（本科）第九章 多元函微分学（改）高等数学下册教学课件

1、正版可修改PPT课件（本科）第九章 多元函微分学（改）高等数学下册教学课件推广第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同多元函数微分学 第一节 多元函数第二节 偏导数第三节 全微分第四节 多元复合函数的微分法第五节 隐函数的微分法第六节 多元函数微分学在几何中的应用第七节 方向导数与梯度第八节 多元函数的极值与最值第九章 多元函数微分法集合 称为点 的空心邻域邻域(1)一元函数中， 的取值：数轴上的区间、邻域(2)二元函数中， 的取值：平面上的邻域 集合 称为 的 空心邻域集合 称为点 的邻域集合 称为 的 邻域第一节 多元函数区域(1) 内点、外点、边界点设有点集

2、E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点则称 P 为 E 的外点 ;则称 P 为 E 的边界点 .的外点 ,第一节 多元函数(2) 聚点若对任意给定的 ,点P 的去心邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点.所有聚点所成的点集称为 E 的导集 .聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 )例 集合内点： ； 边界点： 以及点 聚点：第一节 多元函数D(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E

3、 为开集； 若点集 E E , 则称 E 为闭集； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;第一节 多元函数第一节 多元函数n 维空间n 元有序数组的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的记作即称为该点的第 k 个坐标 .一个点, 当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O .第一节 多元函数的距离记作规定为 与零元 O 的距离为中点 a 的 邻域为第一节 多元函数中的点中的点 长方体的体积 定量理想气体的压强大气污

4、染指数的运算模型 其中x表示单位体积空气中固体污染物的数量，y表示单位体积空气中气体污染物的数量.第一节 多元函数多元函数的概念定义 设非空点集点集 D 称为函数的定义域 ; 数集称为函数的值域 .特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数当 n = 3 时, 有三元函数映射称为定义在 D 上的 n 元函数 , 记作第一节 多元函数(也称为 n 重极限)当 n =2 时, 记二元函数的极限可写作：定义 设 n 元函数P0 是 D 的聚记作点 ,若存在常数 A ,对一对任意正数 , 总存在正数 ,则称 A 为函数都有切第一节 多元函数多元函数的极限一元函数的极限第一节 多元函数二元函数的极限当

5、时，有以任何方式趋于 时，有一般地， 第一节 多元函数第一节 多元函数（1）两边夹法则求二元函数极限的方法（2）换元法或例如因此第一节 多元函数第一节 多元函数证明二元函数极限不存在的方法（1）找出两条不同的路径使得点M沿这两条路径 趋向于时，f (x ,y)极限不相等（2）找一条特殊的路径（y=k x)使得f (x ,y)的极限不存在即：沿 有沿 有不存在沿 有不存在不存在第一节 多元函数设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0),则有k 值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .例 讨论函数 在 点的极限.解第一节 多元函数仅知其中一个存在,推不出其它二者存

6、在.注：二重极限不同. 如果它们都存在, 则三者相等.例如,显然与累次极限但它在(0,0)点二重极限不存在 .第一节 多元函数 定义 设 n 元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续.如果存在否则称为不连续,此时称为间断点 .则称 n 元函数连续, 定义 由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的，可用一个式子所表示的多元函数称为多元初等函数. 第一节 多元函数多元函数的连续性第一节 多元函数 定理 若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则* (4) f (P) 必在D 上一致连续 .在 D 上可取得最大值 M 及

7、最小值 m ;(3) 对任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭区域上多元连续函数有与一元函数类似的性质(证明略) 第一节 多元函数第一节 多元函数1.平面点集、n维空间第一节 多元函数2. 多元函数3. 极限求极限两边夹换元证明极限不存在4. 连续小结第二节 偏导数偏导数的概念及计算注：第二节 偏导数第二节 偏导数第二节 偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数.按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:定理第二节 偏导数高阶偏导数第二节 偏导数第二节 偏导数

8、解例第二节 偏导数小结第三节 全微分定义 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )可表示成其中A ,B不依赖于 x, y仅与x , y有关，称为函数在点 (x, y) 的全微分, 记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，处全增量则称此函数在D 内可微.定理 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点偏导数必存在,且有同样可证证 由全增量公式得到对 x 的偏增量因此有 注:偏导数存在函数不一定可微!第三节 全微分第三节 全微分定理 函数 z = f (x, y) 在点 (x,

9、y) 可微,则函数在该点连续.即证 注:连续不一定可微!第三节 全微分例 讨论函数因此,函数在点 (0,0) 不可微 .在点（0,0）的可微性.(2)第三节 全微分注：在函数可微分的条件下，各偏导数未必连续. 第三节 全微分第三节 全微分证 定理 若函数的偏导数则函数在该点可微分.第三节 全微分所以函数在点可微.注意到, 故有第三节 全微分定理 若函数处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数且有链式法则证 设 t 取增量t ,有增量u ,v ,则相应中间变量第四节 多元复合函数的微分法 多元复合函数的求导法则( 全导数公式 )(t0 时,根式前加“”号)第四节 多元复合函数的微分法 若中间变

