2022版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.2两条直线的位置关系学案理

1、2021版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.2两条直线的位置关系学案理PAGE PAGE 3782两条直线的位置关系 知识梳理1两直线的平行、垂直与其斜率的关系2三种距离3常用的直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR)(3)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.诊断自测1概念思辨(1)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(2)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相

2、交()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B2(4)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于eq f(1,k)，且线段AB的中点在直线l上()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P89A组T1)若直线l经过点(a2，1)和(a2,1)，且与经过点(2,1)、斜率为eq f(2,3)的直线垂直，则实数a的值是()Aeq f(2,3) Beq f(3,2) C.eq f(2,3) D.eq f(3,2)答案A解析由于直线l与经过点(2,1)的斜率为eq

3、f(2,3)的直线垂直，可知a2a2.因为直线l的斜率k1eq f(11,a2a2)eq f(1,a)，所以eq f(1,a)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)1，所以aeq f(2,3).故选A.(2)(必修A2P101A组T11)已知直线l：xy10，l1：2xy20，若直线l2与l1关于l对称，则l2Ax2y10 Bx2y10Cxy10 Dx2y10答案B解析求出两条直线的交点坐标为(1,0)，任取l1上一点(2,2)，求出其关于直线xy10的对称点为(3,1)，之后利用两点式求出l2的方程为x2y10.故选B.3小题热身(1)设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y

4、10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析当l1l2时，得eq f(a,2)eq f(1,a1)，解得a1或a2，代入检验符合，当a1时，易知l1l2，“a1”是“l1l2”的充分不必要条件，故选A.(2)(2017广州模拟)直线x2y10关于x1对称的直线方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y30答案D解析由题意得直线x2y10与x1的交点坐标为(1,1)，又直线x2y10上的点(1,0)关于直线x1对称的点为(3,0)，所以由直线方程两点式，得eq f(y0,10)eq f(x3,13)

5、，即x2y30.故选D.题型1两直线的平行与垂直eq o(sup7(),sdo5(典例1)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a等于()A1 B2 C0或2 D1或2分类讨论法答案D解析若a0，两直线方程分别为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0；当a0时，两直线平行，则有eq f(a1,1)eq f(2,a)eq f(1,3)，解得a1或2.故选D.eq o(sup7(),sdo5(典例2)已知经过点A(2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，1)和点Q(a，2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为_分类讨论法答案1或0解析l1的斜率k1e

6、q f(3a0,12)a.当a0时，l2的斜率k2eq f(2a1,a0)eq f(12a,a).因为l1l2，所以k1k21，即aeq f(12a,a)1，解得a1.当a0时，P(0，1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(2，0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1l2.综上可知，实数a的值为1或0.方法技巧研究两直线平行与垂直关系的解题策略1已知两直线的斜率存在(1)两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于1.2当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要

7、注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件冲关针对训练1(2018宁夏银川九中模拟)已知b0，直线(b21)xay20与直线xb2y10垂直，则ab的最小值为()A1 B2 C2eq r(2) D2eq r(3)答案B解析由已知两直线垂直，得(b21)ab20，即ab2b21，又b0，abbeq f(1,b).由基本不等式得beq f(1,b)2 eq r(bf(1,b)2，当且仅当b1时等号成立，(ab)min2.故选B.2(2017西安模拟)已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50平行，则2a3b答案25解析由两直线平行可得，a(b3)2b，即2b3aab，eq f(2,

8、a)eq f(3,b)1.又a，b为正数，所以2a3b(2a3b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,a)f(3,b)13eq f(6a,b)eq f(6b,a)132eq r(f(6a,b)f(6b,a)25，当且仅当ab5时取等号，故2a3b的最小值为25.题型2两条直线相交及距离问题eq o(sup7(),sdo5(典例1)(2018福建厦门联考)“C5”是“点(2,1)到直线3x4yC0的距离为3”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件直接求满足条件的C的取值再判定答案B解析点(2,1)到直线3x4yC0的距离为3等价于eq f(|32

9、41C|,r(3242)3，解得C5或C25，所以“C5”是“点(2,1)到直线3x4yC0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.eq o(sup7(),sdo5(典例2)已知直线ykx2k1与直线yeq f(1,2)x2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_画出直线yeq f(1,2)x2，分析直线系ykx2k1动态思考答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,6)，f(1,2)解析如图，已知直线yeq f(1,2)x2与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0,2)而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2,1)，斜率为k的动直线两直线的交点在第

