全国卷中离心率求值问题的解题策略

1、 全国卷中离心率求值问题的解题策略 吴世朗离心率是圆锥曲线的一个重要概念，是椭圆的定义、方程与几何性质的一个交汇点.全国高考数学卷对圆锥曲线离心率的考查一直是个热点，考查频率很高，几乎每年都有涉及。如2018理科卷12、卷11，文科卷4、卷11、卷11;2017理科卷15、卷9、卷10，文科卷5、卷11;2016理科卷11、卷11，文科卷5、卷12全国卷对离心率的考查，基本上是以客观题为主，偶有填空题解答题，中档题居多，尤其近三年有加大的趋势。对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求离心率的值问题;二是求离心率的取值范围，但从全国卷来分析，基本上侧重于求离心率的值。一般来说，求离心率，只

2、需要由条件得到一个关于基本量a，b，c的一个关系式，列出方程（组）或不等式（组），就可以从中求出离心率。如椭圆的离心率，双曲线的离心率，就是由a，c或a，b的关系可直接求得离心率的值。但如果选择方法不恰当，则极可能计算量大，运算繁琐，小题大作了。本文从全国卷高考为例，探讨分析离心率求值的解题策略。一、直接利用题目中已具有的条件，建立等量关系。有些试题中题意显然，等量关系已存在，解题思路是根据已有的关系，直接列出方程或方程组。例1（2016年全国卷1文数5）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】设椭圆（

3、ab0），根据题意直线l方程为，利用点到椭圆中心到l的距离为，由，即得。故答案选B。【点评】因为题意中的等量关系很明显，运用点到直线的距离公式，可以直接建立a，b，c的一个齐次等式。例2（2014年高考新课标卷数学理20文20）设F1，F2分别是椭圆（ab0）的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.（）若直线MN的斜率为，求C的离心率;【解析】：由已知可得，故直线MN的斜率为将代入，解得，（舍去）.故C的离心率为.【点评】本题已知直线MN的斜率，可用两点的斜率公式建立方程。二、紧抓圆锥曲线的定义、转化到焦点三角形处理。在椭圆、双曲线上，若有某个点P到焦点F1

4、，F2距离问题，一般上，要根据曲线的定义，抓住PF1+PF2=2a或|PF1-PF2|=2a，焦距长为F1F2=2c，转化到焦点三角形PF1F2，利用解三角形的有关性质进行求解，如常用正弦定理、余弦定理、勾股定理建立方程。例3、（2013全国新课标卷文5）、设椭圆（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF1PF2，PF1F2=30，则C的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】在中，因为，所以。又，所以，即椭圆的离心率为.故答案选D【点评】本题利用直角三角形的性质，根据条件将三边用c表示出来，再根据圆锥曲线定义找出a、c间的等式求出e.本题主要考查了椭圆的定义，几何

5、性质、数形结合与化归思想。三、挖掘题目中的等量关系，巧用平几，进行转化与化归，解析几何的研究對象就是几何图形及其性质，用代数方法来研究几何问题。圆锥曲线是解析几何问题，因此当题目中条件关于a、b、c间的一个齐次等式不明显时，充分挖掘题目中隐含的几何条件，结合有关的平面几何知识，将几何问题与代数问题的进行等价转化.如何将几何问题转化为代数问题？首先是审清题意，理解几何对象的本质特征;其次恰当选择代数化的形式，将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来.数形结合，这样往往能减少计算量，解决问题就会达到事半功倍效果.（一）活用三角形知识，巧搭桥梁求解离心率.例4、（同上例1）【解法二】设椭圆（ab0）

