后分奇、偶讨论即可(9)an1anqan1an(q0)型，将方程的两边同时除以an1a

20、n，可构造一个等差数列(10)anpaeq oal(r,n1)(n2，p0)型，一般利用取对数构造等比数列冲关针对训练(2014全国卷)已知数列an满足a11，an13an1.证明eq blcrc(avs4alco1(anf(1,2)是等比数列，并求an的通项公式解由an13an1得an1eq f(1,2)3eq blc(rc)(avs4alco1(anf(1,2).又a1eq f(1,2)eq f(3,2)，所以eq blcrc(avs4alco1(anf(1,2)是首项为eq f(3,2)，公比为3的等比数列aneq f(1,2)eq f(3n,2)，因此an的通项公式为aneq f(3n

21、1,2).1(2018安徽皖江名校联考)已知数列an的首项为2，且数列an满足an1eq f(an1,an1)，数列an的前n项的和为Sn则S2018为()A504 B.eq f(1771,3) Ceq f(1757,3) D504答案C解析a12，an1eq f(an1,an1)，a2eq f(1,3)，a3eq f(1,2)，a43，a52，数列an的周期为4，且a1a2a3a4eq f(7,6)，20184504余2，S2018504eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,6)2eq f(1,3)eq f(1757,3).故选C.2(2017河南许昌二模)已知等差数列an满足a

22、11，an2an6，则a11等于()A31 B32 C61 D62答案A解析等差数列an满足a11，an2an6，a3617，a56713，a761319，a961925，a1162531.故选A.3(2016浙江高考)设数列an的前n项和为Sn.若S24，an12Sn1，nN*，则a1_，S5_.答案1121解析解法一：an12Sn1，a22S11，即S2a12a11，又S24，4a12a11，解得a11.又an1Sn1SSn1Sn2Sn1，即Sn13Sn1，由S24，可求出S313，S440，S5121.解法二：由an12Sn1，得a22S11，即S2a12a11，又S24，4a12a11

23、，解得a11.又an1Sn1Sn，Sn1Sn2Sn1，即Sn13Sn1，则Sn1eq f(1,2)3eq blc(rc)(avs4alco1(Snf(1,2)，又S1eq f(1,2)eq f(3,2)，eq blcrc(avs4alco1(Snf(1,2)是首项为eq f(3,2)，公比为3的等比数列，Sneq f(1,2)eq f(3,2)3n1，即Sneq f(3n1,2)，S5eq f(351,2)121.4(2018福州模拟)设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的第4项解(1)依题意有eq blc

24、rc (avs4alco1(S1a12a234，,S2a1a24a3128，,S3a1a2a315，)解得a13，a25，a37.(2)解法一：由S315，Sn2nan13n24n，得S323a4332解得a49.解法二：Sn2nan13n24n，当n2时，Sn12(n1)an3(n1)24(n1)并整理得an1eq f(2n1an6n1,2n)(n2)a4eq f(2317631,23)9.基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018海南三亚一模)在数列1,2，eq r(7)，eq r(10)，eq r(13)，中，2eq r(19)是这个数列的()A第16项 B第24项C第26项 D第28项

25、答案C解析设题中数列为an，则a11eq r(1)，a22eq r(4)，a3eq r(7)，a4eq r(10)，a5eq r(13)，所以aneq r(3n2).令eq r(3n2)2eq r(19)eq r(76)，解得n26.故选C.2数列an中，a11，对于所有的n2，nN*都有a1a2a3ann2，则a3a5 ()A.eq f(61,16) B.eq f(25,9) C.eq f(25,16) D.eq f(31,15)答案A解析解法一：令n2,3,4,5，分别求出a3eq f(9,4)，a5eq f(25,16)，a3a5eq f(61,16).故选A.解法二：当n2时，a1a2

26、a3ann2，a1a2a3an1(n1)2.两式相除得aneq blc(rc)(avs4alco1(f(n,n1)2，a3eq f(9,4)，a5eq f(25,16)，a3a5eq f(61,16).故选A.3(2018安徽江南十校联考)在数列an中，an1an2，Sn为an的前n项和若S1050，则数列anan1的前10项和为()A100 B110 C120 D130答案C解析anan1的前10项和为a1a2a2a3a10a112(a1a2a10)a11a12S10102120.故选C.4(2018广东测试)设Sn为数列an的前n项和，且Sneq f(3,2)(an1)(nN*)，则an(

27、)A3(3n2n) B3n2C3n D32n1答案C解析由题意知eq blcrc (avs4alco1(a1S1f(3,2)a11，,a1a2f(3,2)a21，)解得eq blcrc (avs4alco1(a13，,a29，)代入选项逐一检验，只有C符合故选C.5(2018金版原创)对于数列an，“an1|an|(n1,2，)”是“an为递增数列”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析当an1|an|(n1,2，)时，|an|an，an1an，an为递增数列当an为递增数列时，若该数列为2,0,1，则a2|a1|不成立 ，即an1|an|(n1,