10、一象限，两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kPAk0)，若在直线l：xeq r(3)y90上存在点P，使得PAPB，则实数m的取值范围是()A(0,3) B(0,4)C3，) D4，)答案C解析设P(x，y)，则kPAeq f(y,xm)，kPBeq f(y,x2m)，由已知可得eq blcrc (avs4alco1(xr(3)y90，,f(y,xm)f(y,x2m)1，)消去x得4y216eq r(3)y63m22m0，由题意得eq blcrc (avs4alco1(m0，,16r(3)24463m22m0，)解得m3.故选C.8(2017湖南东部十校联考)经过两

11、条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程为()A4x3y90 B4x3y90C3x4y90 D3x4y90答案A解析由方程组eq blcrc (avs4alco1(2x3y10，,x3y40，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(5,3)，,yf(7,9)，)即交点为eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)，f(7,9).所求直线与直线3x4y70垂直，所求直线的斜率为keq f(4,3).由点斜式得所求直线方程为yeq f(7,9)eq f(4,3)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(5,3)，即4x3y90.故选A.

12、9(2017湖南岳阳二模)已知动直线l：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3，则eq f(1,2a)eq f(2,c)的最小值为()A.eq f(9,2) B.eq f(9,4) C1 D9答案B解析因为动直线l：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)，所以abmc20，又因为Q(4,0)到动直线l的最大距离为3，所以eq r(412m2)3，解得m0.所以ac2，则eq f(1,2a)eq f(2,c)eq f(1,2)(ac)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2a)f(2,c)eq f(1,2)eq blc(rc)(a

13、vs4alco1(f(5,2)f(c,2a)f(2a,c)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)2r(f(c,2a)f(2a,c)eq f(9,4)，当且仅当c2aeq f(4,3)时取等号，故选B.10(2016四川高考)设直线l1，l2分别是函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(ln x，0 x1)图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是()A(0,1) B(0,2)C(0，) D(1，)答案A解析设l1是yln x(0 x1)的切线，切点P2(x2，y2)，l1：

14、yy1eq f(1,x1)(xx1)，l2：yy2eq f(1,x2)(xx2)，得xPeq f(y1y22,f(1,x1)f(1,x2)，易知A(0，y11)，B(0，y21)，l1l2，eq f(1,x1)eq f(1,x2)1，x1x21，SPABeq f(1,2)|AB|xP|eq f(1,2)|y1y22|eq f(|y1y22|,blc|rc|(avs4alco1(f(1,x1)f(1,x2)eq f(1,2)eq f(y1y222,f(x1x2,x1x2)eq f(1,2)eq f(ln x1ln x222,x1x2)eq f(1,2)eq f(ln x1x222,x1x2)eq

15、 f(1,2)eq f(4,x1x2)eq f(2,x1x2)，又0 x11，x1x21，x1x22eq r(x1x2)2，0SPAB0)，则|PN|x0，|PM|eq f(blc|rc|(avs4alco1(f(r(2),x0),r(2)eq f(1,x0)，因此|PM|PN|1，即|PM|PN|为定值(2)直线PM的方程为yx0eq f(r(2),x0)(xx0)，即yx2x0eq f(r(2),x0)，解方程组eq blcrc (avs4alco1(yx，,yx2x0f(r(2),x0)，)得xyx0eq f(1,r(2)x0).所以|OM|eq r(2)eq blc(rc)(avs4a

16、lco1(x0f(1,r(2)x0).连接OP，S四边形OMPNSNPOSOPMeq f(1,2)|PN|ON|eq f(1,2)|PM|OM|eq f(1,2)x0eq blc(rc)(avs4alco1(x0f(r(2),x0)eq f(1,2)eq f(1,x0)eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(x0f(1,r(2)x0)eq r(2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(xoal(2,0)f(1,xoal(2,0)1eq r(2)，当且仅当x0eq f(1,x0)，即x01时等号成立，因此四边形OMPN面积的最小值为1eq r(2).17已知

17、两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值：(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点(3，1)，3a40，即aeq f(4,3)(矛盾)，此种情况不存在，k20，即k1，k2都存在k21a，k1eq f(a,b)，l1l2，k1k21，即eq f(a,b)(1a)1.又l1过点(3，1)，3ab40.由联立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在且l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即eq f(a,b)1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即eq f(4,b)b，联立，解得eq blcrc (avs4alco1(a2，,b2)或eq blcrc (avs4alco1(af(2,3)，,b2.)a2，b2或aeq f(2,3