6、，椭圆中心到l的距离为OA，由焦点三角形性质可，BF=a，在中，利用等面积法，可得，再由，即得。【点评】方法二巧用直角三角形的等面积法建立关系式，比例1的解法运算量稍低些。例5（2012年高考新课标全国数学理）设F1F2是椭圆（ab0）的左、右焦点，P是直线上一点，是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）A、 B、 C、 D、【解析】设直线与X轴交于点M，结合图象可知，在直角三角形中，所以。答案选C【点评】本题考查数形结合的思想，从中挖掘直角三角形，等腰三角形的平面几何性质，找到等量关系。在几何图形中，利用解三角形和三角形相似等知识，转化为边角之间的关系解决解析几何问题.在解题时，要善于将

7、几何性质转化为代数间等量关系。能巧用几何性质，数形结合，能减少计算量.在涉及三角形题型中，经常要用到如下性质。（1）已知三角形两边垂直时，又有坐标条件则转化为斜率乘积为-1或向量数量积为0;有长度条件时则考虑用勾股定理建立方程。（2）若已知条件是三角形某边上的中线等于这条边的一半，则转化为直角三角形问题斜率或向量问题。（3）若已知条件是两角相等（角平分线），则转化为斜率问题：底边水平或竖直时，两腰斜率之和为0。（4）已知条件角是锐角、钝角时，则转化为向量数量积，斜率问题。（二）关注与圆知识的结合，利用圆的几何性质建立关系圆是平面几何中重要的内容之一，圆与椭圆、双曲线经常性地交汇命题。能准确地作

8、出图形，挖掘几何图形中所隐含的条件，灵活运用好圆的有关知识，能使解几问题较为简捷地得到解决。例6（2017年全国卷理10文数11）已知椭圆（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）A. B. C. D.【解析】：以线段A1A2为直径的圆与直线相切，可得，因此C的离心率为答案选A.【点评】本题利用直线与圆相切的几何性质，建立关系。在解决与圆有关的问题中，注意几何性质与代数形式的转化。如果题意中若考查的是点与圆的位置关系，则转化为点与直径两端点的向量数量积与“0”比较大小，或运用两点的距离公式与半径比较;若考查的是直线与圆相切、相交的问题，则

9、转化为直角三角形问题，可能要用到勾股定理、点到直线的距离公式、弦长公式.（三）点共线问题，转化为斜率或向量问题。坐标法是解析几何中最基本的方法，是以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题。而斜率公式、向量运算也是与坐标运算紧密相连，在涉及点线问题，利用它们之间坐标的联系，进行化归转化为斜率或向量问题，利用斜率或向量相关知识，建立方程。例7（2016年全国卷理数11文数12）已知O为坐标原点，F是椭圆（ab0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D

10、）【解析】：设则直线l的方程为，OE的中点由于三点共线，可得，整理得，椭圆的离心率。答案选A。【点评】本题是利用三点共线，转化为斜率相等，建立等量关系。四、利用点在曲线上，列出方程，建立关系有些试题等量关系不明显，几何性质转化有难度，但题目中发现有某个点在曲线上，点在曲线上点的坐标是这个方程的解，可以根据已知条件，用关于含有a，b，c的代数式表示这个点的坐标，然后代入曲线方程中，从而建立关系。例8（2015新课标理11）.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，則E的离心率为（）A. B.2 C. D.【解析】：设双曲线方程为（a0，b0），ABM为等

11、腰三角形，则，过点M作轴，垂足为N，在直角三角形MBN中，将M代入双曲线方程中，可得b=a，所以双曲线的离心率.故选D【点评】本题抓住题意，表示出点M的坐标，利用点M在双曲线上，从而列出方程。无独有偶，在2018全国卷的考查中，仍有例8的影子。例9（2018年全国卷理数12）已知F1，F2是椭圆（ab0）的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则C的离心率为（ ）A. B. C. D.【简析】PF1F2为等腰三角形，求得，过A且斜率为的直线方程为y=（x+a），将点P代入，或者由，易得。所以答案选D.【点评】本题的解法与例9相似，双曲线问题改为椭圆问题，点在双曲线上改为点在直线上。总之，在解决有关离心率问题时，要审清题意