28、2，)不一定成立故综上知，“an1|an|(n1,2，)”是“an为递增数列”的充分不必要条件故选B.6(2018广东三校期末)已知数列an满足：a1eq f(1,7)，对于任意的nN*，an1eq f(7,2)an(1an)，则a1413a1314()Aeq f(2,7) B.eq f(2,7) Ceq f(3,7) D.eq f(3,7)答案D解析a1eq f(1,7)，a2eq f(7,2)eq f(1,7)eq f(6,7)eq f(3,7)，a3eq f(7,2)eq f(3,7)eq f(4,7)eq f(6,7)，a4eq f(7,2)eq f(6,7)eq f(1,7)eq f

29、(3,7)，.归纳可知当n为大于1的奇数时，aneq f(6,7)；当n为正偶数时，aneq f(3,7).故a1413a1314eq f(3,7).故选D.7(2018江西期末)定义eq f(n,p1p2pn)为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”，若已知数列an的前n项的“均倒数”为eq f(1,5n)，又bneq f(an,5).则b10等于()A15 B17 C19 D21答案C解析由eq f(n,a1a2an)eq f(1,5n)得Sna1a2an5n2，则Sn15(n1)2(n2)，anSnSn110n5(n2)，当n1时，a15也满足故an10n5，bn2n1，b10210119

30、.故选C.8(2018西安模拟)已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(3ax2，x2，,a2x29x11，x2)(a0且a1)，若数列an满足anf(n)(nN*)，且an是递增数列，则实数a的取值范围是()A(0,1) B.eq blcrc)(avs4alco1(f(8,3)，3) C(2,3) D(1,3)答案C解析因为an是递增数列，所以eq blcrc (avs4alco1(3a0，,a1，,3a22a2329311，)解得2a3，所以实数a的取值范围是(2,3)故选C.9对于数列xn，若对任意nN*，都有eq f(xnxn2,2)xn1成立，则称数列xn为“减差数列

31、”设bn2teq f(tn1,2n1)，若数列b3，b4，b5，是“减差数列”，则实数t的取值范围是()A(1，) B(，1C(1，) D(，1答案C解析由数列b3，b4，b5，是“减差数列”，得eq f(bnbn2,2)bn1(n3)，即teq f(tn1,2n)teq f(tn21,2n2)eq f(tn11,2n).化简得t(n2)1.当n3时，若t(n2)1恒成立，则teq f(1,n2)恒成立，又当n3时，eq f(1,n2)的最大值为1，则t的取值范围是(1，)故选C.10(2018湖北八校模拟)已知数列an满足：a11，an1eq f(an,an2)(nN*)若bn1(n2)eq

32、 blc(rc)(avs4alco1(f(1,an)1)(nN*)，b1eq f(3,2)，且数列bn是单调递增数列，则实数的取值范围是()Aeq f(4,5) B1 Ceq f(3,2) Deq f(2,3)答案A解析数列an满足：a11，an1eq f(an,an2)(nN*)，an0，eq f(1,an1)eq f(2,an)1，则eq f(1,an1)12eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,an)1)，数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)1)是等比数列，且首项为eq f(1,a1)12，公比为2，eq f(1,an)12n.bn1(n2)eq blc(

33、rc)(avs4alco1(f(1,an)1)(n2)2n(nN*)，bn(n12)2n1(n2)，数列bn是单调递增数列，bn1bn，(n2)2n(n12)2n1(n2)，可得eq f(n1,2)(n2)，b1，(12)2eq f(3,2)，解得eq f(4,5)，综上，的取值范围是0，且naeq oal(2,n1)(2n1)an1an2aeq oal(2,n)0.设M(x)表示整数x的个位数字，则M(a2017)_.答案6解析由已知得(nan1an)(an12an)0，an0，an12an0，则eq f(an1,an)2，a11，数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，an12n12n1

34、.a22，a34，a48，a516，a632，a764，a8128，n2时，M(an)依次构成以4为周期的数列M(a2017)M(a5)6，故答案为6.13(2017吉林模拟)若数列an满足a1eq f(1,2)，an1eq f(1,an1)(n2且nN*)，则a2016等于_答案2解析a1eq f(1,2)，an1eq f(1,an1)(n2且nN*)，a21eq f(1,a1)1eq f(1,f(1,2)1，a31eq f(1,a2)1eq f(1,1)2，a41eq f(1,a3)1eq f(1,2)eq f(1,2)，依此类推，可得an3an，a2016a67133a32.14(201

35、7河南测试)已知各项均为正数的数列an满足an1eq f(an,2)eq f(1,4)，a1eq f(7,2)，Sn为数列an的前n项和，若对于任意的nN*，不等式eq f(12k,12n2Sn)2n3恒成立，则实数k的取值范围为_答案eq blcrc)(avs4alco1(f(3,8)，)解析由an1eq f(1,2)aneq f(1,4)，得an1eq f(1,2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(anf(1,2)，且a1eq f(1,2)3，所以数列eq blcrc(avs4alco1(anf(1,2)是以3为首项，eq f(1,2)为公比的等比数列，则aneq f(1,2)3eq blc(r