10、量多于两个.例如第四节 多元复合函数的微分法 第四节 多元复合函数的微分法 第四节 多元复合函数的微分法 第四节 多元复合函数的微分法 第四节 多元复合函数的微分法 第四节 多元复合函数的微分法 第四节 多元复合函数的微分法 第四节 多元复合函数的微分法 第四节 多元复合函数的微分法 第四节 多元复合函数的微分法 多元复合函数全微分第四节 多元复合函数的微分法 第四节 多元复合函数的微分法 (隐函数求导公式) 具有连续的偏导数;则方程的某邻域内可唯一确定一个的某一邻域内满足定理 设函数在点单值连续函数 y = f (x) ,并有连续满足条件导数第五节 隐函数的微分法一个方程的情形定理证明从略，

11、求导公式推导如下两边对 x 求导在的某邻域内则第五节 隐函数的微分法若 的二阶偏导数也都连续,则还有二阶导数 :第五节 隐函数的微分法第五节 隐函数的微分法定理若函数 的某邻域内具有连续偏导数 ,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 在点满足:某一邻域内可唯一确第五节 隐函数的微分法两边对 x 求偏导同样可得则定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:第五节 隐函数的微分法第五节 隐函数的微分法第五节 隐函数的微分法隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐

12、函数的情况为例 ,即第五节 隐函数的微分法方程组的情形定理的某一邻域内具有连续偏导数；设函数则方程组的单值连续函数且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:第五节 隐函数的微分法第五节 隐函数的微分法定理证明略.推导偏导数公式如下:有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组在点P 的某邻域内故得系数行列式第五节 隐函数的微分法同样可得第五节 隐函数的微分法第五节 隐函数的微分法第五节 隐函数的微分法例 设函数在点(u,v) 的某一(1) 证明函数组( x, y) 的某一邻域内(2) 求解 (1) 令对 x , y 的偏导数.在与点 (u, v) 对应的点邻域内有连续的偏导数,

13、且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数第五节 隐函数的微分法式两边对 x 求导, 得则有由前面定理 可知结论 (1) 成立.(2) 求反函数的偏导数. 第五节 隐函数的微分法从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得第五节 隐函数的微分法1. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式第五节 隐函数的微分法小结雅可比(1804 1851)德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分方程

14、的研究中引进了“雅可比行列式”, 并应用在微积分中.他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微分方程, 在分析力学, 动力学及数学物理方面也有贡献 . 他在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派.过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限平面.点击图中任意点动画开始或暂停第六节 多元函数微分学在几何中的应用空间曲线的切线与法平面1.曲线方程为参数方程的情况切线方程第六节 多元函数微分学在几何中的应用此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量 .如个别为0, 则理解为分子为 0 .不全为0, 因此得法平面方程

15、说明: 若引进向量函数 , 则 为 r (t) 的矢端曲线, 处的导向量 就是该点的切向量.第六节 多元函数微分学在几何中的应用第六节 多元函数微分学在几何中的应用2.曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点, 且有时, 可表示为处的切向量为 第六节 多元函数微分学在几何中的应用则在点切线方程法平面方程有或第六节 多元函数微分学在几何中的应用也可表为法平面方程第六节 多元函数微分学在几何中的应用第六节 多元函数微分学在几何中的应用第六节 多元函数微分学在几何中的应用设 有光滑曲面通过其上定点对应点 M,切线方程为不全为0 . 则 在且点 M 的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为 在该

16、点的切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. 第六节 多元函数微分学在几何中的应用曲面的切平面与法线证 在 上,得令由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在 .第六节 多元函数微分学在几何中的应用曲面 在点 M 的法向量法线方程切平面方程第六节 多元函数微分学在几何中的应用曲面时, 则在点故当函数 法线方程令特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, 切平面方程第六节 多元函数微分学在几何中的应用在点法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,第六节 多元函数微分学在几何中的应用第六节 多元函

17、数微分学在几何中的应用1. 空间曲线的切线与法平面 切线方程法平面方程1) 参数式情况.空间光滑曲线切向量第六节 多元函数微分学在几何中的应用小结切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2) 一般式情况.第六节 多元函数微分学在几何中的应用空间光滑曲面曲面 在点法线方程1) 隐式情况 .的切平面方程2.曲面的切平面与法线法向量第六节 多元函数微分学在几何中的应用空间光滑曲面切平面方程法线方程2) 显式情况.方向余弦法向量第六节 多元函数微分学在几何中的应用第七节 方向导数与梯度定义 若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.在点 处沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 记作 第七节

18、 方向导数与梯度方向导数定理则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证 由函数且有在点 P 可微 ,得故第七节 方向导数与梯度二元函数为, ) 的方向导数为特别: 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向向角第七节 方向导数与梯度第七节 方向导数与梯度第七节 方向导数与梯度方向导数公式令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：第七节 方向导数与梯度梯度1.定义即同样可定义二元函数称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度在点处的梯度 说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量第七节 方向导数与梯度2. 梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直

19、于该点等值面(或等值线) ,称为函数 f 的等值线 . 则L*上点P 处的法向量为 同样, 对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为指向函数增大的方向.第七节 方向导数与梯度曲线3. 梯度的基本运算公式第七节 方向导数与梯度第七节 方向导数与梯度第七节 方向导数与梯度1. 方向导数 三元函数 在点沿方向 l (方向角的方向导数为 二元函数 在点的方向导数为沿方向 l (方向角为第七节 方向导数与梯度小结2.梯度 三元函数 在点处的梯度为 二元函数 在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在 可微梯度在方向 l 上的投影.第七节 方向导数与梯度定义 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有第八节 多元函数的极值与最值二元函数的极值说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如